2024年中考数学必考考点总结+题型专训正方形（原卷版+解析）

专题27正方形

考点一：正方形的性质

知识回顾

1.正方形的定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

2.正方形的性质：

①具有平行四边形的一切性质。

②具有矩形与菱形的一切性质。

所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组

对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，

过每一组对边中点的直线也是对称轴。

微专题

1.（2023•黄石）如图，正方形048c的边长为将正方形。ABC绕原点。顺时针旋转45°,则点2的

对应点Bi的坐标为（）

A0

第1题

A.(-,0)B.（V2,0）C.（0,V2）D.（0,2）

2.（2023•广州）如图，正方形ABC。的面积为3,点E在边C£＞上，且CE=1,/ABE的平分线交于

点、F,点、M,N分别是BE,BE的中点，则的长为（）

娓

C.2-V3D.

2

3.（2023•贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若

图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周长是（）

第3题第4题

A.4B.8C.12D.16

4.（2023•青岛）如图，。为正方形A2CD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形.若42=2,则OE的

长度为（）

A.—B.V6C.2A/2D.273

2

5.（2023•泰州）如图，正方形A8C。的边长为2,E为与点。不重合的动点，以OE为一边作正方形DEFG.设

DE=di,点、F、G与点C的距离分别为必、力，则力+心+为的最小值为（

第7题

6.（2023•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED,过点。作。尸，BC,垂

足为R则。尸的长为（）

B.5-2

A.273+2C.3-V3D.V3+1

3

7.（2023•随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板中，8。为对角线，E,

B分别为BC,C。的中点，分别交BO,EF于O,P两点，M,N分别为30,的中点，连

接MP,NF,沿图中实线剪开即可得到一副七巧板.则在剪开之前,关于该图形,下列说法正确的有（）

①图中的三角形都是等腰直角三角形；

②四边形MPE8是菱形；

③四边形PFDM的面积占正方形ABC。面积的

4

A.只有①B.①②C.①③D.②③

8.（2023•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD

内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.

第8题第9题

A.正方形纸片的面积B.四边形EFG”的面积

C.ZX8所的面积D.△AE7?的面积

9.（2023•重庆）如图，在正方形A8C。中,AE平分/8AC交BC于点E,点尸是边上一点，连接。咒

若则/的度数为（）

A.45°B.60°C.67.5°D.77.5

10.（2023•重庆）如图，在正方形ABC。中，对角线AC、3。相交于点。.E、尸分别为AC、BD上一点,

MOE=OF,连接AF,BE,EF.若/AFE=25°,则/CBE的度数为（）

第11题

A.50°B.55°C.65°D.70°

11.（2023•益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A'满足44'=1

AC,则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是.

12.（2023•海南）如图，正方形42c。中，点£、尸分别在边BC、CD上,AE^AF,NEAF=30°,则/

AEB=°；若的面积等于1,则A8的值是

E

第12题第13题

13.（2023•广西）如图，在正方形ABC。中，48=4后，对角线AC,相交于点O.点E是对角线AC

上一点，连接8E,过点E作EfUBE,分别交CO,BD于点、F,G,连接8尸，交AC于点H,将△EfH

沿EF翻折，点H的对应点”'恰好落在8。上，得到.若点F为C。的中点，则△EGH'的

周长是

14.（2023•无锡）如图，正方形ABC。的边长为8,点E是CD的中点，//G垂直平分AE且分别交AE、BC

15.（2023•江西）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所

示），则长方形的对角线长为

考点二：正方形的判定

知识回顾

1.直接判定：

四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。

2.利用平行四边形判定:

一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（定义判定）

3.利用菱形与矩形判定：

①有一个角是直角的菱形是正方形。

②对角线相等的菱形是正方形。

③邻边相等的矩形是正方形。

④对角线相互垂直的矩形是正方形。

/----------------------------------------------------"X

微专题

16.（2023•绍兴）如图，在平行四边形ABC。中，AD=2AB=2,NA3C=60°,E,尸是对角线上的动

点，MBE=DF,M,N分别是边A。，边8C上的动点.下列四种说法：

①存在无数个平行四边形MENF；

②存在无数个矩形MENF-,

③存在无数个菱形MENF；

④存在无数个正方形MENF.

