河南省2025届高三数学招生模拟考试试题理（含解析）

河南省2025届高三数学招生模拟考试试题理(含解析)

留意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合A={y|y=2”,x〉0},B={%|y=log2(%-2)},则A=B)=

A.[0,1)B.(1,2)C.(1,2]D.[2,+s)

【答案】C

【解析】

【分析】

化简集合A,B,利用交并补运算得到结果.

【详解】由题意易得：4=(1,+。)，3=(2,+。)

^B=(-oo,2],

故选c

【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算实

力.

2.已知复数z满足(l+JM)z=l+，，则复平面内与复数z对应的点在

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案.

【详解】由(1+后)z=l+i,得

21+,0+0(1-J)1+省+(1-6)，1+8卜石,

z1+/(1+73Z)(1-V3Z)1+34+41'

复数z在复平面内对应的点的坐标为(巨8,匕且)，在第四象限.

44

故选D.

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础

题.

3.已知函数f(x)=sin4x—cos,x,则下列说法正确的是

A.f(x)的最小正周期为2%B./(无)的最大值为2

c.f(x)的图像关于y轴对称D./(尤)在区间［工，工］上单调递减

42

【答案】C

【解析】

【分析】

利用余弦型函数的图像与性质逐一推断即可.

【详解】：/*(x)=sir?x-cos4x=sin2jr-cos、=-cos2x,

・・・函数的最小正周期7=兀，

-x)=-cos(-2x)=-cos2x=_f(x),

・・・f(x)为偶函数，其图象关于p轴对称，

7/7/7/7/

,:fqX)=cos2x在［―,―］上单调递减，故/1(x)=-©0$2丫在［—,―］上单调递增.

4242

故选C.

【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关

系、二倍角的余弦公式的应用，娴熟驾驭函数的性质与公式是解题的关键.

4.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知

线段的黄金分割点，详细方法如下：(1)取线段AB=2,过点B作AB的垂线，并用圆规在垂

线上截取BC=^AB,连接AC；(2)以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；(3)以A为

2

圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E.则点E即为线段AB的黄金分割点.若在线段AB上随

机取一点F,则使得BEWAFWAE的概率约为()(参考数据：］?\2.236)

A.0.236B.0.382C.0.472D.0.618

【答案】A

【解析】

【分析】

由勾股定理可得:AC=75«2.236,由图易得：0.764WAFW1.236,由几何概型可得概率约

^1.236-0.764

为-3—=0.236.

【详解】由勾股定理可得：AC=-^5~2.236，由图可知：BC=CD=1,AD=AE=-^5—1—1.236,

BE«2-1.236=0.764,贝ij：0.764WAFW1.236,由几何概型可得：使得BEWAFWAE的概率

1.236-0.764

约为=-------------=0.236,

2

故选A.

【点睛】本题考查了勾股定理、几何概型求概率的问题，属于基础题.

5.已知等比数列伍“｝中，有。3%1=4%，数列他,｝是等差数列，其前〃项和为S“，且用=%，

则S"=()

A.26B.52C.78D.104

【答案】B

【解析】

【分析】

设等比数列｛4｝公比为g,利用等比性质可得痴=4%,即%，再结合金=13%即

可得到结果.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为G：=4%，；.4；=4%W0,解得%=4,

数列也｝是等差数列，且用=%.

13x（〃+犯）

•••，3=——111=132=13%=52

故选：B.

【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理实力与计算实力,

属于中档题.

6.已知两条直线a力和平面a,若Z?ua,则a//b是a//a的（）

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】

先推断a//Z?=a//a与a//（z=a//b的真假，然后利用充要条件的定义，得到a//b与

alia的关系.

【详解】当时，

若a//。时，。与a的关系可能是a//g,也可能是aua,即。//a不肯定成立，故

allb=aIla为假命题；

若a//a时，a与力的关系可能是。//0,也可能是。与b异面，即a//b不肯定成立，故

a//a=a//b也为假命题；

故a//。是a//a的既不充分又不必要条件

故选：D

【点睛】本题考查充要条件、直线与平面平行关系的推断,求解的关键是先推断a/力na//a

与a//a=a//b的真假.

x<2

7.已知函数f（x）='2'若/（。）之1,则。的取值范围是

2

^log3（x-l）,x>2,

A.[1,2)B.[l,+oo)C.[2,+oo)D.

