2024年中考数学考前押题密卷（苏州卷）（全解全析）

2024年中考考前押题密卷（苏州卷）

数学•全解全析

第I卷

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.2024的倒数是（）

A.2024B.-2024

【分析】根据乘积是1的两数互为倒数解答即可.

【解答】解：2024的倒数是2；

故选：C.

【点评】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键.

2.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对

称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折

叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180。后与原图重合.

【解答】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意.

故选：C.

【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.

3.刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约42000000光年，它们之间被大量氢气和暗物

质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”.其中数字42000000用科学记数法表示为（）

A.4.2x107B.4.2x106C.0.42xl08D.4200x104

【分析】科学记数法的表示形式为0X10〃的形式，其中上同＜10,为整数.确定〃的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞10时，〃是

正整数；当原数的绝对值＜1时，〃是负整数.

【解答】解：42000000=4.2x107.

故选：A.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为"10〃的形式，其中上同＜10,〃

为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

4.“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工

作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面

积x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）

60606060

A.——---------=30B---------——=3

x(1+25%)%•(1+25%)%x

60x(1+25%)606060x(1+25%)

C.——---------—=30D.--——-------人=30

xx%x

【分析】设实际工作时每天绿化的面积X万平方米，根据工作时间=工作总量+工作效率，结合提前30天

完成任务，即可得出关于x的分式方程.

Y

【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积X万平方米，则原计划每天绿化的面积万平方米,

1+25%

』6060口口60x（1+25%）60

依题后、得：—x———=30,BP------------———=30.

1+25%xxx

故选：C.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程.找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的

关键.

5.如图，在边长为1的正方形网格中，点B,。在格点上，以45为直径的圆过C,Q两点,则sinN

5QC的值为（）

2

【分析】由圆周角定理得到NA4C=N3OC,求出sin/R4c即可解决问题.

【解答】解：是圆的直径，

，ZACB=9Q°,

；.4B=^JAC2+BC2=V42+32=5,

../c/cBC3

・・sinBAC=彳夕—宁

ZBAC=NBDC,

3

sinZBDC=sinZBAC=1.

故选：A.

【点评】本题考查圆周角定理，锐角的正弦值，掌握圆周角定理，三角函数定义是解题的关键.

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，A4O5的顶点5在x轴正半轴上，顶点Z在第一象限内，AO=AB,

Lr

P,。分别是。4,AB的中点，函数左>0,x>0）的图象过点尸，连接O。，若SAO尸。=3,则左

的值为（）

【分析】作轴于。，尸轴于E,根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分即可求得

3

△AOD的面积为6,然后通过证得△尸6母必/0。，由相似三角形的性质即可求得SAPOE=|,

然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k=3.

【解答】解：作轴于。，轴于E,

'：AO=AB,

：.OD=BD,

VP,0分别是CM,45的中点，

SA4OB—2sAy400，S^AOQ=2sApOQ=6,

**•SAAOB=12,

••S^AOD=2sA403=6，

9：PE//AD,

：.APOEsAAOD,

.S^POE/OP、21

・・----=(---)=彳,

SMODOA4

S^POE=^^AOD=

:函数(左>0,x>0)的图象过点P,

.1

••S/^POE~2因'

\k\=3,

・・7>0,

:・k=3,

4

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数比例系数上的几何意义：在反比例函数＞=［图象中

任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值因.在反比例函数

的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是;因，且保持不

变.也考查了相似三角形的判定与性质.

7.如图，在平面直角坐标系中，四边形048c为矩形，。为坐标原点，点/的坐标是（-1,2）,点2的

710

A.2B.-C.3D.—

33

【分析】过点4作4。_Lx轴，过点5作BE_L4Q交。4的延长线于点证明求出BE

即可解答.

【解答】解：过点工作轴，过点8作交LU的延长线于点E,如图：

：.AE^|,

:四边形是矩形，

ZBAO^90°=ZE=ZADO,

：./DAO=NEBA,

：.LABEsAOAD,

5

BEAE„BEq

—=—,sp—=——，

AD0A21

解得2E=学，

5

1U7

**•点B的横坐标为百一1二］，

D5

故选：B.

