重庆市梁平区2024年中考数学押题卷（含解析）

重庆市梁平区2024年中考数学押题卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.已知一组数据1、2、3、X、5,它们的平均数是3,则这一组数据的方差为（）

A.1B.2C.3D.4

2.如图所示的几何体的左视图是（）

3.如果一组数据1、2、X、5、6的众数是6,则这组数据的中位数是（）

A.1B.2D.6

4.如图是我国南海地区图，图中的点分别代表三亚市，永兴岛，黄岩岛，渚碧礁，弹丸礁和曾母暗沙，该地区图上两

个点之间距离最短的是（）

二一

三I法

>••第m

n

A.三亚--永兴岛B.永兴岛--黄岩岛

C.黄岩岛--弹丸礁D.渚碧礁--曾母暗山

5.如图，两个一次函数图象的交点坐标为（2,4）,则关于x,y的方程组力'；的解为（）

%=k2x+b2

y诉十瓦

y

\/y=&x+%

4

<4O

x=2,x=4,x=-4,x=3,

y=4y=2y=oy=0

6.在学校演讲比赛中，10名选手的成绩折线统计图如图所示，则下列说法正确的是（

■»0if9095

A.最高分90B.众数是5C.中位数是90D.平均分为87.5

7.如图，直线AB与口MNPQ的四边所在直线分别交于A、B、C、D,则图中的相似三角形有（）

AMQ

A.4对B.5对C.6对D.7对

8.一次函数—--满足;：…，且随的增大而减小，则此函数的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若Nl=50。，则N2=（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

10.1.桌面上放置的几何体中，主视图与左视图可能不同的是（）

A.圆柱B.正方体C.球D.直立圆锥

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，已知AABC和△AOE均为等边三角形，点。4c的中点，点。在4射线3。上，连接OE,EC,若45=4,

则OE的最小值为.

A

12.实数标，-3,―,痣，0中的无理数是.

13.自2008年9月南水北调中线京石段应急供水工程通水以来，截至2018年5月8日5时52分，北京市累计接收河

北四库来水和丹江口水库来水达50亿立方米.已知丹江口水库来水量比河北四库来水量的2倍多1.82亿立方米，求

河北四库来水量.设河北四库来水量为x亿立方米，依题意，可列一元一次方程为.

14.在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形和圆的图案，现将印有图案的一面朝下，

混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率为.

15.在RtAABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,点E,F分别在边AB,AC±,将△AEF沿直线EF翻折，点A

落在点P处，且点P在直线BC上.则线段CP长的取值范围是.

2

16.如图，在菱形ABCD中，AE_LDC于E,AE=8cm,sinD=-,则菱形ABCD的面积是.

3

-4B

A7

DEC

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图所示，AABC内接于圆O,

（D如图1,当为直径，求证：ZOBC=ZACD；

（2）如图2,当A5为非直径的弦，连接05,则（1）的结论是否成立？若成立请证明，不成立说明由；

（3）如图3,在（2）的条件下，作于E,交CZ>于点尸，连接ED,且AD=5£>+2石D,若DE=3,OB=5,

求CF的长度.

ccc

图1图2图3

18.（8分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你

最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果

绘制成如下不完整的统计图.

根据图中信息求出m=

请你帮助他们将这两个统计图补全；根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”

这一新生事物？已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”D同学最认可“网购”从这四名同学中抽

取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率.

19.（8分）已知△ABC中，AD是NBAC的平分线，且AD=AB,过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H.

(1)如图1,若NBAC=60。.

①直接写出NB和NACB的度数;

②若AB=2,求AC和AH的长;

（2）如图2,用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明.

20.（8分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元

购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5

元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元？

21.（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4,OC=3,

若抛物线经过O,A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F,点D,E的坐标分别为（3,0）,（0,1）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）猜想△EDB的形状并加以证明；

（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A,F,M,N为顶点的四边形是平行四边

形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

22.（10分）在矩形ABCD中，点E在8C上,钻=4£）,£）/，AE,垂足为■求证.£>尸=AB若/EDC=30。,且

>18=4,求40.

