2024年邯郸市高三三模数学试卷（含答案详解）

绝密★启用前

河北省2024届高三年级模拟考试

数学

本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.若复数z2=3-4i,则|z|=（）

A.5B.2+后C.V7D.45

2v2

2.已知片，得是椭圆。x：=+彳=1（。>6>0）的两个焦点，M为。的顶点，若的内心和重心

ab

重合，则C的离心率为（）

3.若（2—X）3+（2—X）4+（2-X）5=&+4Z|X+的尤2++。4苫4+牝*'，则%+。］+%+。3+。4=

（）

A.4B.3C.2D.1

4.我国铁路百年沧桑巨变，从尚无一寸高铁，到仅用十几年高铁建设世界领先，见证了中华民族百年复兴

伟业.某家庭两名大人三个孩子乘坐高铁出行，预定了一排五个位置的票（过道一边有三个座位且相邻，

另一边两个座位相邻）则三个孩子座位正好在过道同一侧的概率为（）

5.已知平面见用和直线如〃，若mua,〃ua,贝U“加〃//〃/?”是“a〃/7”的（）

A.充分而不必要条件B.必耍而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.平行四边形Z8C。中，AB=2,AD=T,以C为圆心作与直线8。相切的圆，P为圆C上且落在四边

形力88内部任意一点，~AP=AAB+/dAD,若；1+4>1,则角力的范围为（）

"兀兀

A.B.C.D.

J52

7.已知偶函数/(x)与其导函数g(x)定义域均为R.—为奇函数，若2是/(x)的极值点，则

g(x)=O在区间(0,6)内解的个数最少有()个.

A.7B.8C.9D.11

8.已知数列｛/｝满足，q=1,〃。用=(2〃+2)4,贝ij----------他---------=()

%+%+。4+…+”100

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知随机变量则()

3

A.E(X)=1B.E(2X+1)=9C.D(X)=-D.O(2X+1)=1

10.已知方程Jl+cosx+—cosx=五的正根构成等差数列,则％=()

A.2+V2B.V2C.2D.4

11.函数/(x)=；x4-/y?+cx有三个不同极值点x”X2，X3,且cw[-l,0).则()

A.b>y/2B.x：+x；+x；>3次

C.x；+£+W的最大值为3D.王》2》3的最大值为1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.抛物线C:必=4x上的动点P到点(3,0)的距离等于它到C的准线距离，则尸到焦点距离为

13.下图装满水的圆台形容器内放进半径分别为1和3的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球

与小球、容都壁、水面均相切，此时容器中水的体积为

14.己知点Pe，则点尸到动直线X—v-m=o（meR）的最大距离的最小值为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）已知数歹K/｝的前〃项和S.=l-2-",且满足〃,=logq.

（1）求数列｛%｝,｛4｝的通项公式;

（2）数列，的前〃项和为,比较5„和Tn的大小.

16.（15分）如图所示，在等腰直角△/8C中，AB=BC,点、E、E分别为的中点，将八4跖

沿M翻折到△。跖位置.

（1）证明：平面8CDJL平面BOE；

（2）若DB=EB,求平面OEF与平面DEC夹角的余弦值.

17.（15分）

2021年教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天

校内、校外各1小时体育活动时间，每天统一安排30分钟的大课间体育活动，一学校某体育项目测试有40%

的人满分，而该校有20%的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为50%.

（1）从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列和期望；

（2）现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率；

（3）体育测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任

何一人，第1次由甲将球传出，求第〃次传球后球在乙手中的概率.

18.（17分）函数/（》）=（必+R）.

（1）求/（x）的单调区间；

⑵若/（x）=x只有一个解，则当x>0时，求使空立>体一巧（/一1）成立的最大整数人.

19.(17分)函数_y=x+1是我们最熟悉的函数之一，它是奇函数，且歹轴和直线y=x是它的渐近线，

X

在第一象限和第三象限存在图象，其图象实质是圆锥曲线中的双曲线.