其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

17.（2023•滨州）下列命题，其中是真命题的是（）

A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

B.有一个角是直角的四边形是矩形

C.对角线互相平分的四边形是菱形

D.对角线互相垂直的矩形是正方形

18.（2023•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在8c上方分别作等边△AC。、△ABE、ABCF.且点A在

△8CF内部.给出以下结论：①四边形尸£是平行四边形；②当/8AC=150°时，四边形AOFE是

矩形；③当A2=AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB=AC,且NR4C=150°时，四边形4DFE是正

方形.其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）.

考点三：中点四边形:

知识回顾

X___________________/

1.中点四边形的定义：

将任意四边形各条边的中点顺次连接起来得到的四边形叫做中点四边形。

2.中点四边形的判定：

①任意四边形的中点四边形是平行四边形。

②对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。（菱形的中点四边形是矩形）

③对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。（矩形的中点四边形是菱形）

④对角线相互垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。（正方形的中点四边形是正方形）

微专题

19.（2023•玉林）若顺次连接四边形A8C。各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形A8C。的两条对

角线AC,BD一定是（）

A.互相平分B.互相垂直

C.互相平分且相等D.互相垂直且相等

20.（2023•德阳）如图，在四边形A8CD中，点E,F,G,”分别是48,BC,CD,D4边上的中点，则下

列结论一定正确的是（）

A.四边形EfGH是矩形

B.四边形EFGH的内角和小于四边形A8CD的内角和

C.四边形EFGH的周长等于四边形A8CD的对角线长度之和

D.四边形EfGH的面积等于四边形ABCD的面积的工

4

专题27正方形

考点一：正方形的性质

知识回顾

3.正方形的定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

4.正方形的性质：

①具有平行四边形的一切性质。

②具有矩形与菱形的一切性质。

所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。对角线相互平分且相等，且垂直，

且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，对角线所在

直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。

微专题

1.(2023•黄石)如图，正方形0ABe的边长为J5，将正方形048c绕原点。顺时针旋转

45°,则点B的对应点81的坐标为()

峰

Bf------'C

A0

A.(-拒，0)B.(V2,0)C.(0,72)D.(0,2)

【分析】连接08,由正方形的性质和勾股定理得OB=2,再由旋转的性质得81在y轴

正半轴上，且。81=。8=2,即可得出结论.

【解答】解：如图，连接

:正方形OABC的边长为、历，

：.0C=BC=®ZBCO=90°,ZBOC=45°,

•••0B=VOC2+BC2=V(V2)2+(V2)2=2>

..•将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到Bi的位置,

，81在y轴正半轴上，且。81=。8=2,

...点81的坐标为（0,2）,

故选：D.

2.（2023•广州）如图，正方形ABCD的面积为3,点E在边CZ）上，且CE=1,/ABE的

平分线交A。于点尸，点M,N分别是BE,8F的中点，则MN的长为（）

y/~6yf3rrV6-V2

A.-----B.C.2-A/3D.------------

222

【分析】连接EF,由正方形ABCD的面积为3,CE=1,可得DE=M-1,tmZEBC

=丝=」=®，即得

NEBC=30°，又A尸平分可得/ABF=」NA2E=30°,

BCV332

故&尸=单_=1,DF^AD-AF=V3-b可知所=&。£=如＞＜（V3-1）=娓-

V3

-1_V6-V2

衣，而M,N分别是BE,8尸的中点，即得MN=£F

22

【解答】解：连接ER如图：

三

:正方形ABC。的面积为3,

：.AB=BC=CD=AD=43,

：CE=1,

:.DE=M-1,tan/E2C=四=3=近，

BCV33

：.ZEBC=3Q°,

ZABE=ZABC-Z£BC=60°,

平分/ABE,

AZABF=-^ZAB£=30°,

2

在RtZ\ABF中，4尸=妈=1,

V3

：.DF=AD-AF=43-1,

；.DE=DF,△DM是等腰直角三角形，

.,.EF=V2£>E=V2X-1)=遍-近,

'：M,N分别是BE,8歹的中点，

MN是ABEF的中位线，

；5“二%返

故选：D.

3.（2023•贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成

的大正方形.若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周

长是（）

C.12D.16

【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，然后即可得到小正方

形的周长.

