2024吉黑两省九校高三第五次模拟考试数学试卷及答案解析

吉黑两省九校高三第五次模拟考试新高考数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强

了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前

2.在声学中，声强级L（单位：dB）由公式L=101g1南运J给出，其中/为声强（单位：w/m?）.4=60dB,

4=75dB,那么?=（）

4433

A.6B,1Q-5C.--D.1Q-2

3.已知x与V之间的一组数据:

X1234

ym3.24.87.5

若y关于X的线性回归方程为y=2.b—0.25,则用的值为（）

C.3.5D.4.5

4.函数y=sinx（3sinx+4cosx）（xeH）的最大值为加，最小正周期为T,则有序数对（河,7）为（）

A.（5,万）B.（4,乃）C.（一1,2乃）D.（4,2万）

5.音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味.著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他

证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如asin/zx的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是

基本音，其余的为泛音.由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波.下

列函数中不能与函数y=0.06sinl80000f构成乐音的是（）

A.y=0.02sin360000/B.y-0.03sin180000/C.y-0.02sin181800/

D.y=0.05sin540000/

6.已知点P不在直线/、机上，贝产过点产可以作无数个平面，使得直线/、机都与这些平面平行”是“直线”机互相

平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知函数，（x）=3x+2cosx,若。=/（3也），b=于⑵,c=/（log27）,则”，b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

8.蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用

均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2。的正方形模

型内均匀投点，落入阴影部分的概率为则圆周率万R（）

A.4P+2B.4p+l

C.6-477D.4。+3

9.函数了。）=用的大致图象为（）

11

C.-------D.—（=-----

2+JiA/2+兀

11.已知a,0表示两个不同的平面，1为a内的一条直线，贝心a〃口是“1〃0”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

12.已知等差数列｛4｝中，%+4=8贝11%+%+%+0+%=（）

A.10B.16C.20D.24

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/（%）=2。（111》一%）+%2（0>0）有两个极值点玉、%2（菁<%2），则/（%）+/（%2）的取值范围为

22

14.双曲线。:上-匕=1的左右顶点为A,3,以A5为直径作圆0,P为双曲线右支上不同于顶点5的任一点，连

43

接Q4交圆。于点Q,设直线依,。5的斜率分别为勺，后，若匕=4右，则丸=.

15.在二项式（x?+2『的展开式中，f的系数为.

16.如图是一个算法的伪代码，运行后输出h的值为.

:a—0

：6<-1

：/<-2

：\V1iilc/<6：

:a—a/b：

;b—a+b：

：/4-/^2：

：EndWhile：

：Printb

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设等差数列｛凡｝的首项为0,公差为a,aeN*;等差数列也｝的首项为0,公差为b,beN*.由数列｛4｝

和｛〃｝构造数表M,与数表M*；

记数表”中位于第，行第j列的元素为与，其中与=4+%,(I,j=l,2,3,...).

记数表M*中位于第i行第/列的元素为&,其中47=%-%+1(l<i<b,ZeNSjeN*).如：ci2=ax+b2,

4.2=-，3•

(1)设。=5,6=9,请计算。2,6，°396,6，〃2,6；

(2)设a=6,6=7,试求％,&的表达式(用i,/表示)，并证明：对于整数。若f不属于数表M,则f属于数

表M*:

(3)设a=6,b=7,对于整数f,f不属于数表M,求f的最大值.

18.(12分)已知函数/(x)=犬+21nx+4.

(1)当〃z=5时，求f(x)的单调区间.

(2)设直线/是曲线y=的切线，若/的斜率存在最小值-2,求加的值，并求取得最小斜率时切线/的方程.

(3)已知f(x)分别在西，%处取得极值，求证：/(%1)+/(%)<2.

19.(12分)如图，在A6C中，角A8C的对边分别为a,b,c,且满足asin3+6cosA=c,线段的中点

为D.

(II)已知sinC=巫，求NAD3的大小.

10

20.（12分）在多面体ABCDEF中，四边形ABC。是正方形，CF±平面ABCD，CFDE,AB=CF=2DE=2,

G为5尸的中点.

（1）求证：CG±AF；

（2）求平面5b与平面所成角的正弦值.