(I)函数丁=X+L的图象不仅是中心对称图形，而忖还是轴对称图形，求其对称轴/的方程：

X

(2)若保持原点不动，长度单位不变，只改变坐标轴的方向的坐标系的变换，叫坐标系的旋转，简称转

轴.

(i)请采用适当的变换方法，求函数y=x+1变换后所对应的双曲线标准方程；

X

(ii)已知函数y=x+2图象上任一点到平面内定点/、8的距离差的绝对值为定值，以线段28为直径

X

的圆与y=x+1的图象一个交点为P,求△PZ3的面积.

X

数学答案与解析

1.D2.C3.A4.A5.B

6.【答案】B

【解析】由万=4而+〃而，当尸在直线8。上时，2+4=1,当圆。与DB的切点在OB延长线上

时，圆C落在四边形ZBC。内部部分与直线08没有公共点，此时4+4>1，#Z-DBC>y,

0<Z.C<—,故答案为

7.【答案】D

【解析】/(X)为偶函数，所以/(X)=/(-x)j'(x)=—r(-x)=g(x)=—g(7),所以g(x)为奇函

数Act.

g(O)=O.因为为奇函数，所以/(：_2x]=_/j[+2x],得/｛上鼻-/信+x]

即/(x)关于点(1,())对称,所以/'[3+x)=

即g(;|+x>g((_x)ng(x)=g[m_x),①

所以g(x)=_g(_x)=g(m_x)=g(x)=_g[x+|^，②

得g(x)=g(x+3),g(x)的周期为3.

故g(x)为周期为3的奇函数.g(0)=g(3)=0.

又2是/(x)的极值，点，得g(2)=0,g(5)=0,g(-2)=0,g⑴=0,g(4)=0.

g(x)=g(x+3),又g(x)为奇函数，g(x)=-g(-x)=g(x+3),得-g(—x)=g(x+3),

所以g(x)关于点0,0)对称,故g(/=0,且g(|+3)=g漳)=0,

g[|-x^g(l)=g[|-l]=[l)=OXg(1)=g(13)=g(^=0

由①g(x)=g,+

由②g(x)=_g(x+g=g(l)=-g[l+g)=-g

1357911

故g(x)=0在(0,6)内解最少有5,1,*2,：,3,(,4,；,5,7,最少有11个.

乙乙乙乙乙乙

8.【答案】C

【解析】由〃。川=(2〃+2)%，得争=2产，

所以2=2-^,也=2^•，吐=2^^,…，”=22(〃22/€N*)

a...,n-1n-2a.n-3a,1、7

&=2”TN,得a,="2"T.

a.1

设5=。I+。2+%+―+。100=1.2°+2-21+3・22+4-23+—+100-299①

则2s=1・21+2"+32+4*24+-..+100-21°g

①©得一S=l+2+2?+23+…+299-100・2i°°

1_0100

-5=——-2loo100=-99-2loo-l

1-2

S=99-2IO(,+1

a100100.2"50

出+%+4+…+々0099-210099

9.BD

10.【答案】ACD

【解析】【法,】由J1+COSX+J1-COSX

=%=2+2|sinx|=k=|sinx|="--

由歹,sinr|的图象可知，—的值为0,1,孝时,

J1+COST+J1-cosx=&的正根构成等工数列,得〃=2,4,2+0,故选ACD.

【法二】y=4\+COSX+V1-COSX吟+呜

其周期为兀，设xe[0,司

y=J1[cos/+sin])=&的正根构成等差数列，得&=2、a=加时成立，故CD正确;

TT3冗57r7TT

且彳'、=不"=彳'…'值也满足题意'

.n兀sin+cos=VIsin2cos22sinos

sin—+cos—=£i^Jrrri

88

=也同联同1+日

得左=2+瓶，故A正确.

11.【答案】BCD

【解析】/(x)=%4一凉+cx有三个不同极值点须/2，工3,

则/'(0=*3-2"+。=0有三个不等实根为再"2，刍，则/-2bx=—c定有三个解.

设g(x)=》3-2bx=g'(x)=3x2-26,

当640,g'(x)=3x2+2b>0,得g(x)单调递增,

x3-2bx=-c不会有三个解,所以O,g'(x)=3x2-26=0nx土

-00,|单调递增，在

得g(x)在单调递减，在+8单调递增.