【解答】解：由题意可得，

小正方形的边长为3-1=2,

小正方形的周长为2X4=8,

故选:B.

4.（2023•青岛）如图，。为正方形ABC。对角线AC的中点，AACE为等边三角形.若A2

=2,则OE的长度为（）

A.B.V6C.272D.2A/3

2

【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC,然后利用等边三角形的性质可求出0E

【解答】解：：四边形ABCO为正方形，AB=2,

；.AC=2&,

1/0为正方形ABCD对角线AC的中点，XACE为等边三角形，

AZAOE=90°,

；.AC=AE=2&,AO=M，

.,.<?E=V2><V3=V6.

故选：B.

5.（2023•泰州）如图，正方形的边长为2,E为与点。不重合的动点，以DE为一

边作正方形DE/G.设。£=力，点、F、G与点C的距离分别为d2、曲，则力+“2+出的最

小值为（）

A.72B.2C.272D.4

【分析】连接AE,那么，AE=CG,所以这三个d的和就是AE+EF+FC,所以大于等于

AC,故当AE尸C四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案.

【解答】解：如图，连接AE,

•/四边形DEFG是正方形，

ZEDG=90°,EF=DE=DG,

:四边形ABC。是正方形，

：.AD=CD,ZADC=90a,

：.ZADE=ZCDG,

：.AADE^ACDG（SAS）,

：.AE=CG,

di+d2+d3=EF+CF^-AE,

・••点A,E,F,C在同一条线上时，EF+C尸h4E最小，即力+。2+为最小，

连接AC,

・*.di+d2+d3最小值为AC,

在RtzXABC中，AC=®AB=2近,

di+d2+d3最小—AC=2y[2,

6.（2023•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形43ED过点。

作。尸，8C,垂足为尸，则的长为（）

A.2-\/3+2B.5-C.3-V3D.y/3+1

3

【分析】方法一：如图，延长D4、BC交于点G,利用正方形性质和等边三角形性质可

得：ZBAG=90°,AB=2,ZABC=6Q°,运用解直角三角形可得AG=2«,0G=2+2

再求得NG=30°,根据直角三角形性质得出答案.

方法二：过点E作EG_L。/于点G,作EHLBC于点H,利用解直角三角形可得EH=1,

BH=g,再证明△B£7理ZYDEG,可得DG=BH=如,即可求得答案.

【解答】解：方法一：如图，延长D4、BC交于点G,

:四边形ABED是正方形，

：.ZBAD=90°,AD=AB,

AZBAG=180°-90°=90°,

•/△ABC是边长为2的等边三角形，

：.AB=2,NABC=60°,

：.AG=AB'tanZABC=2Xtan6Q0=2后

DG=AD+AG=2+2A/3，

；/G=90°-60°=30°,DFLBC,

,-.DF=Ar)G=Ax(2+2V3)=1+如，

22

故选D.

方法二：如图，过点E作EGJ_。尸于点G,作于点H,

则N8HE=NOGE=9(T,

VAABC是边长为2的等边三角形，

・・・A5=2,ZABC=60°,

•・•四边形A3ED是正方形，

；・BE=DE=2,ZABE=ZBED=90°,

：.ZEBH=1SO°-ZABC-ZABE=180°-60°-90°=30°,

EH=BE-sinZEBH=2•sin300=2X^=1,BH=BE'COSZEBH=2COS30°=如，

2

:EGLDF,EHLBC,DFYBC,

：.ZEGF=ZEHB=NDFH=90°,

四边形EG"是矩形，

：.FG=EH=1,ZBEH+ZBEG=ZGEH=90°,

■:NDEG+NBEG=9Q°,

：.ZBEH=ZDEG,

在△BET?和△DEG中，

:.ABEH丝/\DEG(A4S),

：.DG=BH=yf3,

:.DF=DG+FG=M+1,

故选：D.

7.(2023•随州)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABC。中，

8。为对角线，E,E分别为8C,CD的中点，分别交8。，EF于O,P两点，M,

N分别为80,。。的中点，连接MP,NF,沿图中实线剪开即可得到一副七巧板.则在

剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有（）

①图中的三角形都是等腰直角三角形；

②四边形是菱形；

③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的

4

A.只有①B.①②C.①③D.②③

【分析】①利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题；

②利用①的结论可以证明解决问题；

③如图，过M作于G,设AB=8C=无，利用正方形的性质与中位线的性质分

别求出BE和MG即可判定是否正确.

