2024年中考数学必考考点总结+题型专训因式分解（原卷版+解析）

因式分解

考点一：因式分解

知识回顾

1.因式分解的概念：

把一个多项式写成几个整式的乘法的形式，这种变形叫做因式分解。

2.因式分解的方法：

①提公因式法：am+bm+cm=m(a+b+c)

公因式的确定：公因式=各项系数的最小公倍数X相同字母(式子)的最低次幕。若多项式首

项是负的，则公因式为负。

用各项除以公因式得到另一个式子。

②公式法：

平方差公式：cT—Z?2=(a+b^a—b)□

完全平方公式：a2±2aZ?+Z?2=(a±Z?)~

③十字相乘法：

利用十字交叉线将二次三项式进行因式分解的方法叫做十字相乘法。

对于一个二次三项式ax?+6x+c,若满足4="1・42，c=cl'c2,且41。2+a2cl=b，那么二次

x+c

三项式ax?+6x+c可以分角军为：+Z>x+c=(a1x+c1X«22)°

当a=l时，二次三项式是f+6x+c,此时只需。=01・°2，且。1+。2=》，贝！Jf+6x+c可分

2

解为：X+Z?X+C=(X+C1X^+C2)°

④分组分解法：

对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处

理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解-分组分解法.

即先对题目进行分组，然后再分解因式。(分组分解法一般针对四项及以上的多项式)

3.因式分解的具体步骤：

(1)先观察多项式是否有公因式，若有，则提取公因式。

（2）观察多项式的项数，两项，则考虑平方差公式；三项则考虑完全平方式与十字相乘法。四项

及以上则考虑分组分解。

（3）检查因式分解是否分解完全。必须分解到不能分解位置。

再无特比说明的情况下，任何因式分解的题目都必须在有理数范围内进行分解。

微专题

1.（2023•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A.x1-x-1=-x(x-1)-1B.x2-1=(x-1)2

C.J?-x-6=（x-3）（%+2）D.x(x-1)=/-x

2.（2023•永州）下列因式分解正确的是（）

A.ax+ay=a(x+y)+1B.3〃+3b=3(〃+/?)

C.〃2+4〃+4=(〃+4)2D.a2-^b=a(a+b)

3.（2023•湘西州）因式分解：m2+3m=_______

4.(2023•广州)分解因式：3a2-2\ab=______

5.(2023•常州)分解因式：/>+盯2=_________

6.(2023•柳州)把多项式/+2。分解因式得（)

A.a(。+2)B.a(tz-2)C.(a+2)2D.(a+2)(a-2)

7.(2023•荷泽)分解因式：x2-9y2=_________

8.(2023•烟台)把4因式分解为________

9.(2023•绥化)因式分解：（机+几）2-6（m+n）+9=_________________.

10.(2023•苏州)已知x+y=4,x-y=6,则A2-/=________•

11.(2023•衡阳)因式分解：/+2X+1=_______

12.(2023•济南)因式分解：。2+4〃+4=_______

13.(2023•宁波)分解因式：x1-2x+l=______

14.(2023•河池)多项式/-4尤+4因式分解的结果是（）

A.x(x-4)+4B.(x+2)(x-2)C.(x+2)2D.(X-2)2

15.(2023•荆门)对于任意实数a,b,aW=(a+Z>)(a2-ab+b2)恒成立,则下列关系式正确的是()

A.a3-Z?3=(a-b)(c^+ab+b2)

B.a3-Z?3=(a+b)(a2+aZ?+Z>2)

C.a3-b3=（a-b）（a1-ab+b2）

D.ai-b3—（a+6）（.cr+ab-b1）

16.（2023•绵阳）因式分解：3尤3-12移2=

17.（2023•丹东）因式分解：2a2+4。+2=

18.（2023•辽宁）分解因式：3/y-3y=

19.（2023•恩施州）因式分解：°3-6/+9。=

20.（2023•黔东南州）分解因式：2022?-4044x+2022

21.（2023•常德）分解因式：X3-9孙2=___________________.

22.（2023•怀化）因式分解：X2-x4=_____________________.

