高中三年级上学期数学《分步乘法计数原理》教学课件

6.1.2分步乘法计数原理1.通过实例能归纳总结出分步乘法计数原理;2.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.重点：理解和掌握分步乘法计数原理．难点：能根据具体问题的特征，合理选择两种计数原理解决一些实际问题．问题1.

用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A1，A2，…A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？

问题与思考

方法二：由于6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9=54种不同的号码.

解：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来探究与发现问题2.你能说说这个问题的特征吗？上述计数过程的基本环节是：（1）由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步；（2）分别计算各步号码的个数；（3）将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数.

典例解析例1.设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？

解：第一步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择；第二步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择；根据分步计数原理，共有30×24=720种不同方法.分析:选出一组参赛代表，可分两步：第一步,选男生；第二步,选女生.问题3.如果完成一件事有三个步骤,做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?

N＝m1×m2×m3

探究与发现如果完成一件事需要有n个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?

如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事的方法总数如何计算？分步乘法计数原理一般结论：概念解析N＝m1×m2×…×mn例2.书架上第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法?(3)从书架上取2本不同学科的书,有多少种不同的取法?

解：（1）根据分类加法计数原理可得：N＝4＋3+2＝9；

典例解析

（2）根据分步乘法计数原理可得：N＝4×3×2＝24；（3）需先分类再分步.第一类：从一、二层各取一本，有4×3=12种方法；第二类：从一、三层各取一本,有4×2=8种方法；第三类：从二、三层各取一本,有3×2=6种方法；根据两个基本原理，不同的取法总数是N=4×3+4×2+3×2=26答:从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法.归纳总结跟踪训练跟踪训练1.有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定6名同学都参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．解：(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为36＝729.(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为6×5×4＝120.(3)每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为63＝216.解析：第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，…，依次，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法．故选A.1.4张卡片的正、反面分别标有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中3张卡片排放在一起,可组成

个不同的三位数.

解析:分三个步骤:第一步:百位可放8-1=7个数;第二步:十位可放6个数;第三步:个位可放4个数.根据分步乘法计数原理,可以组成N=7×6×4=168个不同的三位数.答案:168跟踪训练2.如图所示的电路图,从A到B共有

条不同的线路可通电.

解析:先分三类.第一类,经过支路①有3种方法;第二类,经过支路②有1种方法;第三类,经过支路③有2×2=4种方法,所以总的线路条数N=3+1+4=8.答案:83.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A爬到相对顶点C1,求其中经过3条棱的路线共有多少条?解:从总体上看有三类方法,分别经过AB,AD,AA1.从局部上看每一类又需分两步完成.故第一类:经过AB,有m1=1×2=2条;第二类:经过AD,有m2=1×2=2条;第三类:经过AA1,有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.4.北京大兴国际机场为4F级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于2019年9月25日正式通航．目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示；若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有

种不同的安排方法。（用数字作答）．解析:①西一跑道、西二跑道均被选取，有2种起飞方式；②西一跑道、西二跑道只有一道被选取，有2×2×2=8种起飞方式；由分类计数原理可知，满足条件的安排方法有2+8=10种．故答案为：10．02归纳总结SumUp2.区别

分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的