【解答】解：①如图，尸分别为BC,CD的中点，

:.EF为4CBD的中位线，

J.EF//BD,

'：AP±EF,

J.APLBD,

:四边形ABCD为正方形，

；.A、0、P、C在同一条直线上，

.♦.△ABC、AACD.AABD.△BCD、△048、△OA。、AOBC、△。小都是

等腰直角三角形，

N分别为2。，。。的中点，

C.MP//BC,NF//OC,

：.△DNF、A0MP也是等腰直角三角形.

故①正确；

而

②根据①得PM,:.BMWPM

2

四边形MPE8不可能是菱形.故②错误；

@VE,尸分别为BC,。的中点，

：.EF//BD,EF=—BD,

2

:四边形ABCD是正方形，且设A8=BC=x,

.".BD=-\[2x,

'：AP±EF,

：.AP±BD,

:.BO=OD,

.•.点P在AC上,

：.PE=—EF,

2

：.PE=BM,

四边形BMPE是平行四边形，

：.BO=^BD,

2

为2。的中点，

44

为8c的中点，

：.BE=^-BC=—x,

22

过/作MG_LBC于G,

:.MG=®-BM=LX,

24

四边形BMPE的面积,

8

二四边形BMPE的面积占正方形ABCD面积的工.

8

,:E、F是BC,CQ的中点，

S^CEF=—S/\CBD——-S四边形A8CZ）,

48

...四边形尸FDM的面积占正方形ABC。面积的（1-■!-」-工）=1.

2884

故③正确.

故选：C.

8.（2023•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放

置在矩形ABC。内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面

A.正方形纸片的面积B.四边形E打汨的面积

C.△BEP的面积D.△AEH的面积

【分析】根据题意设尸D=x,GH=y,则/7/=尤-y，根据矩形纸片和正方形纸片的周长

相等，可得AP=x+y,先用面积差表示图中阴影部分的面积,并化简，再用字母分别表

示出图形四个选项的面积，可得出正确的选项.

【解答】解：设尸。=羽GH=y,则尸"=x-y,

•・•矩形纸片和正方形纸片的周长相等，

2AP+2(x-y)=4%,

,9.AP—x+y,

•.•图中阴影部分的面积=8矩形ABC。-2MDH-IS^AEB

=(2x+y)(2x-y)-2xA*(x-y)(2x+y)-2X-A_*(2x->)­%0

=4x2-j2_(2x2+xy-2xy-y2)-(2x2-xy)

=412-y2-2^+xy+y2-2^+xy

=/2xy9

A、正方形纸片的面积=/,故A不符合题意；

B、四边形EPG8的面积=；,故2不符合题意；

C、的面积=//尸8。=/孙，故C符合题意；

2

D、"£7/的面积谒/小人2》(x-y)=~xy-Ay,故。不符合题意；

故选：C.

9.(2023•重庆)如图，在正方形ABC。中，AE平分N8AC交BC于点E,点厂是边AB上

一点，连接。凡若BE=AF,则NCZ)尸的度数为()

S

B'-----------E----------C

A.45°B.60°C.67.5°D.'77.5°

【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到/AD尸的度数，从而

可以求得NCD尸的度数.

【解答】解：•••四边形ABCD是正方形，

：.AD=BA,ZDAF=ZABE=90°,

在△IMP和△ABE中，

△DAF^AABE(SAS),

/ADF=/BAE,

平分/BAC,四边形ABC£)是正方形，

AZBAE=^ZBAC=22.5°,ZADC=90°,

2

AZAZ)F=22.5°,

：.ZCDF=ZADC-ZADF^9Q°-22.5°=67.5°,

故选：C.

10.(2023•重庆)如图，在正方形ABC。中，对角线AC、3。相交于点O.E、尸分别为AC、

8。上一点，且OE=OF,连接AF,BE,EF.若NAFE=25°,则/C8E的度数为()

【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的

内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可.

【解答】解：•..四边形ABC。是正方形，

...NAOB=/AO£)=90°,OA=OB=OD=OC.