23.（2023•台湾）多项式39/+5x-14可因式分解成（3尤+。）（bx+c）,其中a、b、c均为整数，求a+2c之

值为何？（）

A.-12B.-3C.3D.12

24.（2023-内江）分解因式：o4-3a2-4=.

25.（2023•广安）已知a+6=l,则代数式/-必+26+9的值为.

26.（2023•黔西南州）已知必=2,a+b=3,求/什仍2的值是.

因式分解

考点一：因式分解

知识回顾

4.因式分解的概念：

把一个多项式写成几个整式的乘法的形式，这种变形叫做因式分解。

5.因式分解的方法：

①提公因式法：am+bm+cm=m(a+b+c)

公因式的确定：公因式=各项系数的最小公倍数X相同字母(式子)的最低次幕。

若多项式首项是负的，则公因式为负。

用各项除以公因式得到另一个式子。

②公式法：

平方差公式：cT-Z?2=(a+b^a—b)0

完全平方公式：a~+2ab+b~=(a+Z?)2

③十字相乘法：

利用十字交叉线将二次三项式进行因式分解的方法叫做十字相乘法。

对于一个二次三项式of+6x+c,若满足口=”「a2，c-cl'c2,且

qc2+a2cl=b,那么二次三项式。/+加；+。可以分解为：

2x+c

ax+Z?x+c=(a1x+c1X«22)°

当a=l时，二次三项式是+6x+c,此时只需。=。厂。2，且。1+。2=人，贝U

X^+fcv+C可分解为：X2+bx+C=^C+C^X+C2)o

④分组分解法：

对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，

可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对

整体作因式分解-分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式。(分组分解法一

般针对四项及以上的多项式)

6.因式分解的具体步骤：

(4)先观察多项式是否有公因式，若有，则提取公因式。

(5)观察多项式的项数，两项，则考虑平方差公式；三项则考虑完全平方式与十

字相乘法。四项及以上则考虑分组分解。

（6）检查因式分解是否分解完全。必须分解到不能分解位置。

再无特比说明的情况下，任何因式分解的题目都必须在有理数范围内进行分解。

微专题

I_________>

1.（2023•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A.x2-x-l=x（x-1）-1B.7-l=（尤-1）2

C.x2-x-6—（x-3）（x+2）D.尤（尤-1）—x1-x

【分析】根据因式分解的定义判断即可.

【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；

8选项计算错误，故不符合题意；

C选项是因式分解，故符合题意；

。选项不是因式分解，故不符合题意；

故选：C.

2.（2023•永州）下列因式分解正确的是（）

A.ax+ay=a（x+y）+1B.3a+3b=3（a+b）

C./+4a+4=Q+4）2D.a2+b=a（a+b）

【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即

可.

【解答】解：A选项，ax+ay=a（x+y）,故该选项不符合题意；

8选项，3<7+3匕=3（a+6）,故该选项符合题意；

C选项，a2+4a+4=（a+2）2,故该选项不符合题意；

。选项，/与。没有公因式，故该选项不符合题意；

故选：B.

3.（2023•湘西州）因式分解：nr+3m=.

【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可.

【解答】解：原式（％+3）.

故答案为：优（优+3）.

4.（2023•广州）分解因式：3层-21ab=.

【分析】直接提取公因式3a,进而分解因式得出答案.

【解答】解：3a2-21a6=3a（a-76）.

故答案为：3a（a-7b）.

5.（2023•常州）分解因式：/y+盯2=.

【分析】直接提取公因式孙，进而分解因式得出答案.

【解答】解：x1y+xy2=xy(x+y).

故答案为：xy(x+y).

6.(2023•柳州)把多项式/+2。分解因式得()

A.a(a+2)B.a(a-2)C.(a+2)2D.(a+2)(a-2)

【分析】直接提取公因式a,进而分解因式得出答案.

【解答】解：a^+2a=a(a+2).

故选：A.

7.(2023•荷泽)分解因式：?-9y2=.

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.

【解答】解：原式=(x-3y)(x+3y).

故答案为：(x-3y)(x+3y).

8.(2023•烟台)把4因式分解为.

【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答.

【解答】解：x2-4=(x+2)(.x-2),

故答案为：(x+2)(x-2).