21.（12分）在平面直角坐标系xOy^,M为直线y=%-2上动点，过点作M抛物线C:k=》的两条切线MA,MB,

切点分别为4，B,N为AB的中点.

（1）证明:MNLx轴；

（2）直线A3是否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.

22

22.（10分）如图，椭圆C：=+3=1（。〉6〉0）的左、右顶点分别为4,A,上、下顶点分别为耳，层，且用（0,1）,

ab"

44耳为等边三角形，过点（1，。）的直线与椭圆C在V轴右侧的部分交于"、N两点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求四边形为MNg面积的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

设目前该教师的退休金为X元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可.

【详解】

设目前该教师的退休金为X元，则由题意得：6000X15%-XX1O%=1.解得x=2.

故选D.

【点睛】

本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题.

2、D

【解析】

由L=101g［溪［得坨/=上T2,分别算出人和A的值，从而得到）的值.

【详解】

,•.£=10（lg/-lgl0-12）=10（lg/+12）,

1g/=---12,

10

当右=60时，坨4="—12=®-12=—6,.•./］=10-6,

11010

T754

当L,=75时，lgA=」—12=——12=—4.5,.•.1,=KF，'9

21010

T10-6--

...’=——=10-15=102,

I210-45

故选：D.

【点睛】

本小题主要考查对数运算，属于基础题.

3、D

【解析】

利用表格中的数据，可求解得到1=2.5,代入回归方程，可得亍=5,再结合表格数据，即得解.

【详解】

利用表格中数据，可得％=2.5,

又y=2.1%-0.25,y=59

加+3.2+4.8+7.5=20.

解得切=4.5

故选：D

【点睛】

本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.

4、B

【解析】

3353

函数y=sinx（3sinx+4cosx）=3sin2x+4sinxcosx=2sin2x——cos2%+—=—sin（2x一。）+—（。为辅助角）

2222

二函数的最大值为M=4,最小正周期为7=万=〃

故选B

5、C

【解析】

由基本音的谐波的定义可得力=叨(〃eN*),利用/=,==可得用=〃02(〃eN*),即可判断选项.

T2万

【详解】

由题，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波，

由/='=/,可知若力=nf,(“《］\*),则必有的=吟(〃eN*),

T2万

故选:C

【点睛】

本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.

6、C

【解析】

根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

点尸不在直线/、上，

若直线/、m互相平行，则过点P可以作无数个平面，使得直线/、〃?都与这些平面平行，即必要性成立，

若过点P可以作无数个平面，使得直线/、加都与这些平面平行，则直线/、加互相平行成立，反证法证明如下：

若直线/、心互相不平行，则/,加异面或相交，则过点P只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即

充分性成立

贝!1"过点P可以作无数个平面，使得直线/、机都与这些平面平行”是“直线/、机互相平行”的充要条件,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键.

7、D

【解析】

根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得/（x）在A上为增函数，又由

2=log24<log27<3<3^,分析可得答案.

【详解】

解：根据题意，函数y（x）=3x+2cosx,其导数函数r（尤）=3-2sinx,

则有f'{x}=3-2$泡%>0在尺上恒成立，

则Ax）在R上为增函数；

又由2=log24<log27<3<3巴

则b<c<a；

故选：D.

【点睛】

本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题.

8、A

【解析】

计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解.

【详解】

,S阴2a2"-'2.

由〃=上=-----弓—=------，.•.万=42+2.

S正4a24

故选:A

【点睛】

本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题.

9、A

【解析】

利用特殊点的坐标代入，排除掉c,D；再由/(-；)<1判断A选项正确.

【详解】

/(-l.l)=^™<0,排除掉c,D；

-llnlll

行，

2”

InV2<InVe=—,Je<2>

2

/(-1)=V^lnV2<l.

故选：A.

【点睛】

本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法,

属于中档题.

10、A

【解析】

画出不等式组表示的区域C,求出其面积，再得到必+/<2在区域。内的面积，根据几何概型的公式，得到答案.

【详解】

x-2<0

画出<%+y》0所表示的区域。，易知4(2,2),5(2,—2),

x-y>0

所以的面积为4,

1rr

满足不等式V+y2V2的点，在区域。内是一个以原点为圆心，及为半径的］圆面，其面积为万,

71

由几何概型的公式可得其概率为p=a=t，

_4-8

故选A项.