23.（12分）观察猜想：

在RtZkABC中，NBAC=90。，AB=AC,点D在边BC上，连接AD,把△ABD绕点A逆时针旋转90。，点D落在点

E处，如图①所示，则线段CE和线段BD的数量关系是,位置关系是.探究证明：

在（1）的条件下，若点D在线段BC的延长线上，请判断（1）中结论是还成立吗？请在图②中画出图形，并证明你

的判断.拓展延伸：

如图③，/BACW90。，若ABrAC,ZACB=45°,AC=0,其他条件不变，过点D作DFJ_AD交CE于点F,请直

接写出线段CF，长度的最大值.

24.如图，已知AB为。O的直径，AC是。O的弦，D是弧BC的中点，过点D作。。的切线，分别交AC、AB的

延长线于点E和点F,连接CD、BD.

(1)求证：NA=2/BDF；

(2)若AC=3,AB=5,求CE的长.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、B

【解析】

先由平均数是3可得x的值，再结合方差公式计算.

【详解】

•.•数据1、2、3、X、5的平均数是3,

1+2+3+%+5

・•・---------------------=3,

5

解得：x=4,

则数据为1、2、3、4、5,

.,•方差为gx[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2,

故选B.

【点睛】

本题主要考查算术平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义.

2、A

【解析】

本题考查的是三视图.左视图可以看到图形的排和每排上最多有几层.所以选择A.

3、C

【解析】

分析：根据众数的定义先求出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即可得出答案.

详解：•••数据1,2,x,5,6的众数为6,

把这些数从小到大排列为：1,2,5,6,6,最中间的数是5,

则这组数据的中位数为5；

故选C.

点睛：本题考查了中位数的知识点，将一组数据按照从小到大的顺序排列，如果数据的个数为奇数，则处于中间位置

的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数为偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

4、A

【解析】

根据两点直线距离最短可在图中看出三亚-永兴岛之间距离最短.

【详解】

由图可得，两个点之间距离最短的是三亚-永兴岛.

故答案选A.

【点睛】

本题考查的知识点是两点之间直线距离最短，解题的关键是熟练的掌握两点之间直线距离最短.

5、A

【解析】

根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到

答案.

【详解】

解：•直线yi=kix+bi与y2=k2x+b2的交点坐标为(2,4),

X=幻+4,x=2,

.•.二元一次方程组＜的解为,

y2=k2x+b.

故选A.

【点睛】

本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函

数解析式.函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解.

6、C

【解析】

试题分析：根据折线统计图可得：最高分为95,众数为90；中位数90；平均分=(80x2+85+90x5+95x2)+(2+1+5+2)=88.5.

7、C

【解析】

由题意，AQ〃NP,MN〃BQ,.'.△ACM^ADCN,△CDN^ABDP,△BPD^ABQA,△ACM^AABQ,

△DCN^AABQ,AACM^ADBP,所以图中共有六对相似三角形.

故选C.

8、A

【解析】

试题分析：根据y随X的增大而减小得：k<0,又kb>0,则b<0,故此函数的图象经过第二、三、四象限，即不经

过第一象限.

故选A.

考点：一次函数图象与系数的关系.

9、C

【解析】

由两直线平行，同位角相等，可求得N3的度数，然后求得N2的度数.

【详解】

VZ1=5O°,

.*.Z3=Z1=5O°,

Z2=90°-50°=40°.

故选C.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，熟悉掌握性质是关键.

10、B

【解析】试题分析：根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视

图，正方体主视图与左视图可能不同，故选B.

考点：简单几何体的三视图.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、1

【解析】

根据等边三角形的性质可得OC=LAC,ZABD=30°,根据“S4S”可证△A3O名△ACE,可得乙4。£=30。=乙43。,

2

当OELEC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE的最小值.

【详解】

解：•••△ABC的等边三角形，点。是AC的中点，

AOC=-AC,ZABD=3d0

2

•.•△43(7和4AOE均为等边三角形，

：.AB^AC,AD^AE,N5AC=NZME=60。，

：.ZBAD=ZCAE,SLAB=AC,AD=AE,

：./\ABD^/\ACE(SAS)

ZACE=30°=ZABD

当OE_LEC时，OE的长度最小，

,.,ZOEC=90°,ZACE=30°

曰，-11

：.OE最小值=-OC=-AB=1,

24

故答案为1

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.

12、^5

【解析】

无理数包括三方面的数：①含7T的，②一些开方开不尽的根式，③一些有规律的数，根据以上内容判断即可.

【详解】

解：716=4,是有理数，-3、T、0都是有理数，

V5是无理数.