9.(2023•绥化)因式分解：(m+n)2-6(m+/i)+9=.

【分析】将，看作整体，利用完全平方公式即可得出答案.

【解答】解：原式=(m+w)2-2*(^+»)*3+32

=(m+n-3)2.

故答案为：(m+n-3)2.

10.(2023•苏州)已知x+y=4,x-y=6,则/-/=.

【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案.

【解答】解：；x+y=4,x-y=6,

Ax2-/

=(x+y)(x-y)

=4X6

=24.

故答案为：24.

11.(2023•衡阳)因式分解：?+2^+1=.

【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可.

【解答】解：+2x+1=(尤+1)2,

故答案为：(x+1)2.

12.(2023•济南)因式分解：/+4a+4=.

【分析】利用完全平方公式进行分解即可.

【解答】解：原式=(a+2)，

故答案为：(a+2)2.

13.(2023•宁波)分解因式：/-2x+l=.

【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可.

【解答】解：尤2-2X+1=(X-1)2.

14.(2023•河池)多项式/-4x+4因式分解的结果是()

A.x(x-4)+4B.(x+2)(x-2)C.(x+2)2D.(x-2)2

【分析】原式利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=(x-2)2.

故选：D.

15.(2023•荆门)对于任意实数a,b,a3+b3=(a+6)(a2-ab+b2)恒成立，则下列关系式

正确的是()

A.a3-b3—(a-b)Qcr+ab+b2)

B.a3-b3=(a+b)CcT+ab+b2^)

C.a3-b3—(a-b)(a2-ab+b2)

D.a3-b3—Ca+b)(a2+ab-Z?2)

【分析】把所给公式中的6换成-6,进行计算即可解答.

【解答】解：a3+i>3=(a+Z?)(a2-ab+b2'),

.'.a3-b3

=a3+(-Z?3)

=a3+(-6)3

=[a+(-b)][(a2-«,(-b)+(-£>)2]

=(a-b)(cT+ab+b2)

故选：A.

16.(2023•绵阳)因式分解：3_?-12孙2=

【分析】先提取公因式，再套用平方差公式.

【解答】解：原式=3尤(x2-4/)

=3x(x+2y)(x-2y).

故答案为：3x(x+2y)(x-2y).

17.(2023•丹东)因式分解：2/+4°+2=.

【分析】原式提取2,再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=2(a^+2a+l)

=2(a+1)2.

故答案为：2(a+1)2.

18.(2023•辽宁)分解因式：3/y-3y=.

【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答.

【解答】解：3。-3y

=3y(x2-1)

=3>y(x+1)(x-1),

故答案为：3y(x+1)(x-1).

19.(2023•恩施州)因式分解：a3-6a2+9«=.

【分析】先提公因式a,再利用完全平方公式进行因式分解即可.

【解答】解：原式=。(屋-6a+9)=a(a-3)2,

故答案为：a(a-3)2.

20.(2023•黔东南州)分解因式：2022/-4044尤+2022=.

【分析】原式提取公因式2022,再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=2022(？-2x+l)

=2022(x-1)2.

故答案为：2022(x-1)2.

21.(2023•常德)分解因式：尤3_9盯2=.

【分析】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案.

【解答】解：％3-9xy1

=x(x2-9y2)

=x(x+3y)(x-3y),

故答案为：x(x+3y)(x-3y).

22.(2023•怀化)因式分解：?-/=.

【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=/(1-?)

=/(1+x)(1-X).

故答案为：?(1+x)(1-X).

23.(2023•台湾)多项式39j+5x-14可因式分解成(3x+a)(bx+c),其中。、b、c均为整

数，求a+2c之值为何？()

A.-12B.-3C.3D.12

【分析】根据十字相乘法可以将多项式39x2+5)-14分解因式，然后再根据多项式39/+5x

-14可因式分解成(3x+a)("+c),即可得到a、b、c的值，然后计算出a+2c的值即可.

【解答】解：：39/+5x-14=(3x+2)(13x-7),多项式39/+5x-14可因式分解成(3x+a)

(Ox+c),

•。=13,c=-7,

a+2c

=2+2X