本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.

11、A

【解析】

试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断.

解：根据题意，由于a,0表示两个不同的平面，1为a内的一条直线，由于“a〃0,

则根据面面平行的性质定理可知，则必然a中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立,

.•.“01〃0是“1〃|?”的充分不必要条件.

故选A.

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定.

12、C

【解析】

根据等差数列性质得到q+0=8=2%,再计算得到答案.

【详解】

已知等差数列｛qj中，%+&=8=2%=>%=4

%+%+%+4+%=5a5=20

故答案选C

【点睛】

本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、(-co,161n2—24)

【解析】

确定函数y=/(x)的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求/(%)+/(%)的取值

范围.

【详解】

函数/（x）=2a（lnx—x）+f的定义域为（0,+。），f'（x）=2a（--l]+2x=,

kJJC

依题意，方程2炉—2依+2a=0有两个不等的正根占、x?(其中玉＜%),

则A=4/—i6a>0=a>4,由韦达定理得%+4=a>0,XyX2=a>0,

所以

=

/（尤J+2«ln（x1x2）+^%2+龙；）-2a（无］+%）

222

=20111（卒2）+［（工］+%）~-2%々-2。（石+%2）=2tzlna+«-2a-2a=2tzlntz-«-2tz,

令/z（Q）=2Qlna-Q2_2a（Q>4）,则/（a）=21na-2〃，hr,（a）=--2=——

aa

当。＞4时，则函数》="(。)在(4,+8)上单调递减，则”(Q)v/z(4)=41n2—8v0,

所以，函数y=〃(a)在(4,+s)上单调递减，所以，/z(a)＜/z(4)=161n2-24.

因此，/(3)+/5)的取值范围是(—,161n2—24).

故答案为：(T,161n2-24).

【点睛】

本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将/(不)+/(*2)的取值范围转化为以。为自变量的函数

的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

3

14、——

4

【解析】

2Q

根据双曲线上的点的坐标关系得原A怎•旦；=4匕=:，交圆。于点Q，所以建立等

%+2/一2%。一44

式kpA-kQB=-1,两式作商即可得解.

【详解】

设尸伍，治),4(—2,0)5(2,。)

『-4=1，婷=3］予-；汩-4)

2o

%%_%=3

kpAkpB=

XQ+2Xg_2_44

Q4交圆。于点Q,所以尸

\,3、

日左rkpAkpB=]k.3

易知：j4=^>-™PB=2=--

kpA%B=-l3

3

故答案为：-：

【点睛】

此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中的部分定值结论，若能熟记常见二级结论，此题

可以简化计算.

15、60

【解析】

直接利用二项式定理计算得到答案.

【详解】

6

二项式+2)的展开式通项为：Tr+i=晨卜22'=C",2r.2,

取r=2,则V的系数为*・22=60.

故答案为：60.

【点睛】

本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

16、13

【解析】

根据题意得到：a=0,b=l,i=2

A=l,b=2,i=4,

A=3,b=5,i=6,

A=8,b=13,i=8

不满足条件，故得到此时输出的b值为13.

故答案为13.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)50,2020,-49(2)详见解析(3)29

【解析】

(1)将。=5,6=9代入，可求出4，bn,可代入求品八4八可求结果.

(2)可求G",通过反证法证明，

(3)可推出/任加，/eAf*,f的最大值，就是集合M*中元素的最大值，求出.

【详解】

(1)由题意知等差数列｛4,｝的通项公式为：4=5〃-5；

等差数列也』的通项公式为：bn=9n-9,

得%=%+b,=⑸-5)+(9/-9)=5i+9；-14,

则。2,6=50,。396,6=2020,

得dtj=a,-b.+l=(5/-5)-l9(j+l)-9]=5i-9j-5,

故4.6Z9.

(2)证明：已知a=6.b=7,由题意知等差数列｛4｝的通项公式为：an=6n-6.

等差数列仍“｝的通项公式为：2=7〃-7,

得%=4+年=(6i—6)+(7>7)=6i+7)-13,(i&N*,jGN*).

得%=q-6*=(6\6)-[7。+1)-7]=6L7j-6,住7,zeN*,…*).