(-oo,-2][1,+<»)

【答案】B

【解析】

【分析】

依题意，对a分a<2,与aN2探讨，再解相应的不等式即可.

'ex~1,x<2,

【详解】V/(x)=f(a)>l

log3[x-l),x>2,

'a<2Ja>2

2

"或log3(a-1^>1

a<2a>2

即《或<

6Z-l>0a2-l>3

即l<a<2或a22

。的取值范围是[L+8)

故选B

【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用，突出考查分类探讨思想与方程思想的综合

应用，属于中档题.

2x+y>2,

8.若％,y满足约束条件x<2,则上的取值范围为

c八x+2

x-2<0,

A.[-万1]B.]u[l,+oo)C.[0,1]D.[-J]

【答案】A

【解析】

【分析】

问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得.

2x+y>2

【详解】作出x,y满足约束条件\y-x<2的可行域如图：

x-2<0

小ABC,上-表示区域内的点与点(-2,0)连线的斜率，

x+2

x=2

联方程组《可解得8(2,-2),同理可得2(2,4),

2x+y=2

当直线经过点8时，〃取最小值：----=—-

2+22

4

当直线经过点/时，〃取最大值----=1.

2+2

1

则二y一的取值范围：[—-,1].

x+22

【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.须要留意的是：一、精确

无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要留意与约束条件中的直线的斜率进

行比较，避开出错；三、一般状况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取

得.

1,1

9.[2024•开封一模]已知数列｛4｝中，a-,«„+1=1-一，利用下面程序框图计算该数

l=a

2n

列的项时，若输出的是2,则推断框内的条件不行能是()

A.n<2012B.“W2015C.«<2017D.

ra<2018

【答案】C

【解析】

【分析】

本程序框图为“当型”循环结构，推断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该

程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出4=2时求出满足题意的选项

即可.

【详解】通过分析，本程序框图为“当型”循环结构，

推断框内为满足循环的条件，

循环前，A=—,72=1;

2

第1次循环，2=1-2=-1,〃=1+1=2；

第2次循环，/=1+1=2,72=2+1=3；

第3次循环，A=l~—=—,77=3+1=4；

22

所以，程序运行时计算A的值是以3为周期的函数，

当程序运行后输出/=2时，〃能被3整除，此时不满足循环条件.

分析选项中的条件，满足题意的C.

故选C.

【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时肯定

留意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）留意区分程序框图是条件分支结构还是

循环结构；（3）留意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时肯定

要正确限制循环次数；（5）要留意各个框的依次，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题

中只要依据程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

10.已知AABC中，A=60°,AB=6,AC=4,。为AABC所在平面上一点，且满足

Q4=05=O。.设AO=+,则％+〃的值为（）

【答案】C

【解析】

【分析】

AO-AB=IS

由由。4=。3=。。，得：点。是A4BC的外心，由向量的投影的概念可得：，

AOAC=8

62+2〃=3

再代入运算《,即可

34+4〃=2

【详解】解：由。4=03=。。，得：点。是AA5C的外心,

又外心是中垂线的交点，则有：\AO-AB=18

AOAC=8

f(2AB+^AC)?4B=

[(2AB+〃AC)%C=

又AB=6,AC=4,AB.AC=12>

2=-

62+2//=39

所以《「：c，解得：1

32+4//二21

4111

即4+//=—I—=—

9618

故选：C.

【点睛】本题考查了外心是中垂线的交点，投影的概念，平面对量的数量积公式，属中档题.

22

11.已知P是双曲线二-1=1（。＞0力＞0）上一点，且在X轴上方，K，工分别是双曲线的

ab

左、右焦点，1耳81=12,直线PK的斜率为—4岔，AP月月的面积为246，则双曲线的

离心率为

A.3B.2C.73D.0

【答案】B

【解析】

【分析】

利用三角形的面积求出户的纵坐标，通过直线的斜率，求出户的横坐标，然后求解a,c,然

后求解双曲线的离心率即可.

22

【详解】户是双曲线二-与=1（a>0,6>0）上一点，且在x轴上方，F\,K分别是双曲线

a2b2

的左、右焦点，㈤用=12,c=6,

1r-

△阳月的面积为24真，可得尸的纵坐标y为：-X12X3；=24V3,7=473.直线行的斜

率为-4逝，

所以卢的横坐标X满足：上=—46，解得X=5,则户（5,473），

x-6

\^\=7（5+6）2+（4A/3-0）2=13，

1^1=7（5-6）2+（4^-0）2=7,

所以2a=13-7,a=3,

所以双曲线的离心率为：e=-=2.

a

故选B.