'：OE=OF,

...△OEF为等腰直角三角形，

：.ZOEF=ZOFE=45a,

VZAFE=25°,

AZAFO=ZAFE+ZOFE=10°,

AZFAO=20°.

在△AOB和△BOE中，

fOA=OB

<ZA0F=ZB0E=90o-

OF=OE

A(SAS).

：.ZFAO=ZEBO=20°,

•：OB=OC,

・・・△OBC是等腰直角三角形，

：.ZOBC=ZOCB=45°,

AZCBE=ZEBO+ZOBC=65°.

故选：C.

n.（2023•益阳）如图，将边长为3的正方形ABC。沿其对角线AC平移，使A的对应点A，

满足AV=』AC,则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是

3

【分析】由正方形边长为3,可求AC=3&,则=1AC=V2.由平移可得重叠部

3

分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积.

【解答】解：•.•正方形ABC。的边长为3,

；.AC=3&,

AA4,=AAC=V2;

AA,C=2&,

由题意可得重叠部分是正方形，且边长为2,

•"S重叠部分=4.

故答案为：4.

12.（2023•海南）如图，正方形ABCZ）中，点£、尸分别在边BC、C£＞上，AE^AF,ZEAF

=30°,则°；若的面积等于1,则的值是

【分析】利用“HL”先说明△ABE与△ADP全等，得结论NBAE=NZMF再利用角的

和差关系及三角形的内角和定理求出NAE&先利用三角形的面积求出AE,再利用直角

三角形的边角间关系求出AB.

【解答】解：•••四边形ABCD是正方形，

：.AB=AD,ZBAD=ZB=ZD=90°.

在RtAABE和RtAADF中，

[AB=AD,

lAE=AF，

RtAABE^RtAADF(HL).

NBAE=ZDAF.

：.NR4E=1(/BAD-ZEAF)

2

=A(90°-30°)

2

=30°.

AZAEB^60°.

故答案为：60.

过点尸作PGLAE,垂足为G.

四，

AF

：.FG=sinZEAFXAF.

'：SAAEF=^XAEXFG=^XAEXAFXsinZEAF=l,

22

.-.AxAE2Xsin30°=1.

2

即」XAFXJLU.

22

：.AE=2.

在RtAABE中，

'：cosZBAE=^-,

AE

.*.AB=cos30oXAE

=近义2

2

=V3.

故答案为：V3.

13.（2023•广西）如图，在正方形ABC。中，AB=4后,对角线AC,3。相交于点。.点

E是对角线AC上一点，连接BE,过点E作分别交CD,BD于点、F,G,连接

BF,交AC于点H,将△EfW沿斯翻折，点X的对应点恰好落在8D上，得到△

EFH'.若点/为C。的中点，则△EGH'的周长是.

【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据翻折的性质得△EGH四△EGH,所以△EG”'

的周长=Z\EG8的周长，接下来计算△EG8的三边即可；证明△3ME注AFNE(ASA)

和△BEO四△£1"(A4S),得0E=PF=2,0B=EP=4,利用三角函数和勾股定理分别

计算EG,G8和EH的长，相加可得结论.

【解答】解：如图，过点E作EML2C于作ENLCD于N,过点尸作尸P,AC于尸，

连接G”，

:将△EPH沿EF翻折得到△EE/T,

:.AEGH沿4EGH,

:四边形ABC。是正方形，

：.AB=CD=BC=4yf2^NBCD=90°,ZACD=ZACB=45

:.BD=JiBC=8,尸是等腰直角三角形，

•尸是CD的中点,

:.CF=]cD=2五,

：.CP=PF=2,OB=2BD=4,

2

VZACD=ZACB,EMLBC,ENLCD,

：.EM=EN,NEMC=NENC=NBCD=90°,

AZMEN=90°,

■:EFLBE,

：.ZBEF=90°,

:"BEM=NFEN,

:ZBME=NFNE,

:.ABMEqAFNE(ASA),

：.EB=EF,

NBEO+/PEF=ZPEF+ZEFP=90°,

・•・ZBEO=/EFP,

•：/BOE=/EPF=9U°,

:•△BEO%AEFP(A4S),

AOE=PF=2,0B=EP=4,

GOPF

tanZOEG==即0G=2

OEEP"TI

・•・OG=1,

：.EG=｛「2+]2=病,

・：OB〃FP,

：.ZOBH=ZPFH,

AtanZOBH=tanZPFH,

.OH=PH

**0BPF，

.OH_4_

••——~乙0,

PH2

：.0H=2PH,

尸=OC-PC=4-2=2,

.*.O//=ZX2=A,

33

在RtZXOGH中，由勾股定理得:

A/\EGH'的周长=/\或汨的周长=£H+EG+G8=2+?+遥+<|=5+遍.