7

d-2bx=-c定有三个解=g>-c恒成立,

因为一ce(0,1],所以g>1恒成立.

即g>1,W6>—,故A错误;

4

3

■Sx-2Z>x+c=(x—X])(x-x2)(x-x3)

32

=X-(X|+x24-X3)X+(X|X2+XjX3+x2x3)x-xIx2x3,

XXXX

故再+工2+工3=°，再42+\3+23=-2/),X1X2X3=-C,故芭/与£(0,1]，故D正确;

2

又(X1+x2+x3)=x；+x：+x；+2x(x2+2^X3+2X2X3=0

x：+x；+xf=~(2XJX2+2xtx3+2X2X3)=4b>3次，故B正确;

又x：+2bxi+c=0,x；+2bx2+c=0,x；+2bx3+c=0,

则x：+x]+x：=-2Z?X|c—2bx1—c—2bX3—c=—3c>

Xce[-l,O),故—3ce(O,3],

xj5+£+x；的最大值为3,故C正确.

392兀

12.3

~9~

【解析】由<|lnx|,得0<1,

7

书411nxi，

当y20时，y<-xlnx,

当_y<0时，y>xlnx,

由函数y=xlnx与y=—xlnx图象可知点P位于图中阴影部分区域，

则点P到直线x-y-加=0（mwR）最大距离的最小值为函数y=-xlnx上切线斜率为1的点到直线

x—y—l=0的距离的一半.

y=-xlnx=>/=-Inx-1,

设一1'0-1=1,得豌)="2,

2222

k-2e--l|e-+]V2(e+1)

点("2,2"2)到x—y-1=0的距离为

O="7F-2?-

V2(e2+1)

故答案为

-4^

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.解：(1)因为5“=1一2一"

当〃22时，a“=S“-S,i=l-2-(1-2”=襄

又因为〃=1时，卬=岳=1-2一|=」也满足上式

2

所以当〃GN*时，a“=V

2

a=iogM,=iogi/=〃

2万2

(2)山bn=n,得一--=—-=-------

他+1〃(〃+1)nn+\

1111111,1

"b}b2b2b3b3b44T1223nn+ln+l

s-TM+1)

""IT)In+1)n+\2"(〃+l)2"

当〃=1时，2"=〃+1

当〃N2时，2"=C；+C：+C；+•••+C；=1+〃+戏+…+C；>〃+1,S”>7；.

综上所述：当〃=1时，S„=Tn,当〃22时，Sn>Tn.

16.解：(1)等腰直角△Z3C中，AB=BC,得N/8C=90°

点E、产分别为48,4C的中点，EF//BC,

所以即JLZ8.

将△沿EF翻折到/XDEF位置后，EF±ED,EFLEB,

EDu面BDE,EBu面BDE,DECEB=E,

所以EF工BDE.

又EF〃BC、得BC上面BDE,又3Cu面3cO,所以平面3cDJL平面BOE

（2）【法一】由（1）知8C_L面8DE,所以面力3。，面8。《.

又因为DB=EB,所以ABDE为等边三角形,

设的中点为O,则。。上面ZBC,过。作。交ZC于M.以O为坐标原点，0MQBQD

所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨设/8=8C=4,

得Q（0,0,6）,E（0,-l,0）,F（2,-l,0）,C（4,l,0）

所以丽=（0,1,0）,丽=（2,0,0）,反=（4,2,0）

设平面DEF的一个法向量为阳=（再,必,4），

时・访=0」必+岛=0

'|京•昉=0扃=0

可取决=（0,3,—6），

设平面DEC的一个法向量为石=（刍,Z2）,

则产殓=0』%+岳2=。

|[n-£C=0|14吃+2%=0

可取7=（-g,3,-豆）

m-n_124屈

则COS〈加,〃〉=

I耐行19

平面DEF与平面DEC夹角的余弦值为勺叵.