【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：

（1）求得兄。的值，干脆代入公式e=f求解；

a

（2）列出关于。，仇c的齐次方程（或不等式），然后依据廿=4_02,消去b后转化成关于e

的方程（或不等式）求解.

12.已知4B,。为球。的球面上的三个定点，ZABC=60，AC=2,户为球。的球面上的

动点，记三棱锥。一/欧的体积为K，三棱锥。一/回的体积为力，若关的最大值为3,则

球。的表面积为（)

16%647r3兀

A.——B.——C.—D.67r

992

【答案】B

【解析】

【分析】

设AABC的外接圆圆心为O',其半径为r,球。的半径为R,且|OO[=d,依据体积比求

22

得R=2d,利用球的性质，得氏=r,再由三角形的性质，求得厂=,利用球的表面

积公式，即可求解.

【详解】由题意，设AABC的外接圆圆心为0',其半径为，球。的半径为R,且[00]=d

依题意可知11]=”4=3,即H=2d,明显出=屋+产，故R=j,

也人xdV3

cAC42

又由"='//=F，故「=不，

smZABCV3J3

...球。的表面积为4乃夫92=一16%/9=一64乃，故选艮

39

【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的性质的应用，其中解答中依据几何体

的结构特征，合理利用求得性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象实力，

属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的诞生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、

龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的祥瑞物各一个,三位同学依次

选一个作为礼物，甲同学喜爱牛和马，乙同学喜爱牛、狗和羊，丙同学哪个祥瑞物都喜爱.假如

让三位同学选取的礼物都满足,则选法有种.

【答案】50

【解析】

【分析】

先分状况甲选牛共有C；-Ch=20,甲选马有•C：o=30,得出结果若

【详解】解：先分类，若甲同学选了牛，则乙同学有2种选法，丙同学有10种选法，共有

C；C；o=2O种选法；

若甲同学选了马，则乙同学有3种选法，丙同学有10种选法,共有C；•C：o=30种选法.

故三位同学的选法共有20+30=50（种）

【点睛】本题主要考查了排列组合,分状况选择是解题的关键,属于基础题.

14.已知正数乂丁满足好+>2=1,则当x=时，一+一取得最小值，最小值为

【答案】(1).与(2).2&

【解析】

【分析】

先依据基本不等式得好+/22盯，结合必+丁2=1得,再由基本不等式得

工+工＞2」222后，最终检验％=y=变时成马上可.

xyVxy_2

【详解】解：由基本不等式可得Y+y22孙，当且仅当x=y时等号成立.

正数％。满足好+丁=1,.•.孙wg,

当且仅当x=y=也时等号成立..•.工+工》2」工》2行，

2xyyxy

J?11「

当且仅当％=y=在时等号成立，..・一+一的最小值为2&-

2%y

故答案为：(1).叵(2).2亚

2

【点睛】本题考查基本不等式，要留意”肯定二正三相等”.

15.已知函数/(幻是定义域为(-8,+8)的偶函数，且/(X-1)为奇函数，当xc[O,l]时，

/(x)=i-d,则勺_)=_.

7

【答案】

8

【解析】

【分析】

先由题意，“力是定义域为(T&+8)的偶函数，且/(X-1)为奇函数，利用函数的奇偶性

推出了。)的周期7=4,可得/(g)=—/(g)，然后带入求得结果.

【详解】因为/(X—1)为奇函数，所以/(—X—1)=—/(%—1).•・/(—x—2)=—/(无)

又因为〃力是定义域为(TR”)的偶函数，所以/(-%)=/(%)

即f(-x-2)=-f(-x).・・/(x-2)=-f(x)

所以/(x)的周期T=4

295551

因为/(y)=/(12+-)=/(-)=-/(--2)=-/(-)

297

所以/(K)=—6

2o

7

故答案为---

8

【点睛】本题主要考查了函数的性质，函数性质的变形以及公式的熟记是解题的关键，属于

中档题.

16.已知点E在y轴上，点歹是抛物线=2px（p>0）的焦点，直线所与抛物线交于“，

N两点，若点"为线段所的中点，且|NF|=12,则.

【答案】8

【解析】

【分析】

设石（03），又尸2°］，由M为所的中点，求得网0,、历p）,直线所的方程代入

y2^2px,得4f—5px+p2=。，求得点N的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解.

