2024年《圆》知识点归类及典例分析

知识點一：圆的基本性质【知识要點】【經典例題】1、例P為⊙O内一點，OP=3cm，⊙O半径為5cm，则通過P點的最短弦長為________；最長弦長為_______．2、如图，點P是半径為5的⊙O内一點，且OP＝3，在過點P的所有弦中，長度為整数的弦一共有（  ）（A）2条（B）3条（C）4条（D）5条3．有下列四個命題：①直径是弦；②通過三個點一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶點的距离都相等；④半径相等的两個半圆是等弧.其中對的的有()

(A)4個(B)3個(C)2個(D)1個

4．下列判断中對的的是()

(A)平分弦的直线垂直于弦

(B)平分弦的直线也必平分弦所對的两条弧

(C)弦的垂直平分线必平分弦所對的两条弧

(D)平分一条弧的直线必平分這条弧所對的弦

知识點二：垂径定理【知识要點】【經典例題】1、半径為5厘米的圆中，有一条長為6厘米的弦，则圆心到此弦的距离為 （  ）（A）3厘米（B）4厘米（C）5厘米（D）6厘米2、如图，AB是⊙O直径，CD是弦．若AB＝10厘米，CD＝8厘米，那么A、B两點到直线CD的距离之和為（  ）（A）12厘米（B）10厘米（C）8厘米（D）6厘米3、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于點P，CD＝10厘米，AP∶PB＝1∶5，那么⊙O的半径是 （  ）（A）6厘米（B）厘米（C）8厘米（D）厘米4、如图7-12，圆管内，原有积水平面宽CD=10厘米，水深GF=1厘米，後水面上升1厘米（即EG=1厘米），問：些時水面宽AB為多少?5、在直径為50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.6、如图，在两個同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两點，设大圆和小圆的半径分别為.求证：.知识點三：圆心角、弦、弧、弦心距的关系【知识要點】【經典例題】1、在半径為2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离為1，则弦AB所對的圆心角的度数可以是 （  ）（A）（B）（C）（D）2、半径為5厘米的圆中，有一条長為6厘米的弦，则圆心到此弦的距离為 （  ）（A）3厘米（B）4厘米（C）5厘米（D）6厘米3、两個點O為圆心的同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，假如AB的長為24，大圆的半径OA為13，那么小圆的半径為___________．4、已知⊙O中，两弦AB与CD相交于點E，若E為AB的中點，CE∶ED＝1∶4，AB＝4，则CD的長等于___________．5、如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的點A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°．為了监控整個展厅，至少需在圆形边缘上共安装這样的监视器（）台．A、3B、4C、5D、6知识點四：圆周角【知识要點】【經典例題】1、如图，已知圆心角∠BOC＝，则圆周角∠BAC的度数是 （  ）（A）（B）（C）（D）2、如图，AB是⊙O的直径，∠C＝，则∠ABD＝（  ）（A）（B）（C）（D）第5題图第3第5題图第3題图第1題图第4題图第2題图3、如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝，则∠BAD的度数為 （  ）（A）（B）（C）（D）4、如图7-22，设⊙O的半径的為R,且AB=AC=R,则∠BAC=_______.5、如图7-23，AB為⊙O的弦，∠OAB=75O,则此弦所對的优弧是圆周的______。