所以若feAf,则存在veN,使r=6〃+7v,

若feM*,则存在“eN,4,6,veN*,使f=6〃—7v,

因此，对于正整数乙考虑集合％=｛x|元=/-6a,u&N,4,6｝,

即“，t-6,t-12,t-18,t-24,r—30,t-36].

下面证明：集合Mo中至少有一元素是7的倍数.

反证法：假设集合"o中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合"o中每一元素关于7的余数可以为1,2,3,4,5,

6

又因为集合中共有7个元素，所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同，

不妨设为-6%,其中为，u2^N9%<出,,6.则这两个元素的差为7的倍数，即。一%)-0-6%)=6("1-沆2),

所以％-〃2=。，与％矛盾，所以假设不成立，即原命题成立.

即集合中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为-6%,%,,6,

则存在swZ,使1-6%=7$,%cN,z/0„6,即/=6%+7s,u*N,s^Z,

由已证可知，若/£“，则存在“EN,»GN,使，=6〃+7v,而/e“，所以S为负整数，

设V=—s,贝!且/=6〃0-7口，UOEN9w0„6,veN*,

所以，当4=6,6=7时，对于整数L若徐则徐加*成立.

(3)下面用反证法证明：若对于整数L9贝!|/任"，假设命题不成立，即1£加*,且，

则对于整数方,存在几eN,meN,ncN，w„6,veN*,使£=6〃-7V=6〃+7根成立，

整理，得6(〃一九)=7O+y),

又因为meN,veN*,

.7

所以〃一〃=一(m+v)>0且〃一〃是7的倍数，

6

因为aeN,%,6,所以"-&6,所以矛盾，即假设不成立.

所以对于整数乙若feM*,贝/eM,

又由第二问，对于整数■“，则te"*,

所以/的最大值，就是集合M*中元素的最大值，

又因为r=6〃-7v,UGN,vGN*,u„6,

所以*,=(M*)s=6x6-7x1=29.

【点睛】

本题考查数列的综合应用，以及反证法，求最值，属于难题.

18、(1)单调递增区间为0,；］,(2,”)；单调递减区间为］;,2)；(2)m=6,2x+y—1=0；(3)证明见解析.

【解析】

(1)由/'(九)的正负可确定/(%)的单调区间；

(2)利用基本不等式可求得％=1时，/'(九)取得最小值4-m，由导数的几何意义可知4-m=-2,从而求得根，

求得切点坐标(1,7(1))后，可得到切线方程;

(3)由极值点的定义可知占，々是2炉-如+2=0的两个不等正根，由判别式大于零得到机的取值范围，同时得到

2

韦达定理的形式；化简/(石)+/(毛)为-£「+6,结合心的范围可证得结论.

【详解】

(1)由题意得:/(九)的定义域为(0,+8),

当〃2=5时，/(x)=x2-5x+21nx+4,

922x2-5x+22,一£|(》—2),

f(x)=2x-5+-=-----------=--------------

xxx

.,.当%€[0]]和(2,+8)时，/,(%)>0；当xej2]时，r(x)<0,

.•./(X)的单调递增区间为(2,+8)；单调递减区间为[2]

2I22

(2)x>0,所以「./'(x)=2x+——m>2J2x---m=4-m(当且仅当2%=—，即x=l时取等号)，

Xj%

切线/的斜率存在最小值-2,「.4=—2,解得：m=69

.-./(1)=1-6+4=-1,即切点为(1,—1),

从而切线方程/：y+l=—2(%—1),即：2x+y-l=0.

/八、c22x2-mx+2

(3)f'(x)=2x+一一m=---------,

XX

f(x)分别在%],X2(%/%2)处取得极值，

.•・王，乐(/w羽)是方程2厂—"忒+2=0,即2必—如+2=0的两个不等正根.

X

m

则八二相？一16>0,解得：m2>16,且石+兀2=5〉。，%%2=1.

2

「•/(%)+/(々)=片+%；—加(%+々)+8+2111(玉光2)=(%1+x2)-2x1x2-m(x1+x2)+8+21n(x1x2)

2

(mV-4m门21m

=--2xl-mx——i-8+21nl=------1-6,

。24

加2

4>169-------F6<2,

4

即不等式/(占)+/(/)<2成立.