【详解】设£（03），又（"1，°］，因为"为所的中点，

所以点A7的坐标为（弓，y］,则丁2=2夕义£=£-,即M4P,

U-42（42）

又由则人=&〃，即石（O,0p）,

直线EF的方程为y=-20%+,代入y2=2p%,得4%之-5p%+p?=。，

设N（x,y）,则x+d.，解得x=P,

由抛物线的定义得：|NR|=P+^=12,解得：p=8.

y

¥

K

【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解

答中把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和抛物线的定义合理计算是解

答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于中档试题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，

每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.已知AA5C的面积为3#，且内角4B、。依次成等差数列.

(1)若sinC=3sinA,求边AC的长；

(2)设。为边AC的中点，求线段长的最小值.

【答案】(1)2近(2)3.

【解析】

【分析】

(1)由题意可得6=60°,结合面积公式得ac=12.利用正弦定理角化边，据此可得a,c值,

最终由余弦定理可得AC的长.

(2)由题意可得=+利用向量的运算法则和均值不等式的结论可得长

的最小值.

【详解】(1)AABC三内角A、B、C依次成等差数列，.•.6=60°

设A、AC所对的边分别为a,4c,由S=3百=工acsinB可得ac=12.

2

sinC-3sinA,由正弦定理知c=3a,:.a=2,c=6.

△ABC中，由余弦定理可得尸=/+02—2accosB=28,，z，=2j7.

即AC的长为2a

(2)是AC边上的中线，.•.JBD=g(3C+R4)

BIX=^BC2+BK+IBC砌=1(tz2+c2+laccosB^=^a2+c2+ac)

>^(2ac+ac)=9,当且仅当时取“=”

23,即5。长的最小值为3.

【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题

中若出现边的一次式一般采纳到正弦定理，出现边的二次式一般采纳到余弦定理.应用正、

余弦定理时，留意公式变式的应用.解决三角形问题时，留意角的限制范围.

18.如图，在三棱锥A—BCD中，A6c是等边三角形，/BAD=NBCD=90。，点P是AC

的中点，连接成,DP.

(1)证明:平面ACDJ_平面

(2)若3。="，且二面角A—BD—C为120°,求直线AD与平面5CD所成角的正弦值.

【答案】(1)见解析(2)@

2

【解析】

【分析】

(1)由ABC是等边三角形，ZBAD=NBCD=90°,得AD=CD.再证明

PDVAC,PBLAC,从而和证明AC,平面PBD,故平面ACDL平面5DP得证.

(2)作CELBD,垂足为£连接AE.由RtABDcRtCfi。，证得AE，3D,AE=CE,

结合二面角A—BD—C为120。，可得AB=2,AE=空,=.建立空间直角坐标

33

、一(V61（也V6A

系，求出点的坐标则。0,--,0A一,向量AD=彳-,5-,-1，即平面BCD

777

,.m-AD।I

的一个法向量m=(0,0,1),运用公式cos(m,AD)=和sin6=cos(m,AD),即可得

出直线AO与平面BCD所成角的正弦值.

【详解】解：(1)证明：因为,ABC是等边三角形，ZBAD=NBCD=90。,

所以RtAB£>=RtCBD,可得AD=CD.

因为点尸是AC的中点，则PB±AC,

因为P£>PB=P,PDu平面PBD,QBu平面PBD,

所以AC,平面因为ACu平面ACD,

所以平面AGO，平面5。尸.

(2)如图，作CELBD,垂足为E连接AE.

所以AE，BD,AE=CE,ZAEC为二面角A-BD-C的平面角.

由已知二面角A—BD—C为120°,知ZAEC=120°.

在等腰三角形A£C中，由余弦定理可得AC=

因为A6c是等边三角形，则AC=A6,所以=

在RtA4BD中，有2AE♦=工AB•A。，得3D=&£>,

22

因为30=#，所以4£>=，5.

又BI?=AB?+")2,所以Ap=2.

则AE=^LED=—.

33

以E为坐标原点，以向量EC,ED的方向分别为x轴，V轴的正方向,

以过点E垂直于平面BCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系E-xyz,

则D[O,乎,o],向量=乎,一1,

平面BCD的一个法向量为根=(0,01)，

设直线AD与平面3CD所成的角为仇

则cos<m,AD)=R=一Zsin'=|cos(m,AD)|=一

所以直线AO与平面BCD所成角的正弦值为YZ.