6、△ABC為⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是______。7、如图7-24，（1）∠=_______；（2）∠=_______。8、已知⊙O中，，则AB与CD的关系是()A．AB＝2CDB．AB>2CDC．AB<2CD D．無法确定知识點五：弦切角【知识要點】【經典例題】1、如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切點分别為B、C，D是优弧上的一點，已知∠BAC＝，那么∠BDC＝__________度．2、如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，，，的度数比為3∶2∶4，MN是⊙O的切线，C是切點，则∠BCM的度数為___________．3、如图，P是⊙O的直径AB延長线上一點，PC切⊙O于點C，PC＝6，BC∶AC＝1∶2，则AB的長為___________．4、如图7-136，在⊙O中，AC是弦，AD是切线，CB⊥AD，垂足為B，CB与圆相交于點E，假如AE平分∠BAC，则∠ACB=____5、如图7-137，⊙O的两条直径AB与CD，BT是過B點的切點，且弧BD＝45°，则∠BAD＝____；∠CBT=____6、如图7-140，PA、PC分别切⊙O于點A、C，D為弧AC上任一點，连結CD交AP于點E，∠P＝30°，则∠ADE＝____7、如图7-141，CD為⊙O的直径，AE切⊙O于點B，DC的延長线交AB于點A，∠DBE=62°，则∠A＝____度．知识點六：切线長定理【知识要點】【經典例題】1、已知：⊙O的半径為1，M為⊙O外的一點，MA切⊙O于點A，MA＝1．若AB是⊙O的弦，且AB＝，则MB的長度為_________．2、已知：如图，⊙O半径為5，PC切⊙O于點C，PO交⊙O于點A，PA＝4，那么PC的長等于（  ）（A）6（B）2（C）2（D）23、已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角為，過C點的切线PC与AB延長线交P．PC＝5，则⊙O的半径為 （  ）（A）（B）（C）10（D）54、如图，AB是⊙O的直径，點P在BA的延長线上，PC是⊙O的切线，C為切點，PC＝2，PA＝4，则⊙O的半径等于 （  ）（A）1（B）2（C）（D）5、已知：Rt△ABC中，∠C＝，O為斜边AB上的一點，以O為圆心的圆与边AC、BC分别相切于點E、F，若AC＝1，BC＝3，则⊙O的半径為 （  ）（A）（B）（C）（D）6、如图，AB為⊙O的直径，P點在AB的延長线上，PM切⊙O于M點．若OA＝a，PM＝a，那么△PMB的周長的__________．7、如图，PA、PB与⊙O分别相切于點A、點B，AC是⊙O的直径，PC交⊙O于點D．已知∠APB＝，AC＝2，那么CD的長為________．8．如图2，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知PA=7cm，则△PCD的周長等于_________．9、如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、AB、AC分别相切于點D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm,CA=13cm,求AE、BD、CF的長。10、如图，以等腰△ABC一腰AB上O，以OB作，⊙O交底边BC于D．過D作⊙O切线DE，交AC于E．