19

【法二】点E、尸分别为48,ZC的中点，EF〃BC,BC上面DEB,所以M_L面。砧，

面。EbJL面。EB,且面OE/R面。EB=OE,

不妨设AB=BC=4,则点3到面DEF的距离为6,

故点C到面DEF的距离为V3.

设E3的中点为。，则。。J.面4BC,

NOBC=9G,BD=4,0B=1=0C=后,BE=2=EC=2亚

△DOC中Z.DOC=90。,。。=屈,OD=百=。。=20

所以△DEC为等腰三角形，DC=EC=2y[^DE=2,得点C到。E的距离为炳,

又C到面。瓦'的距离为百,

所以平面DEF与平面DEC夹角的正弦值为

而

4M

得平面DEF与平面DEC夹角的余弦值为、一.

19

17.解：(1)该校随机抽取三人，每个人满分的概率为40%.

设抽取的三人中满分人数为X,则X=0,1,2,3.

(TV

则尸(X=0)=

3_36

尸(X=2)=C；E

/5-125

P«=3)=C；S=展

则X的分布列为

X0123

2754368

p

125125125125

...一6),

数学期望E（X）=3x|=1.

（2）【法一】设该校总人数为N人，则体育项目测试满分的有Nx40%=0.4N人，每天运动时间超过两

个小时的人数有Nx20%=0.2N人，

超过两个小时的人体育项目测试满分率约为50%,则其中测试满分的有个0.2Nx50%=0.1N个人，

因此每天运动时间不超过两个小时的学生有Nx（l-20%）=0.8N个人中，测试满分的有

0.4N—0.1N=0.3N个人，任取1名学生，他体育测试满分的概率为尸=一型=2.

0.8N8

【法二】用4表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”，则P（Z）=20%,

叩）=1-20%=80%.

用B表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”，

则尸（8）=40%,且尸（8㈤=50%.

又尸（工8）=尸（4）尸（同4）=20%―50%=10%

尸⑶=尸（幺8）+尸7=10%+尸（初）=40%

故P（M）=30%.

（|一\P（AB\30%3

P6㈤=-^="=±.9分

V1>「（可80%8

（3）【法一】记4表示事件“经过〃次传球后，球在乙的手中”，

设”次传球后球在乙手中的概率为p„,n=1,2,3,…,〃,

1—

则有Pi=］，4+1=4.4+1+4,-4向，

所以P〃+I=尸（4.4川+4.4+J

=P（4/4+J+P（4J4+J

=P(Z)P(4+M)+P(4)P(4+M)

=(1-P"＞；+P"，O

=：(i-P").

即P.+i=一；P"+；，〃=l，2,3,…，

11(

所以P”+i

所以数列(p表示以』为首项，-，为公比的等比数列,

[3J62

所以「,十3卜3’，

所以P"=》H)44HJi

即”次传球后球在乙手中的概率是,

3HI!

【法二】记4表示事件“经过〃次传球后，球在甲的手中”,

设〃次传球后球在甲手中的概率为P“,〃=1,2,3,…,〃,

所以%=?(不和+4.4向)

=p(Z4j+P(44i)

=尸(4).尸(4T同+尸(4).尸(4/4)

=(i_p,)；+p/O

=；。-p"),

即P〃+i=—；P"+g，"=l，2,3」一，

所以P"+「:=一3|?"—且p「;=一

所以数列］p“-表示以-;为首项，-;为公比的等比数列,

1

1-

3

即〃次传球后球在甲手中的概率是！1-

,因为由甲先传球，则”次传球后球在乙和丙手中的概

3

18.解：+国产=/，(x)=[12+(4+2)++4]/

因为俄>0,设g(x)=x?+(Q+2)x+a,A=(Q+2)2-4a=a2+4>0,

-(a+2)±Ji?+4

则g(x)=J+(a+2)X+Q=0=>xl2

2

-(4+2)一

当—00,------------,g(x)>O=/(x)>OJ(x)单调递增.

2

""^2]时，g(x)<0=>r(x)<0,/(x)单调递减.

当NW

/

/-(4+2)++4、

当xw2，+0°时，g(x)>0=>r(x)>0,/(x)单调递增.