故答案为：5

【点睛】

本题考查了对无理数的定义的理解和运用，注意：无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含7T的，②一些

开方开不尽的根式，③一些有规律的数.

13、x+(2x+1.82)=50

【解析】

【分析】河北四库来水量为x亿立方米，根据等量关系：河北四库来水和丹江口水库来水达50亿立方米，列方程即可

得.

【详解】河北四库来水量为x亿立方米，则丹江口水库来水量为(2X+L82)亿立方米，

由题意得：x+(2x+1.82)=50,

故答案为x+(2x+1.82)=50.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程是关键.

1

14、-

2

【解析】

用字母A、B、C、D分别表示等腰三角形、平行四边形、菱形和圆，画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找

出抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】

解：用字母A、B、C、D分别表示等腰三角形、平行四边形、菱形和圆，

画树状图：

共有12种等可能的结果数，其中抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的结果数为6,

所以抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率

122

故答案为.一

2

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结

果数目m,求出概率.也考查了轴对称图形.

15、1<CP<5

【解析】

根据点E、F在边AB、AC±,可知当点E与点B重合时，CP有最小值，当点F与点C重合时CP有最大值，根据

分析画出符合条件的图形即可得.

【详解】

如图，当点E与点B重合时，CP的值最小，

此时BP=AB=3,所以PC=BC-BP=4-3=1,

如图，当点F与点C重合时，CP的值最大,

此时CP=AC,

RtAABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,根据勾股定理可得AC=5,所以CP的最大值为5,

所以线段CP长的取值范围是1<CP<5,

故答案为1<CP<5.

【点睛】

本题考查了折叠问题，能根据点E、F分别在线段AB、AC上，点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC

有最大（小）值是解题的关键.

16、96cm2

【解析】

根据题意可求AD的长度，即可得CD的长度，根据菱形ABCD的面积=CDxAE,可求菱形ABCD的面积.

【详解】

"AD3

.•.AD=11

•••四边形ABCD是菱形

/.AD=CD=11

•••菱形ABCD的面积=llx8=96cmi.

故答案为：96cmi.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，解直角三角形，熟练运用菱形性质解决问题是本题的关键.

三、解答题(共8题，共72分)

14

17、(1)见解析；(2)成立；(3)y

【解析】

(1)根据圆周角定理求出NACB=90。，求出NADC=90。，再根据三角形内角和定理求出即可；

(2)根据圆周角定理求出NBOC=2NA,求出NOBC=90"NA和NACD=9(T-NA即可；

(3)分别延长AE、CD交。O于H、K,连接HK、CH、AK,在AD上取DG=BD,延长CG交AK于M,延长

KO交。O于N,连接CN、AN,求出关于a的方程，再求出a即可.

【详解】

(1)证明：；AB为直径，

.../ACB=90°,

；CDJ_A^D,

.../ADC=90°,

ZOBC+/A=90°,ZA+ZACD=90°,

.•./OBC=/ACD；

(2)成立，

证明：连接OC,

图2

由圆周角定理得：/BOC=2/A,

,/OC=OB,

NOBC=1(180°-^BOC)=1(1800-2/A)=90°-ZK,

：/ADC=90°,

.../ACD=90°—/A,

.,・/OBC=/ACD；

(3)分别延长AE、CD交。O于H、K,连接HK、CH、AK,

八图3

VAE±BC,CD±BA,

ZAEC=NADC=90°,

.'.”CD+/CFE=90°,^BAH+^DFA=90°,

•••/CFE="FA,

:.^BCD=^BAH,

•.•根据圆周角定理得：NBAH=/BCH,

:."CD=4AH="CH，

由三角形内角和定理得：ZCHE=/CFE,

•,.CH=CF,

，EH=EF,

同理DF=DK,

•••DE=3,

.••HK=2DE=6,

在AD上取DG=BD,延长CG交AK于M,则AG=AD—BD=2DE=6,

BC=GC,

/.^MCK="CK=4AK,

.•./CMK=90°,

延长KO交。O于N,连接CN、AN,

贝(IZNAK=90°=NCMK,

ACM//AN,

■:NNCK=/ADK=90°,

.,.CN//AG,

二四边形CGAN是平行四边形，

AG=CN=6,

作OTLCK于T,

则T为CK的中点，

为KN的中点，

OT=-CN=3,

2

,.2OTC=90。，OC=5,

...由勾股定理得：CT=4,

.,.CK=2CT=8,

作直径HS,连接KS,

VHK=6,HS=10,

...由勾股定理得：KS=8,

3

tan/HSK=-=tan/HAK,

4

/.tan^EAB=—=tan^fBCD,

3

设BD=a,CD=3a,

AD=BD+2ED=a+6,DK=-AD=-a+2,

33

VCD+DK=CK,

:.3aH—a+2=8,

3

9

解得：a=-,

113

DK=-a+2=—,

35

CF=CK-2DK=8--=—.