（1）求证：DE⊥AC；

（2）若AB=BC=CA=2，問O与A時，⊙O与AC相切？11、如图11，在以O為圆心的两個同心圆中，AB通過圆心O，且与小圆相交于點A，与大圆相交于點B。小圆的切线AC与大圆相交于D，且CO平分∠ACB。（1）判断直线BC与小圆的位置关系，并阐明理由（2）判断AC、BC、AD之间的数量关系，并阐明理由（3）若AB=8cm,BC=10cm,求小圆与大圆围成的圆环面积12、、在锐角△ABC中，∠A=50O,若點O為外心，则∠BOC=_____;若點I為内心，则∠BIC=______；若點H為垂心，则∠BHC=________.AADBOCE图1313、已知：如图20，在△ABC中，AB=AC，以BC為直径的半圆O与边AB相交于點D，切线DE⊥AC，垂足為點E．求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）．知识點七：圆幂定理、切线長定理、割线長定理【知识要點】（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交點分得的两条线段的乘积相等。即：在⊙中，∵弦、相交于點，∴（2）推论：假如弦与直径垂直相交，那么弦的二分之一是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在⊙中，∵直径∴（3）切割线定理：從圆外一點引圆的切线和割线，切线長是這點到割线与圆交點的两条线段長的比例中项。即：在⊙中，∵是切线，是割线∴（4）割线定理：從圆外一點引圆的两条割线，這一點到每条割线与圆的交點的两条线段長的积相等（如上图）。即：在⊙中，∵、是割线∴【經典例題】1、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中點，延長AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，则EF的長是_________．2、圆内两条弦AB和CD相交于P點，AB長為7，AB把CD提成两部分的线段長分别為2和6，那么＝__________．3、如图，⊙O的弦AB＝8厘米，弦CD平分AB于點E．若CE＝2厘米．ED長為 （  ）（A）8厘米（B）6厘米（C）4厘米（D）2厘米4、如图，PA切⊙O于點A，PBC是⊙O的割线且過圆心，PA＝4，PB＝2，则⊙O的半径等于（  ）（A）3（B）4（C）6（D）85、如图：PA切⊙O于點A，PBC是⊙O的一条割线，有PA＝3，PB＝BC，那么BC的長是 （  ）（A）3（B）3（C）（D）6、如图，P是⊙O外一點，PC切⊙O于點C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两點，假如PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径為10cm，则圆心O到AB的距离是___________知识點八：點与圆的位置关系【知识要點】【經典例題】1、在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,以點A為圆心作圆,若B,C,D三點中至少有一點在圆内,且至少有一點在圆外,则⊙A的半径R的取值范围是2、一已知點到圆周上的點的最大距离為8,最小距离為2.则此圆的半径_____.3、在Rt△ABC中∠C=90O,AC=4,OC=3,E、F分别為AO、AC的中點,以O為圆心、OC為半径作圆,點E在⊙O的圆_____,點F在⊙O的圆_____.4、在直角坐標系中,⊙O的半径為5厘米,圆心O的坐標為(-1,-4),點P(3,-1)与圆O的位置关系是.5、⊙O的半径為10，弦AB的長度為12，则在⊙O上到弦AB的距离為1的點有_____個，在⊙O上且到弦AB的距离為2的點有_____個．6、⊙O的半径長為10，點P到圆心的距离為8，通過點P且長為整数的弦有几条（）A、9B、12C、14D、16知识點九：线与圆的位置关系【知识要點】【經典例題】1、已知：點P直线l的距离為3，以點P為圆心，r為半径画圆，假如圆上有且只有两點到直线l的距离均為2，则半径r的取值范围是 （  ）（A）r＞1（B）r＞2（C）2＜r＜3（D）1＜r＜52、如图，直线AB，CD相交于點O，∠AOC=30°，半径為1cm的⊙P的圆心在直线OA上，且与點O的距离為6cm，假如⊙P以1m/s的速度沿由A向B的方向移動，那么通過多少秒钟後⊙P与直线CD相切？3、在Rt△ABC中，∠C=90O,AC=5,AB=13.(1)以點A為圆心、4為半径的圆A与直线BC的位置关系是_____;(2)以點B為圆心、以AB的長為半径的圆B与直线AC的位置关系是_____;(3)以點C為圆心，當半径為______時，圆C与直线AB相切。4、如图，两根圆柱形钢件，它們的半径分别為6cm和2cm，既有一根绳子把它們捆紧，問至少需要多長绳子。（不计绳子接頭）

5、如图，半圆O的圆心在梯形ABCD的下底AB上，且此外三边AD、DC、CB均与半圆O相切。已知，则AB的長為______________。知识點拾：圆与圆的位置关系【知识要點】外离（图1）無交點；外切（图2）有一种交點；相交（图3）有两個交點；内切（图4）有一种交點；内含（图5）無交點；【經典例題】1、相交两圆的公共弦長為16厘米，若两圆的半径長分别為10厘米和17厘米，则這两圆的圆心距為（  ）（A）7厘米（B）16厘米（C）21厘米（D）27厘米2、已知⊙O的半径為3厘米，⊙的半径為5厘米．⊙O与⊙相交于點D、E．若两圆的公共弦DE的長是6厘米（圆心O、在公共弦DE的两侧），则两圆的圆心距O的長為（  ）（A）2厘米（B）10厘米（C）2厘米或10厘米（D）4厘米3、如图，两個等圆⊙O和⊙的两条切线OA、OB，A、B是切點，则∠AOB等于（  ）（A）（B）（C）（D）4、两圆外离，圆心距為25厘米，两圆周長分别為15π厘米和10π厘米．则其内公切线和连心线所夹的锐角等于__________度．5、如图，已知扇形AOB的半径為12，OA⊥OB，C為OA上一點，以AC為直径的半圆和以OB為直径的半圆相切，则半圆的半径為__________．6．若两圆半径分别為R和r(R>r)，圆心距為d，且R2+d2=r2+2Rd，则两圆的位置关系為()