故答案为：5+^5-

14.（2023•无锡）如图，正方形4BC。的边长为8,点E是C。的中点，HG垂直平分AE

且分别交AE、BC于点H、G,则BG=.

【分析】设CG=x,则BG=8-x,根据勾股定理可得

CE2+CG2,可求得X的值，进而求出8G的长.

【解答】解：连接AG,EG,

AR

是C。的中点，

.•.£）E=CE=4,

设CG=x,则2G=8-x,

在RtZ\ABG和RtZ\GCE中，根据勾股定理，得

AB2+BG2=C£2+CG2,

即82+（8-x）2=42+X2,

解得x=7,

：.BG=BC-CG=8-7=1.

故答案是：L

15.（2023•江西）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个

长方形（如图所示），则长方形的对角线长为.

【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2,长方形的宽是正方形对角线的

一半为1,然后利用勾股定理即可解决问题.

【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2,

长方形的宽是正方形对角线的一半为1,

则长方形的对角线长=（F+22=遥.

故答案为：V5-

考点二：正方形的判定

知识回顾

4.直接判定：

四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。

5.利用平行四边形判定：

一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（定义判定）

6.利用菱形与矩形判定：

①有一个角是直角的菱形是正方形。

②对角线相等的菱形是正方形。

③邻边相等的矩形是正方形。

④对角线相互垂直的矩形是正方形。

微专题

16.（2023•绍兴）如图，在平行四边形A8CD中，AD=2AB=2,ZABC=6Q°,E,尸是对

角线8。上的动点，且BE=DF,M,N分别是边AD,边上的动点.下列四种说法:

①存在无数个平行四边形MENF-,

②存在无数个矩形MENF-,

③存在无数个菱形MENF；

④存在无数个正方形MENF.

其中正确的个数是（）

【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可.

【解答】解：连接AC,MN,且令AC,MN,相交于点O,

四边形ABCD是平行四边形，

：.OA=OC,OB=OD,

\'BE=DF,

：.OE=OF,

只要OM=ON,那么四边形MENF就是平行四边形，

:点E,尸是8。上的动点，

...存在无数个平行四边形MENF,故①正确；

只要MN=EF,OM=ON,则四边形MEN尸是矩形，

；点E,尸是80上的动点，

存在无数个矩形MEN凡故②正确；

只要MALLEE0M=0N,则四边形MENF是菱形，

•.,点E,尸是2D上的动点，

...存在无数个菱形MENR故③正确；

只要MN=EF,MNLEF,0M=0N,则四边形MEN/是正方形,

而符合要求的正方形只有一个，故④错误；

故选：C.

17.（2023•滨州）下列命题，其中是真命题的是（）

A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

B.有一个角是直角的四边形是矩形

C.对角线互相平分的四边形是菱形

D.对角线互相垂直的矩形是正方形

【分析】根据，平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判断即可.

【解答】解：4对角线互相垂直的四边形是平行四边形，是假命题，本选项不符合题意；

8、有一个角是直角的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意；

C、对角线互相平分的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意；

。、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意.

故选：D.

18.（2023•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在上方分别作等边△AC。、AABE、△

BCF.且点A在△8CF内部.给出以下结论：①四边形AQPE是平行四边形；②当/BAC

=150°时，四边形AOEE是矩形；③当A2=AC时，四边形AOFE是菱形；④当

AC,且/BAC=150°时，四边形ADFE是正方形.其中正确结论有

（填上所有正确结论的序号）.

【分析】①利用SAS证明△£1/冷冬△AC2,得出£F=AC=A£＞；同理由△C£）pgZ\CAB,

得DF=AB=AE；根据两边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四

边形，即可判断结论①正确；

②当NBAC=150°时，求出/EW=90°,根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即

可判断结论②正确；

③先证明