55

【点睛】

本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行

推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大.

18、(1)100、35；(2)补图见解析；(3)800人；(4)-

【解析】

分析：(1)由共享单车人数及其百分比求得总人数m,用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值；

(2)总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；

(3)总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案；

(4)列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根据概率公式计算可得.

详解：(1)•••被调查的总人数m=10+10%=100人，

35

二支付宝的人数所占百分比n%=——xl00%=35%,即n=35,

100

40

(2)网购人数为100xl5%=15人，微信对应的百分比为——xl00%=40%,

(3)估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000x40%=800人

(4)列表如下：

ABcD

A—A.BACAD

BAE—B、CBD

CA、CB：C—C.P

DA、DB、Dc、D—

共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，

所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为—

126

点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识.列表法或画树状图法可以不

重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到

的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

19、(1)①45。，②叫8；(2)线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC.证明见解析.

2

【解析】

(1)①先根据角平分线的定义可得NBAD=NCAD=30。，由等腰三角形的性质得NB=75。，最后利用三角形内角和可

得NACB=45。；②如图1,作高线DE,在RtAADE中，由NDAC=30。，AB=AD=2可得DE=1,AE=6,在

RtACDE中，由NACD=45。，DE=1,可得EC=1,AC=君+1,同理可得AH的长；(2)如图2,延长AB和CH

交于点F,取BF的中点G,连接GH,易证AACH之△AFH,贝！jAC=AF,HC=HF,根据平行线的性质和等腰

三角形的性质可得AG=AH,再由线段的和可得结论.

【详解】

(1)①；AD平分NBAC,ZBAC=60°,

.,.ZBAD=ZCAD=30°,

；AB=AD,

:.ZACB=180°-60°-75°=45°；

②如图1,过D作DE_LAC交AC于点E,

图1

在RtAADE中，VZDAC=30°,AB=AD=2,

.\DE=1,AE=73,

在RtACDE中，•.•/ACD=45。，DE=1,

.\EC=1,

；.AC=G+1,

在RtAACH中，VZDAC=30°,

.,.CH=-AC=^-1

22

AH=VAC2-CH2=J(V3+1)2-

(2)线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC.

证明：如图2,延长AB和CH交于点F,取BF的中点G,连接GH.

易证△ACH丝△AFH,

.\AC=AF,HC=HF,

，GH〃BC,

VAB=AD,

；.NABD=NADB,

ZAGH=ZAHG,

；.AG=AH,

/.AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2(AB+BG)=2AG=2AH.

【点睛】

本题是三角形的综合题，难度适中，考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、三角形

的中位线定理等知识，熟练掌握这些性质是本题的关键，第（2）问构建等腰三角形是关键.

20、30元

【解析】

试题分析：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：口啦，第二批进的数量是：小，再根据等量

关系：第二批进的数量=第一批进的数量x2可得方程.

解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则

,30005000

/X-L，

XX-5

解得x=30

经检验，x=30是原方程的根.

答：第一批盒装花每盒的进价是30元.

考点：分式方程的应用.

21、（1）y=--x2+3x；（2）△EDB为等腰直角三角形；证明见解析；（3）（6+2^>2）或（如名叵，-2）.

433

【解析】

（1）由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式;

(2)由3、。、E的坐标可分别求得OE、30和BE的长，再利用勾股定理的逆定理可进行判断；

(3)由5、E的坐标可先求得直线5E的解析式，则可求得尸点的坐标，当AF为边时，则有尸M〃AN且bM=AN,

则可求得M点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得“点坐标；当A歹为对角线时，由4、尸的坐标可求得平行四边形

的对称中心，可设出M点坐标，则可表示出N点坐标，再由N点在x轴上可得到关于M点坐标的方程，可求得M点

坐标.