2

【点睛】本题考查面面垂直的证明和线面所成角的大小,考查空间想象力和是数形结合的实力,

属于基础题.

19.已知椭圆。：二+/=1(。〉6〉0)的离心率为孝，短轴长为2.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线/：y=依+m与椭圆C交于M,N两点，。为坐标原点，若自用•自N=；，

求证：点(加,外在定圆上.

【答案】(1)椭圆。的标准方程为三+V=1(2)证明见解析

4

【解析】

试题分析：(1)由已知可得e=g=W，

2b=2b=l,a=2n椭圆C为作+/=1；(2)

a2

y=kx+m

222

2=^>+l^x+8^mx+4m-4=0=>/^+10,且玉+%

由<X21<

—+y=1

UJ

8km4m2-4

n%%=左2Mx2+^m(xi+/)+疗，又

4FTT,X1X2=7FTT

22

k0M.kON="I=：4y%=5XR2N4k^x2+4bn(xl+x2)+4m=n

(4Z:2-5)(m2-l)-

8左2m2+%2（4左2+］）=0nm2+左2=3②，由①②得0V%2<9,J_</V9=点

\'45204

（冽,左）在定圆X2+y2——上.

试题解析：（1）设焦距为2c,由已知e=£=Y3，2b=2,：.b=l,a=2,

a2

...椭圆C的标准方程为三+丁=1.

4-

y=kx+m

2

（2）设加（七，M）,"（X2，%），联立'x2得（4左2+1）］2+8初1T+4/-4=0,

、「v=

依题意，A=（8^m）2-4（4^2+l）（4m2-4）>0,化简得病<48+1，①

8km4m2-4

yxy2=（监+m）（g+m）=左+9）+4，

5y%5-

右k（）M，-T»则—］，即4yM=5x^2，

MN4大？H"

4左2石%2+4km（%+%2）+4m2=5%/，

./“2c\4"T「ShnA

••（4左2—5］-v,----+4^m---------+4m2=0，

\>4左2+1I4^2+l）

即（4左2-5）（n?_］）—8左2nl2+m2（4左2+］）=0,化简得机？+左2=:,②

,61,5

由①②得0<7犷<-,一<k-<-.

5204

•••点（”出在定圆好+丁=；上.（没有求左范围不扣分）

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等学问,

涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解实力

和逻辑推理实力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为

—+V2=1;（2）设而不求法求得

4-

y=kx+m

<fn(4左2+1)尤2+8妨氏+4m2-4=0=<4左2+1①，再利用韦达定理转化

—+y=1、)

I4'

得8左2m?+根2(4左2+])=0n"?2+左2=』②，由①②得0<徵2<9,!<左2<』0点

v'45204

(加,女)在定圆x2+y2=—上.

20.已知函数/(x)=mex-Inx-1.

(1)当m=1时，求曲线y=/(©在点(1,/⑴)处的切线方程；

(2)若7"c(l,+8),求证：/(x)>1.

【答案】(1)y=(e—l)x；(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)代入机=1,可得y=f(x)的解析式.求得导函数,即可得直线方程的斜率,求得点坐标后,

由点斜式即可求得切线方程.

(2)依据放缩法，由相>1得/(x)=mex-Inx-l>eJC-lnx-l.从而证明ex-\nx-2>0

即可.构造函数g(x)=靖—Inx,通过求得导函数g'(x)="—l，再令/z(x)="—工，求得

XX

"(x)=/+±>0.即可推断丸(x)=e"—工的单调性,进而求得g\x)=ex--的零点所在

XXX

区间,并推断出该零点为g(x)=ex-Inx的微小值点,求得在该点的最小值,即证明不等式成

立.

【详解】(1)当根=1时，/(x)=ex-1nx-l

所以="-工

X

所以/'⑴=e—l,又因为/(I)=e—1,即点坐标为(1,e—1)

所以曲线y=/(%)在点(1,e—1)处的切线方程为y—(e—1)=(e—1)(%-1)

即丁=(e—l)x

(2)证明：当机>1时，y(x)=mex-lnx-l>^x-lnx-l,

要证明了(X)>1,只需证明"—InX—2>0,

设g(x)=ex-Inx,贝！]g'(x)=el--,

x

设“(x)=e"—！，则/(x)=e'+二>0,

XX"

所以函数/l(x)=g'(X)=靖-」在(0,+8)上单调递增，

X

因为g[£|=e5—2<0,gQ)=e—1>0,

所以函数g'(x)=e*-工在(0,+8)上有唯一零点/,且/,

因为g'(%)=°，所以*=一，即ln%=—Xo，

XQ

当xe(O,Xo)时,gr(x)<0；当xe(%,+oo)时，g'(x)>0,

所以当x=/时，g(x)取得最小值g(%)，

故g(x)2g(xo)=e&-lnx0-2=—+x0-2>0；%0e|-,1|

xo^2J

综上可知,若me(1,+oo),f(x)>1.