\7

综上所述：/(x)的单调递增区间为-00,(a+2；"(a+2)\Ja三,+oo,单调递减区

门*)-(a+2)—+4一(〃+2)+Ja2+4

(2)若，(x)=x即(乂+◎)/=x只有一个解,

因为x=0使方程成立，所以只有0是/(x)=x的解.

x=0时，(x+a)er=1无非零解.

设〃(、)=(、+白)优一1,则”(x)=(x+Q+1)e。

当xv一L”(x)v0,〃(x)单调递减,

当x>-Q->0,〃(x)单调递增,

所以〃(x)最小值为力(一”-1)=一一1<0,

当1->一8时，—1,当时，，f+oo,故〃(X)=(X+G)C*-1定有零点，又因为

(x+a)e*=1无非零解，有零点应还是0.

所以〃(0)=(0+=0na=l,则/(x)=(x2+x)ex,

"：)>(丘-d)(ev-1)得，+x>(丘一，)(/一1卜>0,/>1,：+；>Z-x得A<-：+；+x

设尸(切=字;+工

e—1

令G(x)=e*-x-2得G(x)=ex-1

因为x>0=e、>1=>G'(x)>O,G(x)=靖一x—2在(0,+oo)上单调递增,

又G6=e—3<0,G(2)=e?—4>0,

xx

e°(e0-xn-2]

所以(1,2)使得G(%)=0=*=x0+2,且尸'(x0)=」------0.

(g)-

y|1

xe(O,xo)=>F(x)<O,F(x)=—~；■+：<：单调递减，

e—1

x+1

XG(x0,+oo)=>F(x)>O,F(x)=--+x单调递增，

e—1

所以尸(x)最小值/(Xo)=?M+Xo

且e"=x0+2,得/(%)=9+/=%+1

%+1

X+I

又因为X()G(l,2)=>x0+le(2,3),所以左<—1——+x^>k<x0+l,

e'—1

故整数上的最大值为2.

19.解：（1）函数y=x+4的图象是圆锥曲线中的双曲线，且y轴和直线y=x是它的渐近线可知，对称

X

3兀77r

轴为直线y=tan——x和y=tan—x.

88

TT7T

,得tai?上+2tan--1=0

88

50，兀K，3式7171

解得tan—=A/2—1,----1—=一

8882

所以tan%tan—=1tan—=5/2+1,

888

tan—=tan］兀一乙］=-tan^=1-0,

8I8J8

所以对称轴/的方程为y=(JI+1卜和y=(1-后卜.

(2)(i)【法一】在转轴下，设坐标轴的旋转角为&，平面上任一点尸在旧坐标系xQy与新坐标系x'。/

内的坐标分别为(x,y)与(V,力，作PM_LOr,PNJ_Ox'再设APOx'=6,贝。

x'=ON=\OP\cos0,y'^NP=\OP\sin0,

x=OM=|(9P|cos((z+^)=|OP|(cosacos8-sinasing)

=x'cosa-/sina,

y=MP=|O尸卜in(a+。)=|OP|(sinacos^+cosasin。)=fsina+y'cosa

3兀1

由（1）可知将坐标轴逆时针旋转一，函数y=x+—将变为双曲线标准方程，由公式可得

8x

,3兀,.3兀,1,41+11

x=xCos------ysin—x=x―7,-y-1....-=x=—/,/-(V2+i)y

,88。4+2逐'44+20”+20L

,.3兀,3无,五+1,11

j=xsin—+ycos—=>y=x-7_+y口==7+1)x'+y'

［88<4+2>/2V4+2V244+2

1x~V。

代入y=x~i—整理得—T=----------T=----=1.

x2<2+22V2-2

37-1,•3兀

8jsin—1

将84I

代入歹二x十一,

37-1,3兀x

8ycos—

2

8,3兀,.3兀1

=xcos------ysm-+---------5------------z—

八——8)8

3兀3兀3兀,3兀、

/sin—+/cos--xcos-+ysin—Ixcos--/sin-1

8888)Jl88J

sin红-cos任+y(cos型+sin四口x,cosX-y,sin型