【点睛】

本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、导数几何意义的应用、利用导数证明不等

式等知识；本题中证明不等式的关键是能够通过极值点的定义将问题转变为一元二次方程根的分布问题.

兀冗

19、(I)B=—；(II)/ADB=—.

44

【解析】

(I)由正弦定理边化角，再结合sinC=sin(A+6)转化即可求解；

(II)可设AC=1,由，=占=匕=逐，再由余弦定理〃+。2一解得“=2&，即=£=&,

sinCsin32

对AABD中，由余弦定理有AD=J%(后一20cos5=1,通过勾股定理逆定理可得AB~+AD~=BD2，进而得

解

【详解】

(I)由正弦定理得sinAsin_B+sin_BcosA=sinC.

而sinC=sin(%-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.

由以上两式得sinAsinB=sinAcosB,即sinA(sin5-cos3)=0.

由于sinA>0,所以sinj8=cosj8,

又由于3e(O,»),得B=

(II)设c=l,在45c中，由正弦定理有上=—也nb=若.

sinCsinB

由余弦定理有a2+c2-2«ccosB=b2,整理得(«-20)(。+四)=0,

由于a>0,所以。=20,BD=-=42.

2

在AABD中，由余弦定理有AD=『+(应丫-20cos5=1.

7T-TT

所以川2+">2=班>2,所以/胡。=彳，ZADB=-.

24

【点睛】

本题考查正弦定理和余弦定理的综合运用，属于中档题

20、(1)证明见解析(2)X二

6

【解析】

(1)首先证明CGJ_A5,CG±BF,AB防=3,二CG,平面AB厂•即可得到Mu平面AB尸，CG±AF.

(2)以。为坐标原点，DA,DC,OE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面人跖

和平面BC尸的法向量，带入公式求解即可.

【详解】

(1)•••。/，平面ABC。，ABI平面ABC。，：.CF±AB.

又：四边形ABC。是正方形，AB±BC.

VBCb=C,...平面尸.

；CGu平面8CT,ACG±AB.

又,：BC=CF=2,G为5尸的中点，•••CGL3产.

■:ABBF=B,...CG，平面AB厂.

；AFu平面AB尸，CGJLAF.

(2)•••。/，平面ABC。，CFDE,.平面ABCD.

以。为坐标原点，DA,DC,OE所在的直线分别为x轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系.

如图所示:

则。（0,0,0）,4（2,0,0）,C（0,2,0）,£（0,0,1）F（0,2,2）.

AAE=（-2,0,1）,EF=（0,2,1）,£>C=（0,2,0）.

设"=(羽y,z)为平面AEF的法向量,

n-AE=0,-2x+z=0

则9得<

nEF=02y+z=0

令尤=1,贝！J〃=(L—1,2).

由题意知DC=(0,2,0)为平面BCF的一个法向量,

n・DCA/6

PZIIDCTV6X2

平面BCF与平面AEF所成角的正弦值为Jl-

【点睛】

本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标系是解题关键，属于中

档题.

21、（1）见解析（2）直线A3过定点（；,2）.

【解析】

（1）设出A3两点的坐标，利用导数求得切线的方程，设出〃点坐标并代入切线的方程，同理将4点坐标

代入切线MB的方程，利用韦达定理求得线段中点N的横坐标，由此判断出轴.

（2）求得N点的纵坐标由此求得N点坐标，求得直线A5的斜率，由此求得直线的方程，化简后可得直线

AB过定点（；,2）.

【详解】

⑴设切点A（X],尤：），5（%，后），y=2x,

工切线M4的斜率为2%,切线y一年二2石（工一%），

设—2）,贝！|有,_2一片=2%«_石），化简得x；_2比]+/—2=0,

同理可的工；—2tx?+1—2=0.

・・.再，%是方程工2—2a+%—2=0的两根，・・・西+%2=2%,xrx2=t-29

X+x9.,

~——t—9・・MNJ_x轴.

（2）:+，；）=+%）—=2%2—%+2,・。.N，,2产一1+2）.

=2

^AB~~—=Xy+x2=2t,直线AB：y-（2r-t+2\=2t（x-t\,即y-2=2心一工），

-x2\'