【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造三角形相似是解题关键.

8.如图（1）所示，£为矩形N3CO的边/。上一点，动点尸，0同时从点8出发，点尸沿折线8E-ED-

OC运动到点C时停止，点。沿8C运动到点。时停止，它们运动的速度都是秒.设尸、0同时出

发/秒时，△8P。的面积为yc加2.已知〉与/的函数关系图象如图（2）（曲线。河为抛物线的一部分）,

则下列结论：①AD=BE=5；②cos//BE=［；③当0〈"5时，尸④当U与秒时，AABE^AQBP；

【分析】图（2）中，点M坐标为（5,10）,此时点尸用5秒运动到点E处，48尸0的面积为10°加2.根

据运动的速度都是1cm/秒可得8E=5C/M,那么高/8=CD=4a〃；根据勾股定理可得NE长3C加；点N

的坐标为（7,10）,此时点P运动到N,用时2秒，那么。E长2cm,则/O=5c%,所以①正确；cos

ZABE==|＞故②正确；当0＜仁5时，点P在8E上，用f表示出△BPQ的面积，看③是否正确；

仁竽秒时，点尸在CD上，。已经停止在点C处，画出相关图形，判断△N8E和△Q5P是否相似即可得

到④是否正确.

【解答】解：•••点”坐标为（5,10）,

/.点尸用5秒运动到点E处,4BPQ的面积为10cm2.

:点尸、。的运动速度都是1c%/秒.

；・BE=BQ=5（cm）,

,:XBPQ的面积为10cm2,

7vin

：.AB=CD=^-^-=4（cm）.

6

AE=>JBE2—AB2=3(cm).

•・•点N的坐标为(7,10),

,点尸从一开始运动到N,共用时7秒.

・••点P从点E运动到点。用时2秒.

.\ED=2cm.

AD=AE+DE=5cm.

.\AD=BE=5cm.

故①正确；

・・•四边形45C。是矩形，

・•・N4=90°=NABC=ZC=90°.

cos/ABE=F

BE=5-

故②正确；

当0V於5时，点P在BE上.

作PMLBC于点M.

：.NBMP=90。.

C.AB//PM,

：.ZBPM=ZABE.

4

cosZBPM=/cosABE=5.

由题意得：BP=BQ=tcm,

：.PM=BPxccsNBPM=

S/^BPQ—^BQ*PM=f'於.

故③错误；

t=竽秒时，点尸在CD上，。已经停止运动，在点。处.

_29

...点P运动的路程为了(cm).

4

291

DP―—5-2=4(cm).

11s

・,•尸。=4-4=7-(cm).

7

_AE3PQ153

*/—=一,—=—：5=7,

AB4BQ44

.AEPQ

"AB-BQ'

:.△ABESLQBP.

故④正确.

故选：A.

图⑴

图⑴

图⑴

【点评】本题综合考查了动点问题的函数图象.得到拐点表示的意义是解决本题的关键.用到的知识点

为：COS/空两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.

J”斜边4

第n卷

二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

9.函数y=亨的自变量x的取值范围是工42且10.

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0,分母不等于0,就可以求解.

【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x+2加且在0,

解得：x>-2SL/0.

8

故答案为：X之-2且存0.

【点评】本题考查函数自变量的取值范围，知识点为：分式有意义，分母不为0;二次根式的被开方数

是非负数.

10.因式分解：4冽2〃-4/=4〃（加+几）（m-n）

【分析】先提取公因式4〃，再运用平方差公式继续分解.

【解答】解：4m2n-4n3

2

=4n（.m-几2）

=4n（加+〃）（m-n）.

故答案为：4n（.m+n）（m-n）.

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后

再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

11.如图，小明骑自行车从甲地到乙地，折线表示小明途中行程5（如）与所花时间*〃）之间的函数关系,出

发后5小时，小明离甲地30千米.

50

40

306（5；30）

1

2l0o--k-771——/;rL>；

Ori234567^/h

【分析】根据尸点的坐标即可得到结论.

【解答】解：,:P（5,30）,

出发后5小时，他离甲地30人加.

故答案为：30.

