导数的概念及应用(重点)-2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)(原卷版)

考向14导数的概念及应用

【2022・全国•高考真题】曲线，=In|x|过坐标原点的两条切线的方程为

【2022・全国•高考真题】若曲线y=(x+a)e*有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是

1.求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导.注意以下几点：

连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和

或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函

数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元

2.利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：

(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率

可求切点坐标.

(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点.

(3)曲线“在”点P(%,%)处的切线与“过”点尸(%,为)的切线的区别：曲

线y=/(x)在点P值,%)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在,切线斜率为k=『g,

是唯一的一条切线；曲线y=/(x)过点的切线，是指切线经过点尸，点尸可以是切

点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.

3.利用导数的几何意义求参数的基本方法

利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足

的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围.

4.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点

(1)注意曲线上横坐标的取值范围；

(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.

i.在点的切线方程

切线方程=/'（毛）（尤-尤0）的计算：函数y=f（x）在点AC%，/（尤0））处的切线方

%=/（尤0）

程为y-/（不）=/。；0）（>:-毛），抓住关键

k=于'（X。）

2.过点的切线方程

设切点为尸（%,%）,则斜率k=/（%）,过切点的切线方程为：y-y0=f'（x0Xx-x0）,

又因为切线方程过点A（m,〃），所以"-%=/'（尤0）（根-尤0）然后解出毛的值.（/有几

个值，就有几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

一、导数的概念和几何性质

1.概念函数/（尤）在x=不处瞬时变化率是lim电=lim/（%+泡-小。）,我们称它

―一°Ax-。Ax

为函数y=〃x）在x=/处的导数，记作尸（%）或;/，=跖.

诠释：

①增量Ax可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.Ax—0的意义：Ar与0之间

距离要多近有

多近，即|Ar-0|可以小于给定的任意小的正数；

②当—0时，Ay在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在

一个常数与

包=/（%+Ax）-。（尤0）无限接近；

AxAx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是

位移在这一时

刻的瞬间变化率，即尸（X。）=lim包=lim/旬—四仓.

^->oAx-Ax

2.几何意义函数y=/（尤）在x=x0处的导数（（%）的几何意义即为函数y=〃尤）在点

P(x0,%)处的切线的斜率.

3.物理意义函数s=sQ)在点ZQ处的导数s'伉)是物体在小时刻的瞬时速度v，即

v=s'«o)；v=v⑺在点八的导数//)是物体在％时刻的瞬时加速度。，即a=M«o).

二、导数的运算

1.求导的基本公式

基本初等函数导函数

/(X)=c(C为常数)rw=o

/(x)=xa(aGQ)/'(x)=axa~x

/(x)=ax(a>0,a^l)fr(x)=ax\na

f(x)=logax(a>0,aw1)

xma

/(x)=d「(x)=靖

/(x)=lnx

/1«=-

X

f(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosx/r(x)=-sinx

2.导数的四则运算法则

(1)函数和差求导法则："(x)±g(x)]'=/(无)土g，(x)；

(2)函数积的求导法则："(x)g(x)]'=/(x)g(x)+/(x)g，(x)；

(3)函数商的求导法则：g(x)wO,则[2]=尸('g(x)一〃x)g'(x)

g(x)g(%)

3.复合函数求导数

复合函数丁=的导数和函数y=/(u),〃=g(%)的导数间关系为y；=yu：

1.（2022.青海・海东市第一中学模拟预测（理））曲线y=xe>2在％=2处的切线方程为（）

A.y=3x+4B.y=4尤+3

C.y=3%-4D.y=4x-3

2,（2022.湖南.长沙县第一中学模拟预测）函数y=21n（x+l）+sinx的图象在％=0处的切线

对应的倾斜角为。，则sin2==（）

3333

A.—B.±—C.—D.±—

101055

3.（2022・湖南•模拟预测）己知尸是曲线C：y=lnx+/+（若一°b上的一动点，曲线c在尸

点处的切线的倾斜角为。，若三则实数。的取值范围是（）

A.[273,0）B.[2>/2,0）C.卜》,2码D.卜》,2应]

4.（2022.安徽.巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线>='三在点（1乃）处的切线方程为

kx-y+6=0,则左的值为（）

A.—1B.—C.—D.1

32

1.（2022•广东•模拟预测）如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生

动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系.根据该表情包的说法，

/'（X）在x=/处连续是/（X）在了=而处可导的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2022・湖北•模拟预测）若过点（％”）（加<0）可作曲线y=-V三条切线，贝。（）