【详解】

解：(1)在矩形OABC中，OA=4,OC=3,

AA(4,0),C(0,3),

•••抛物线经过O、A两点，

.••抛物线顶点坐标为(2,3),

可设抛物线解析式为y=a(x-2)2+3,

3

把A点坐标代入可得0=a(4-2)2+3,解得a=--,

4

33

.•.抛物线解析式为y=--(x-2)2+3,即=--x2+3x；

4y4

(2)AEDB为等腰直角三角形.

证明：

由(1)可知B(4,3),且D(3,0),E(0,1),

.*.DE2=32+l2=10,BD2=(4-3)2+32=10,BE2=42+(3-1)2=20,

.\DE2+BD2=BE2,且DE=BD,

.••△EDB为等腰直角三角形；

(3)存在.理由如下：

设直线BE解析式为y=kx+b,

3=4k+bk=-

把B、E坐标代入可得，，解得<2,

l=b,

b=l

...直线BE解析式为y=；x+l,

当x=2时>y=2,

AF(2,2),

①当AF为平行四边形的一边时，则M到x轴的距离与F到x轴的距离相等，即M到x轴的距离为2,

，点M的纵坐标为2或-2,

在y=-2X2+3X中,令y=2可得2=--x2+3x,解得x=2若,

.443

,/点M在抛物线对称轴右侧，

：.x>2,

.6+273

••X---------------9

3

•••M点坐标为(6+2出,2)；

3

在y=-2x2+3x中，令y=-2可得-2=-2x2+3x,解得x=,

'443

；点M在抛物线对称轴右侧，

/.x>2,

._6+2V15

••X-----------------f

3

•••M点坐标为(6+2后,-2).

3

②当AF为平行四边形的对角线时，

VA(4,0),F(2,2),

二线段AF的中点为(3,1),即平行四边形的对称中心为(3,1),

3

设M(t,--t2+3t),N(x,0),

4

则-'t2+3t=2,解得t=6±2退,

43

点M在抛物线对称轴右侧，

：.x>2,

Vt>2,

.一6+2月

••I---------------f

3

点坐标为(6+26,2)；

3

综上可知存在满足条件的点M,其坐标为（生28,2）或（6+2岳,-2）.

33

【点睛】

本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、勾股定理及其逆定理、平行四边形的性质、方程思想及

分类讨论思想等知识.在（1）中求得抛物线的顶点坐标是解题的关键，注意抛物线顶点式的应用，在（2）中求得AEDB

各边的长度是解题的关键，在（3）中确定出M点的纵坐标是解题的关键，注意分类讨论.本题考查知识点较多，综

合性较强，难度较大.

22、（1）证明见解析；（2）1

【解析】

分析：（1）利用“AAS”证△ADF^^EAB即可得；

（2）由NADF+NFDC=90。、NDAF+NADF=90。得NFDC=NDAF=30。，据此知AD=2DF,根据DF=AB可得答案.

详解：（1）证明：在矩形ABCD中，TADaBC,

/.ZAEB=ZDAF,

又；DF_LAE,

:.ZDFA=90°,

.\ZDFA=ZB,

又；AD=EA,

/.△ADF^AEAB,

/.DF=AB.

（2）VZADF+ZFDC=90°,ZDAF+ZADF=90°,

:.NFDC=NDAF=30°,

/.AD=2DF,

VDF=AB,

.\AD=2AB=1.

点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质.

23、（1）CE=BD,CE±BD.（2）（1）中的结论仍然成立.理由见解析；（3）

4

【解析】

分析：（1）线段AD绕点A逆时针旋转90。得到AE,根据旋转的性质得到AD=AE,ZBAD=ZCAE,得到

△BAD^ACAE,CE=BD,ZACE=ZB,得至叱BCE=NBCA+NACE=90。，于是有CE=BD,CE±BD.

（2）证明的方法与（1）类似.

（3）过A作AMLBC于M,ENLAM于N,根据旋转的性质得到NDAE=90。，AD=AE,利用等角的余角相等得到

ZNAE=ZADM,易证得R3AMD也RtAENA,贝!|NE=MA,由于NACB=45。，则AM=MC,所以MC=NE,易得

四边形MCEN为矩形，得到NDCF=90。，由此得到RtAAMDsRtADCF,得丝2=4丝，设DC=x,MD=l-x,利