A.内切B.内切或外切C.外切D.相交7、如图，某燃料企业的院内堆放著10個外径為1米的空油桶，為了防雨，而搭建简朴防雨棚，這個防雨棚的高度最低应為__________米（取1.73，成果精确到0.1米）。知识點拾一：扇形和弧長的计算【知识要點】【經典例題】1、假如圆柱的高為20厘米，底面半径是高的，那么這個圆柱的侧面积是（  ）（A）100π平方厘米（B）200π平方厘米（C）500π平方厘米（D）200平方厘米2、假如圆锥的侧面积為20π平方厘米，它的母线長為5厘米，那么此圆锥的底面半径的長等于（  ）（A）2厘米（B）2厘米（C）4厘米（D）8厘米3、某工件形状如图所示，圆弧BC的度数為，AB＝6厘米，點B到點C的距离等于AB，∠BAC＝，则工件的面积等于（  ）（A）4π（B）6π（C）8π（D）10π4、弧長為6π的弧所對的圆心角為，则弧所在的圆的半径為（  ）（A）6（B）6（C）12（D）185、已知圆锥的底面半径是3，高是4，则這個圆锥侧面展開图的面积是 （  ）（A）12π（B）15π（C）30π（D）24π6、一种形如圆锥的冰淇淋紙筒，其底面直径為6厘米，母线長為5厘米，围成這样的冰淇淋紙筒所需紙片的面积是 （  ）（A）66π平方厘米（B）30π平方厘米（C）28π平方厘米（D）15π平方厘米7、将一张長80厘米、宽40厘米的矩形铁皮卷成一种高為40厘米的圆柱形水桶的侧面，（接口损耗不计），则桶底的面积為 （  ）（A）平方厘米（B）1600π平方厘米（C）平方厘米（D）6400π平方厘米8、在Rt△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，∠A＝．假如把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一种圆锥，其表面积為S；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一种圆锥，其表面积為S，那么S∶S等于 （  ）（A）2∶3（B）3∶4（C）4∶9（D）5∶129、如图，扇形的半径OA＝20厘米，∠AOB＝，用它做成一种圆锥的侧面，则此圆锥底面的半径為 （  ）（A）3.75厘米（B）7.5厘米（C）15厘米（D）30厘米10、已知圆柱的母线長為5厘米，表面积為28π平方厘米，则這個圆柱的底面半径是 （  ）（A）5厘米（B）4厘米（C）2厘米（D）3厘米11、若一种圆柱的侧面积等于两底面积的和，则它的高h与底面半径r的大小关系是__________．12、如图，⊙O的半径OA是⊙O的直径，C是⊙O上的一點，OC交⊙O于點B．若⊙O的半径等于5厘米，的長等于⊙O周長的，则的長是_________．知识點拾二：求阴影部分的面积【知识要點】【經典例題】1、如图，在△ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝2，以AB為直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积為（  ）（A）1（B）2（C）1+（D）2－2、如图，正六边形ABCDEF的边長的上a，分别以C、F為圆心，a為半径画弧，则图中阴影部分的面积是（  ）（A）（B）（C）（D）3、如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E互相外离，它們的半径都是1，顺次连結五個圆心得到五边形ABCDE，则图中五個扇形（阴影部分）的面积之和是 （  ）（A）π（B）1.5π（C）2π（D）2.5π4、某种商品的商標图案如图所求（阴影部分），已知菱形ABCD的边長為4，∠A＝，是以A為圆心，AB長為半径的弧，是以B為圆心，BC長為半径的弧，则该商標图案的面积為_________．5、如图，在两個半圆中，大圆的弦MN与小圆相切，D為切點，且MN∥AB，MN＝a，ON、CD分别為两圆的半径，求阴影部分的面积．6、如图，若四边形ABCD是半径為1和⊙O的内接正方形，则图中四個弓形（即四個阴影部分）的面积和為 （  ）（A）（2π－2）厘米（B）（2π－1）厘米（C）（π－2）厘米