A.0<n<—m3B.n>—m3C.n<0D.0<77=—m

4

3.（2022.全国.模拟预测（理））过点P（0,6）作曲线y=xe，的切线，当-三<6<0时，切线

e

的条数是（）

A.0B.1C.2D.3

4.（2022・湖北・黄冈中学模拟预测）已知a,6为正实数,直线V=x-。与曲线y=ln（x+力相

切，则上1+?4的最小值为（）

ab

A.8B.9C.10D.13

5.（2022•四川省内江市第六中学模拟预测（理））若函数/（x）=f+l与g（x）=2alnx+l的

图象存在公共切线，则实数。的最大值为（）

2

A.-|B.eC.五D.e

6.（2022・云南师大附中模拟预测（理））若函数y=/（x）的图象上存在两个不同的点A,B,

使得曲线y=/（x）在这两点处的切线重合，则称函数y=/（x）为“自重合”函数.下列函数中

既是奇函数又是“自重合”函数的是（）

A.y=lnx+xB.y=d

C.y=x-cosxD.y=x+sinx

7.（2022•山东潍坊•三模）过点尸（1,加）（加eR）有〃条直线与函数/（x）=xe*的图像相切，当

〃取最大值时，加的取值范围为（）

A.--^-<m<eB.--<m<0C.--<m<0D.m<e

eee

8.（多选题）（2022•辽宁・渤海大学附属高级中学模拟预测）已知，>0,〃>0,直线y=%+2a

与曲线y=ei_6+l相切，则下列不等式一定成立的是（）

A.—।—>9B.（ibW-C.y]a2+b2D.J2a+y[b<y/2,

ab95

9.（多选题）（2022•山东潍坊•模拟预测）过平面内一点P作曲线y"lnx|两条互相垂直的切

线4,4,切点为尸/、尸2（尸八尸2不重合），设直线4,4分别与y轴交于点A，B,则下列结论正

确的是（）

A.P1、尸2两点的横坐标之积为定值

B.直线尸产2的斜率为定值

C.线段AB的长度为定值

D.三角形ABP面积的取值范围为（0,1]

10.（多选题）（2022•江苏•模拟预测）设函数〃力=（x2+ax+a）erx（aeR）的导函数尸（x）存

在两个零点X[、x2（xl>x2）,当。变化时，记点（无1，〃占））构成的曲线为C1,点（无构

成的曲线为C一则（）

A.曲线C|恒在x轴上方

B.曲线G与C2有唯一公共点

c.对于任意的实数乙直线y=f与曲线G有且仅有一个公共点

D.存在实数加，使得曲线C1、G分布在直线y=-x+机两侧

11.（2022・全国•南京外国语学校模拟预测）己知函数*x）=f-2,g（x）=31nx-依，若曲

线y=/（x）与曲线y=g⑺在公共点处的切线相同，则实数”.

12.（2022•江苏•阜宁县东沟中学模拟预测）已知a>0,b>0,直线>=x+a与曲线

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y=e*'-26+1相切，则—!■丁的最小值为___________.

ab

13.（2022•山东泰安・模拟预测）已知函数/（乃=-/+办2,写出一个同时满足下列两个条件

的/（X）：.①在工内）上单调递减；②曲线y=〃x）（xNl）存在斜率为T的切线.

14.（2022.山东潍坊.模拟预测）已知〃x）=e*—1（e为自然对数的底数），g（x）=lnx+l,

请写出与g（x）的一条公切线的方程.

15.（2022•山东师范大学附中模拟预测）已知函数〃x）=,g（x）=Y,若存在一条直线同

时与两个函数图象相切，则实数。的取值范围.

—ln(2x-l),x>—

16.（2022.广东佛山.模拟预测）已知函数〃彳）=<函数在1=1处的切线

x2+2cx+a,x<—1

2

方程为.若该切线与/（%）的图象有三个公共点，贝"的取值范围是

，真题练）

1.（2021.全国.高考真题）若过点可以作曲线y=e'的两条切线，则（）参考答案

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

2.（2020•全国•高考真题（理））若直线/与曲线产石和好+产]都相切，贝I]/的方程为（）

A.y=2x+lB.y=2x+1C.y=1x+lD.>=；%+；

3.（2020•全国•高考真题（理））函数〃x）=/_2V的图像在点（1,/⑴）处的切线方程为（）

A.y=—2x—lB.y=-2x+l

C.y=2尤一3D.y=2尤+1

4.（2022•全国•高考真题）已知函数/（无）=/_x+l,则（）

A./（x）有两个极值点B./（x）有三个零点

C.点（0,1）是曲线y=/（x）的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/（x）的切线

5.（2022・全国.高考真题）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方