线性代数知识点归纳

线性代数复习要点1.排列的逆序数2.行列式按行（列）展开法则3.行列式的性质及行列式的计算行列式的定义D=naaaa…a…a…an2n2Σ(-1)τ(j1j2jn)aa1j12j2j1j2jnnjn行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.A,i=j,③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.A=****b0***b...b==AO*B**a*a2n-1aa2n-1aO221x1x211x2x221xnxn-11xn-11…xn-1n2)ijabbbabbba.........n-1⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨(递推公式法)对n阶行列式D找出D与D或D,D之间的一种关系——称为递推公式，其中nnn-1n-1n-2D,D,D等结构相同，再由递推公式求出D的方法称为递推公式法.nn-1n-2n(拆分法)把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算.③、构造齐次方程组Ax=0，证明其有非零解；④、利用秩，证明r(A)<n；⑤、证明0是其特征值.ij1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵方程的求解=(-1)i+jAijA=(-1)i+jMijija)a)a)a)同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.矩阵相等:两个矩阵同型，且对应元素相等.矩阵运算a.矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b.数与矩阵相乘：数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ,规定为λA=(λa).ijEQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up30(b),b)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up19(1),2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up19(j),j)i11ji22jissj注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律,EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(n),2)ab12bEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(n),2)ab12bb.用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量； c.用对角矩阵右c.用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. d.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.⑤矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT.a.对称矩阵和反对称矩阵:A是对称矩阵AAT.A是反对称矩阵AAT.DTDTijAA…AAAA…AAijn2，A为A中各个元素的代数余子式.ijAAAA*A*AAE,A*An1,A1A1.A*BA*AB*BA*(A（cA（cd)ad-bc（-ca)副…变号T)T-1)-1*)*=An-2AA(n(A-1)TT)-1(A-1)kk)-1-kABTAT(AB)-1=B-1A-1AT=AA-1=A-1A*=An-1(AT)**)T(Ak)**)kAk=Ak-A*((A)-1(A-1)(A)-1(B-1)（B)（B-1)（B)（A-1)（OB)（OB)（CB)（-B-1CA-1B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up35(1),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(1),a2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483623(1),a3)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483623(1),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(1),a2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up35(1),a3)3.行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵4.初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换初等矩阵的逆初等矩阵的逆E(i,j)-1=E(i,j)kE[i,j(k)]-1=E[i,j(-k)]初等变换r~r(c~c)ijijiiijij初等矩阵的行列式E(i,j)=-1E[i(k)]=kE[i,j(k)]=1初等矩阵E(i,j)E(i(k))E(i,j(k))☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘A；对A施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘A.注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.5.矩阵的秩关于A矩阵秩的描述：①、r(A)=r，A中有r阶子式不为0，r+1阶子式(存在的话)全部为0；②、r(A)<r，A的r阶子式全部为0；☻矩阵的秩的性质：②r(A)=r(AT)=r(ATA)⑤r(AB)≤min{r(A),r(B)}⑥若P、Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.常EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(x),r)(EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up16(=o),AB))解EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up8(AB),AB)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up8(O),AC)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up8(常),常)O)(EEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(r),OO)(EEQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up14(O),O)为矩阵A的等价标准型.⑨r(A土B)≤r(A)+r(B),max{r(A),r(B)}≤r(A,B)≤r(A)+r(B)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(A),O)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(O),B)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(O),B)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(A),O)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(A),O)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(C),B)||||（bn));|2a|2|||||（bn));|2a|2|2.向量组的线性相关性5.线性方程组的解的判定6.线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）则称β是a,a,...,a的线性组合，或称称β可由a,a,...,a的线性表示.线性表示的判别定理:β可由a,a,,a的线性表示由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up17(a),a)n||||||aaaam2a)(xEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up12(1n),2n)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up12(1),2)m)（)（bm)(b)1b2)|x1n))||(b..(b...||||||)...||n2n2ii)(c)(c)|||2EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up17(1n),2n|||2n2)n2)（cm)122m3.线性相关性推论壘线性相关性判别法（归纳）壘线性相关性的性质①零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.②单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.（向量个数变动）④原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.（向量维数变动）⑤两个向量线性相关常对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.⑥向量组C,C,...,C中任一向量C(4.最大无关组相关知识向量组的秩向量组C,C,,C的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作r(C1,C2,,Cn)矩阵等价A经过有限次初等变换化为B.①矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.②矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系⑤任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.⑥向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.⑦若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑧设A是mxn矩阵,若r(A)=m，A的行向量线性无关；5.线性方程组理论(a|aEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up18(1),2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up18(1),1)|mn)（xn)（bm)2n2n（1）解得判别定理(C)|1j|mj)mj)||||(3)||EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up16(5),6)|(7)|EQ\*jc3\*hps38\o\al(\s\up1(η),1)01122ii一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up14(A),B)①它们的极大无关组相对应,从而秩相等；②它们对应的部分组有一样的线性相关性；③它们有相同的内在线性关系.矩阵A与B的列向量组等价常AQ=B（右乘可逆矩阵Q）.1.施密特正交化过程2.特征值、特征向量的性质及计算3.矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1.标准正交基n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.（an)（an)3.设A是一个n阶方阵,若存在数λ和n维非零列向量x,使得则称λ是方阵A的一个特征值，x为方阵A的对应于特征值λ的一个特征向量.ΣΣ1⑥上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.|||||112+ab2...⑨若A的全部特征值λ,λ,,λ,f(A)是多项式,则:①若A满足f(A)=O常A的任何一个特征值必满足f(λ)=0i②f(A)的全部特征值为f(λ),f(λ),…,f(λ)；⑩A与AT有相同的特征值，但特征向量不一定相同.4.特征值与特征向量的求法i(1)写出矩阵A的特征方程A-λE=0，求出特征值λ.i(2)根据(A-λE)x=0得到A对应于特征值λ的特征向量.iif(A)=f(λ)f(λ)f(λ)设(A-λE)x=0的基础解系为ξ,ξ,ξii12n-riiiiii1122n-rniii12n-riA可以相似对角化A与对角阵Λ相似.（称Λ是A的相似标准形）①λE-A=λE-B,从而A,B有相同的特征值,但特征向量不一定相同.a是A关于λ的特征向量,P-1a是B关于λ的特征向量④r(A)=r(B)⑤若A与B相似,则A的多项式f(A)与B的多项式f(A)相似.7.矩阵对角化的判定方法①n阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.设a为对应于λii(λP-1AP(λ2.②A可相似对角化常n-r(λE-A)=k，其中k为λ的重数常A恰有n个线性无关的特征向量.iiiii③若n阶矩阵A有n个互异的特征值常A可相似对角化.i①特征值全是实数,特征向量是实向量；②不同特征值对应的特征向量必定正交；：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；③一定有n个线性无关的特征向量.若A有重的特征值,该特征值λ的重数=n-r(λE-A)；ii④必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；⑤与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；⑥两个实对称矩阵相似有相同的特征值.③正交阵的行列式等于1或-1；④A是正交阵,则AT，A-1也是正交阵；⑤两个正交阵之积仍是正交阵；⑥A的行（列）向量都是单位正交向量组.施密特正交规范化施密特正交规范化a,a,a线性无关,22|1β21β112β223β33技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量.1.二次型及其矩阵形式2.二次型向标准形转化的三种方式3.正定矩阵的判定(aTAxn2n)|正惯性指数正惯性指数二次型的规范形中正项项数p负惯性指数二次型的规范形中负项项数r-p符号差2p-r(r为二次型的秩)④两个矩阵合同常它们有相同的正负惯性指数常他们的秩与正惯性指数分别相等.