2024年高考数学专项复习：排列组合之分配问题（解析版）

2024年高考数学专项复习排列组合专题14分配问题（解析

版）

专题14分配问题

例1.将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名

额互不相等，则不同的分配方法种数为（）

A.96B.114C.128D.136

例2.北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1,2,…，30号），现从中任意

选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大

的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（）

A.25B.32C.60D.100

例3.学校决定把12个参观航天航空博物馆的名额给二（1）、二（2）、二（3）、二（4）四个班级.要求每

个班分得的名额不比班级序号少；即二（1）班至少1个名额，二（2）班至少2个名额，……，则分配方案有

（）

A.10种B.6种C.165种D.495种

例4.将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到4、B、a。四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配

到月班，丁不能分配到6班，则共有分配方案的种数为（）

A.10B.12C.14D.24

例5.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法

共有（）

A.90种B.180种C.270种D.540种

例6.4名大学生被分配到3所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，则不同的分配方案有（）

A.12B.24C.36D.72

例7.将5名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配一

名教师，则不同的分配方案共有几种（）

A.60B.80C.150D.360

1

例8.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名

医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院/,医生乙只能分配到医院/或医院8,

医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一

名医生，则不同的分配方案共有（）

A.18种B.20种C.22种D.24种

例9.把3名新生分到甲、乙、丙、丁四个班，每个班至多分配1名且甲班必须分配1名，则不同的分配方

法有（）

A.12种B.15种C.18种D.20种

例10.某公司将5名员工分配至3个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须

分配在同一个部门的不同分配方法数为（）

A.24B.30C.36D.42

例11.将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.（最后结果用数字表示）

（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？

（2）一所学校安排4个人，一所学校安排2个人，一所学校1个人，有多少种不同的分配方案？

（3）其中有两所学校都各安排3个人，另一所学校安排1个人，有多少种不同的分配方案？

例12.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？

（1）分成三份,1份1本J份2本,1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本，一人得2本,一人得3本；

（3）平均分成三份，每份2本；

（4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；

（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本；

（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本，另外两人每人得1本；

（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本.

2

例13.有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：

（1）5位同学站成一排，有多少种不同的方法？

（2）5位同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？

（3）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？

例14.从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的雅典奥运冠军中选出6名作“夺冠之路”的励志报告.

（1）若每个大项中至少选派一人，则名额分配有几种情况？

（2）若将6名冠军分配到5个院校中的4个院校作报告，每个院校至少一名冠军，则有多少种不同的分配

方法？

例15.将4名大学生分配到A、B、C三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名，则大学生甲分配到乡镇

A的概率为（用数字作答）

例16.安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有种.（用数字作答）

例17.为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表

性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有种（用数字作

答）

例18.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安

排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不

同的分配方法总数为.

例19.某学校要将4名实习教师分配到3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，则不同的分配方案

有种.

例20.将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少

分配一名教师，则不同的分配方案共有______________种.（用数字作答）

3

专题14分配问题

例1.将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名

额互不相等，则不同的分配方法种数为()

A.96B.114C.128D.136

【解析】

不同的名额分配方法为(1,2,15),(1,3,14),(1,8,9)；(2,3,13),(2,4,12),…，(2,7,

9)；…，⑸6,7),共7+5+4+2+1=19种方法，再对应分配给学校有19团=114,选B.

例2.北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者(编号分别是1,2,•••,30号)，现从中任意

选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大

的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是()

A.25B.32C.60D.100

【解析】

6号、15号与24号放在一组，则其余三个编号要么都比6小，要么都比24大，比6小时，有以=10种

选法，都比24大时，有=20种选法，合计30种选法，6号、15号与24在选厅时有两种选法，所以

选取的种数共有(10+20)x2=60种，故正确选项为C.

例3.学校决定把12个参观航天航空博物馆的名额给二(1)、二(2)、二(3)、二(4)四个班级.要求每

个班分得的名额不比班级序号少；即二(1)班至少1个名额，二(2)班至少2个名额，……，则分配方案有

()

A.10种B.6种C.165种D.495种

【解析】

根据题意，先在编号为2、3、4的3个班级中分别分配1、2、3个名额，编号为1的班级里不分配；再将

剩下的6个名额分配4个班级里，每个班级里至少一个，

分析可得，共。5?=10种放法，即可得符合题目要求的放法共10种，

故答案为A

例4.将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到/、B、C、。四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到

/班，丁不能分配到5班，则共有分配方案的种数为()

A.10B.12C.14D.24

1

【解析】

将分配方案分为甲分配到B班和甲不分配到B班两种情况:

①甲分配到8班：有川=6种分配方案；

②甲不分配到B班：有444=8种分配方案；

由分类加法计数原理可得：共有6+8=14种分配方案.

故选：C.

例5.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法

共有（）

A.90种B.180种C.270种D.540种

【解析】

<6<4<2

分两个步骤：先分配医生有H=6种方法，再分配护士有=90,由分步计数原理可得:

4z；=6x90=540,

4

应选答案：D.

例6.4名大学生被分配到3所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，则不同的分配方案有（）

A.12B.24C.36D.72

【解析】

C2cl

将4人分为2人、1人、1人的三组，共有：U^=6种分法，

将三组安排到3所学校共有4=6种分法，

由分步乘法计数原理可得：不同的分配方案有6x6=36种.

