知识5 图形及其变换（公式、定理、结论图表）-2023年中考数学必背知识手册

知识必备05图形及其变换（公式、定理、结论图表）

厂知识梳理

考点一、平移变换

1.平移的概念:在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移，

平移不改变图形的形状和大小.

【要点诠释】

(1)平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变

换；

(2)图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形

平移的依据；

(3)图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而

不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据.

2.平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同

的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线

段平行且相等，对应角相等.

【要点诠释】

(1)要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；

(2)“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可

作为平移作图的依据.

典例1:(2022•大连)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1,2),将线段OA向右平移4个单位长

度，得到线段BC,点A的对应点C的坐标是(5,2)

【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可.

【解答】解：将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段2C,点A的对应点C的坐标是(1+4,2),

即(5,2),

故答案为：(5,2).

【点评】本题主要考查坐标与图形变化一平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：横坐标，右移

力口，左移减；纵坐标，上移加，下移减.

典例2：(2022•毕节市)如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移

1个单位，得到点4(1,1)；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点42(-1,3)；

把点上向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3(-4,0)；把点43向下平移4个单位，再

向右平移4个单位，得到点4(0,-4),…；按此做法进行下去，则点Aio的坐标为(-1,11)

【分析】根据题目规律，依次求出左、A6……的坐标即可.

【解答】解：由图象可知，A5(5,1),

将点左向左平移6个单位、再向上平移6个单位,可得人6(T,7),

将点4向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得A78,0),

将点Ai向右平移8个单位,再向下平移8个单位，可得A8(0,-8),

将点题向右平移9个单位，再向上平移9个单位，可得刖(9,1),

将点49向左平移10个单位，再向上平移10个单位，可得Aio(-1,11),

故答案为：(-1,11).

【点评】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中考

常考题型.

考点二、轴对称变换

1.轴对称与轴对称图形

轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直

线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点.

轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

2.轴对称变换的性质

①关于直线对称的两个图形是全等图形.

②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.

③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.

④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.

3.轴对称作图步骤

①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点.

②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.

4.翻折变换：图形翻折问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕

所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分.

【要点诠释】翻折的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等，折叠图形中有

相似三角形，常用勾股定理.

典例3：（2022•资阳）如图，正方形ABCD的对角线交于点。，点E是直线上一动点.若AB=4,则

AE+OE的最小值是（）

AD

BEC

A.4A/2B.2V5+2C.D.2710

【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线8C的对称点A,再连接

A'O,运用两点之间线段最短得到A，0为所求最小值，再运用勾股定理求线段40的长度即可.

【解答】解：如图所示，作点A关于直线2C的对称点4,连接AO,其与的交点即为点E,再作。尸

交于点产,

D

%

〈A与A关于BC对称，

：.AE=AEfAE+OE=AE+OE,当且仅当A,O,E1在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE

=AE+OE=A'O,

・・,正方形ABC。，点。为对角线的交点，

•'-0F=FB=yAB=2'

；A与A关于BC对称，

：.AB=BA'=4,

：.FA,=FB+BA-2+4=6,

在Rt△。四中，0Ay=VFO2+FA/2=2\ZIQ,

故选：D.

【点评】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键.

典例4：（2022•黔西南州）在如图所示的RtZXABC纸片中，ZACB=90°,。是斜边A8的中点，把纸片沿

着折叠，点B到点E的位置，连接AE.若AE〃DC,ZB=a,则/E4c等于（

A.aB.90°-aC.-aD.90°-2a

2

【分析】由直角三角形斜边上的中线性质和折叠的性质得出即，ZB=ZDCB=ZDCE

=ZCED=a,求出/E4£)=NAED=180°-2a,ZCA£)=90°-a,即可得出答案.

【解答】解：：/ACB=9(r,。是斜边A8的中点，

：.CD=BD=AD,

由折叠的性质得：BD=ED,ZB=ZCED,

：.CD=BD=AD=ED,

:./B=/DCB=NDCE=NCED=(x,

AZEDC=180°-ZDCE-ZCED=180°-a-a=180°-2a,

'JAE//DC,

：.ZAED=ZEDC=ISO0-2a,

"：ED=AD,

：.ZEAD=NAED=180°-2a,

VZB=a,NACB=90°,

：.ZCAD^90°-a,

：.ZEAC=ZEAD-ZCAD=180°-2a-(90°-a)=90°-a,

故选：B.

【点评】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角

形内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质和等腰三角形的性质是解题的关键.

考点三、旋转变换

1.旋转概念：把一个图形绕着某一点0转动一个角度的图形变换叫做旋转.点0叫做旋转中心，转动的角

叫做旋转角.

2.旋转变换的性质

图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与

旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图

形的形状、大小都没有发生变化.

3.旋转作图步骤

①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.

②分析所作图形，找出构成图形的关键点.

③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.

④按原图形连结方式顺次连结各对应点.

【要点诠释】

1.图形变换与图案设计的基本步骤

①确定图案的设计主题及要求；

②分析设计图案所给定的基本图案；

③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；

④对图案进行修饰，完成图案.

2.平移、旋转和轴对称之间的联系

一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当于

一次旋转，其旋转角等于两直线交角的2倍.

典例5：（2022•枣庄）如图，将AABC先向右平移1个单位，再绕点尸按顺时针方向旋转90°,得到△山

B'C,则点8的对应点次的坐标是（）

D.(2,-3)

【分析】作出旋转后的图形即可得出结论.

【解答】解：作出旋转后的图形如下：

故选：C.

【点评】本题主要考查图形的平移和旋转，熟练掌握图形的平移和旋转是解题的关键.

典例6：（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=12O°，点D在直线AC上，连接8。，将。8

绕点。逆时针旋转120°,得到线段。E,连接CE.

（1）求证：BC=«AB；

（2）当点D在线段AC上（点。不与点A,C重合）时，求丝的值；

AD

（3）过点A作AN〃。石交2D于点N,若4。=28,请直接写出幽的值.

CE

【分析】（1）作AH_LBC于〃，可得148,BC=2BH,进而得出结论；

2

（2）证明进而得出结果；

（3）当点。在线段AC上时，作BEJ_AC,交CA的延长线于凡作AGJ_8。于G,设AB=AC=3a,

则AD=2a,解直角三角形2DR求得3£）的长，根据△ZMGs/Vjg/求得AQ,进而求得A7V,进一步

得出结果；当点。在AC的延长线上时，设AB=AC=2a,则AD=4a,同样方法求得结果.

图1

作于

"：AB=AC,

.,./8Aa=/CAH=/NBAC=、X120°=60°,BC=2BH,

•MS夸AB,

:.BC=2BH=MAB；

(2)解：,：AB=AC,

・•.ZABC=NAci0°"AC=180。-120。=3。

22

由(1)得，

BACBSrz'

同理可得，

ZDBE=30°,饕3，

BD

:.NABC=NDBE,幽=里

ABBD

ZABC-ZDBC=ZDBE-ZDBC,

：./ABD=/CBE,

：.AABDs^CBE,

.CEBE

"AD"BD

(3)解：如图2,

当点D在线段AC上时,

BFLAC,交CA的延长线于R作AG_L8O于G,

设A3=AC=3〃，则A£)=2〃，

由(1)得，CE=«AD=2«a，

在RtZXABF中，ZBAF=180°-ZBAC=60°,AB=3a,

：.AF=3a'cos600=—,BF=3a.sin60°=

2a2a

在RtABDF中，=A£)+AF=2a+与『=卫a，

____________2_2

BD=5/BF2+DF2=(~^-a)2+(ya)2=V19«，

V