【点睛】本题考查了利用导数求切线方程，由导数证明不等式成立.依据导数推断函数的单调

性和极值,函数的最值及零点的综合应用,对思维实力要求较高,是高考的常考点和重难点,属

于难题.

21.2024年12月以来，湖北武汉市发觉多起病毒性肺炎病例，并快速在全国范围内起先传播,

专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之

间的传染，可以通过与患者的亲密接触进行传染.我们把与患者有过亲密接触的人群称为亲密

接触者，每位亲密接触者被感染后即被称为患者.已知每位亲密接触者在接触一个患者后被感

染的概率为。(0<〃<1),某位患者在隔离之前，每天有。位亲密接触者，其中被感染的人

数为X(0<X<a),假设每位亲密接触者不再接触其他患者.

(1)求一天内被感染人数为X的概率尸(X)与。、0的关系式和X的数学期望；

(2)该病毒在进入人体后有14天的潜藏期，在这14天的潜藏期内患者无任何症状，为病毒

传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的其次天又有。位亲密接触者,从某一名患者被感染,

按第1天算起，第〃天新增患者的数学期望记为心(〃22).

(i)求数列｛gj的通项公式，并证明数列｛£“｝为等比数列；

2

(ii)若戴口罩能降低每位亲密接触者患病概率，降低后的患病概率p'=ln(l+p)-§p,

当P'取最大值时，计算此时"所对应的线'值和此时P对应的E6值，依据计算结果说明戴

口罩的必要性.(取a=10)

(结果保留整数，参考数据：ln5B1.6,ln3al.l』n2a0.7,』a0.3,2a0.7)

33

【答案】(1)P(X)YpX("p)n-x；EX=ap.

2

(2)(i)En=ap(l+apy-,证明见解析；(ii)16,6480,戴口罩很有必要.

【解析】

【分析】

(1)由题意，被感染人数听从二项分布：X~B(a,p),则可求出概率及数学期望；

(2)(/)依据第〃天被感染人数为(1+即)"T,及第〃—1天被感染人数为(1+")-2,

nln2

作差可得可得，En=(1+ap)--(l+ap)-=ap(i+即产?，可证，(力.)利用导数计算此

时"所对应的66‘值和此时2对应的石6值，依据计算结果说明戴口罩的必要性.

【详解】(1)由题意，被感染人数听从二项分布：X~B(a,p),

xx

则pm=c^P(i-Py~,(o<x<«),

X的数学期望EX=ap.

(2)(7)第九天被感染人数为(l+ap)a,

2

第九—1天被感染人数为(1+aPy-,

由题目中均值的定义可知，

E"=(1+ap)"T—(1+ap)n~2=ap(l+ap)"~2

E

则=1+卬，且E?=ap.

・•・{£；}是以在为首项，1+叩为公比的等比数列.

令

（77）/(p)=ln(l+p)-gp,

1__2_~2p+l

则f'(p)=7+l-3-3(p+l)

(0,；)上单调递增，在(；/)上单调递减.

/(/?)_=J(l)=ln---=ln3-ln2--»l.l-0.7-0.3=0.1.

J\广)max"\2/233

2

则当a=10,En=10pd+10Py-

E6'=10X0.1（1+10X0.1）4=16.

4

E6=10X0.5（1+10X0.5）=6480.

-E6>E6'

二戴口罩很有必要.

【点睛】本题考查二项分布的概率及期望，数学期望与数列综合，考查综合分析及转化实力,

考查学问的迁移实力，属于较难题.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.假如多做，则按所做的第

一题计分.

7T

22.在极坐标系中，直线/的极坐标方程为6=§（peR）.以极点为原点，极轴为x轴的正半

x=2sin。

轴建立平面直角坐标系，曲线。的参数方程为《，c,（a为参数）.