故选：C.

例7.将5名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配一

名教师，则不同的分配方案共有几种（）

A.60B.80C.150D.360

【解析】

分成甲校分配3名教师和2名教师两种情况：

2

甲校分配3名教师时，共有：C；C；=20种分配方案

甲校分配2名教师时，共有：种分配方案

，不同的分配方案共有：20+60=80种

本题正确选项：B

例8.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有

五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院医生乙只能分配到医院/或医院2，

医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一

名医生，则不同的分配方案共有（）

A.18种B.20种C.22种D.24种

【解析】

根据医院/的情况分两类：

第一类：若医院/只分配1人，则乙必在医院£当医院2只有1人，则共有《用种不同

分配方案，当医院8有2人，则共有C；封种不同分配方案，所以当医院/只分配1人时，

共有《用+=10种不同分配方案；

第二类：若医院/分配2人，当乙在医院/时，共有4种不同分配方案，当乙不在/医院，

在3医院时，共有种不同分配方案，所以当医院/分配2人时，

共有/；+=10种不同分配方案；

共有20种不同分配方案.

故选：B

例9.把3名新生分到甲、乙、丙、丁四个班，每个班至多分配1名且甲班必须分配1名，则不同的分配方

法有（）

A.12种B.15种C.18种D.20种

【解析】

根据题意，分2步进行分析：

①、由于每个班至多分配1名且甲班必须分配1名，先在3名新生中任选一人，安排到甲班，

有C；=3种情况，

3

②、在剩下的3个班级中任选2个，安排剩下的2名新生，有团=6种情况，

则有3x6=18种不同的分配方法；

本题选择C选项.

例10.某公司将5名员工分配至3个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须

分配在同一个部门的不同分配方法数为（）

A.24B.30C.36D.42

【解析】解：如果5人分成1,1,3三组,则分配方法有：废吗题种，

如果5人分成1,2,2三组，则分配方法有：最《黑种，

由加法原理可得：不同分配方法数为C利必1+最或“=36种.

本题选择C选项.

例11.将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.（最后结果用数字表示）

（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？

（2）一所学校安排4个人，一所学校安排2个人,一所学校1个人，有多少种不同的分配方案？

（3）其中有两所学校都各安排3个人，另一所学校安排1个人，有多少种不同的分配方案？

【解析】

（1）C:CjC；=105（种）

（2）C;C；.C：•团=630（种）

「30301

（3）4=420（种）

例12.按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?

（1）分成三份，1份1本,1份2本,1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本,一人得2本,一人得3本；

（3）平均分成三份，每份2本；

（4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；

（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本；

（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本，另外两人每人得1本；

（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本.

【解析】

4

（1）无序不均匀分组问题.先选1本有C\种选法;再从余下的5本中选2本有C；种选法;最后余下的3本全选

有Cl种选法.故共有=60（种）选法.

（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人，在1题的基础上，还应考虑再分配，共有

633㈤3=360.

（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是种选法，但是这里出现了重复.不妨记六本书为

Z,8,C,。,E,凡若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EE,记该种分法为（AB,CD,EF），则

C：C：C；种分法中还有（AB,EF,CD\{CD,AB,EF）,（CD,EF,AB）,（EF,CD,AB）,（EF,AB,CD）,

共有Z；种情况，而这4种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同，因此只能作为一种分法,故分配方式有

=15.

「2「2「2

(4)有序均匀分组问题.在3题的基础上再分配给3个人,共有分配方式-4=90(种)•

(5)无序部分均匀分组问题.共有=15（种）分法.

「40101

(6)有序部分均匀分组问题.在5题的基础上再分配给3个人,共有分配方式-4=90(种)•

（7）直接分配问题.甲选1本有C*种选法，乙从余下5本中选1本有C；种选法，余下4本留给丙有C：种选法,

共有C；UC：=30（种）选法.

例13.有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：

（1）5位同学站成一排，有多少种不同的方法？

（2）5位同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法?

（3）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？

【解析】

（1）幺；=120.

（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻

故有石44=24-

5

（3）人数分配方式有①3+1+1有CM=60种方法

②2+2+1有=90种方法

所以，所有方法总数为60+90=150种方法

例14.从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的雅典奥运冠军中选出6名作“夺冠之路”的励志报告.

（1）若每个大项中至少选派一人，则名额分配有几种情况？

（2）若将6名冠军分配到5个院校中的4个院校作报告，每个院校至少一名冠军，则有多少种不同的分配

方法？

【解析】

（1）6个名额没有差异，所以选择隔板法，（2）首先先从5个院校选择4个院校，然后将6名冠军分组，

3111,或是2211,两种情况，最后再分配乘以

试题解析：（1）名额分配只与人数有关，,与不同的人无关.

所以选择隔板法，Cl=106分

（2）从5个院校中选4个，再从6个冠军中，先组合，再进行排列，有废+y・4：=7800种分

配方法.12分

例15.将4名大学生分配到A、B、C三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名，则大学生甲分配到乡镇

A的概率为（用数字作答）

【解析】

将4名大学生分配到A、B、C三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名的事件个数为=36,每个

乡镇至少分配一名，大学生甲分配到乡镇A的个数是=6,所以概率是尸=色=!

366

例16.安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有种用数字作答）

【解析】210

例17.为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表

性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有种（用数字作答）

【解析】

（1）若按照1