【点评】本题考查了一次函数的应用，能够正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题关键.

12.一组数据有5个自然数：4、5、5、x、y,这组数据的中位数为4,唯一的众数是5,那么，所有满足条

件的x、y中，x+y的最大值是5.

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位

数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个.

【解答】解：•.•唯一的众数是5,中位数为4,

.,.x,y不相等且x<4,y<4.

：.x.y的取值为0,1,2,3,

9

...x+y的最大值为2+3=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.根据条件推出x与y的最大值是解此题的关

键.

题干唯一的众数是5,等于3的话，3也是众数

13.如图，四边形48CD是。。的内接四边形，是。O的直径，连接若NBCD=2NBAD,贝!

【分析】根据圆内接四边形的性质求出NA4D=60。，根据圆周角定理得到NR4E=90。，结合图形计算，

得到答案.

【解答】解：•.,四边形/BCD是。。的内接四边形，

，ZBCD+ZBAD=180°,

'：NBCD=2/BAD,

：.120°,ZBAD=60°,

•.•BE是。。的直径，

NBAE=90。,

：.ZDAE=90°-ZBAD=90°-60°=30°,

故答案为：30°.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题

的关键.

14.若关于x的一元二次方程，-（后+4）》+3+后=0恰有一个根小于0,则左的取值范围是k<-3.

【分析】根据方程的解即可得出关于左的一元一次不等式，解之即可得出发的取值范围.

【解答】解：-（左+4）x+3+左=0,

（x-1）[x-（左+3）]=0,

解得：x=l或%=后+3.

二,关于x的一元二次方程/-（左+4）x+3+左=0恰有一个根小于0,

10

.,.上+3<0,

：.k<-3.

故答案为：k<-3.

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当A20时，方程有实数根”是解题的关键.

15.校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶

上/点处测得树顶端。的仰角为30。，朝着这棵树的方向走到台阶下的点。处，测得树顶端。的仰角为

60°.已知/点的高度48为4米，台阶NC的坡度为1：V3（即Z8：BC=1：V3）,且3、C、E三点在

同一条直线上.根据以上条件求出树的高度为12米.（测倾器的高度忽略不计）.

【分析】根据4C的坡比得出//C2=30。，在RtZUBC中，根据边角关系可求出/C,在RtAdCD中,

可求出4D,RtzX4D尸中，求出。尸即可.

【解答】解：,台阶/C的坡度为1：V3（即/3：BC=1：V3）,

//C3=30。，

在RtA43C中，/8=4米，NACB=30。,

.,./C=2/8=8（米），

N/CZ）=180°-60°-30°=90°,

在RtZX/CD中，NC=8米，ZCAD=300+30°=60°,

AD—2AC—16（米），

1

在RtZUDF中，。尸=赵。=8（米），

.,.DE=8+4=12（米），

即树高为12米，

故答案为：12.

11

D

【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，理解坡度的意

义是解决问题的关键.

16.如图，在ZUB。中，ZACB=90°,点D是3c上的一点，AC=DC,ABLAE,^.AE=AB,连接

AC3BD4

交NC的延长线于点尸，—=则.=_J.

CF2CD3

【分析】在。C上截取CG=CF,连接4G,设NC=3x,CF=2x,先证明A4CG名△OCF(&4S),再证

明AE4尸/AABG(AAS),从而推出BD=4x,即可求解.

【解答】解：在。C上截取CG=CF,连接NG,

••AC3

•—,

CF2

设ZC=3x,CF=2x,

U：AC=DC,

：.CD=3x,

•/CG=CF,

：.CG=2x,

•・•ZACB=90°f

在RtA^CG和RtADCF中,

AC=CD

乙ACD=乙DCF,

CG=CF

•••△4CG且△DCF(S4S),

12

：.ZCAG=ZCDFf

VZAGB=ZCAG+90%ZEE4=90°+ZCDF,

：.ZAGB=ZEFAf

,：ABLAE,

：.ZEAB=90%

VZACD=90°,AC=CD,

：.ZCAD=45°,

：./EAF+/BAD=45。,

ZADC=45°=ZABC+ZBAD,

：.ZEAF=/ABC,

在AE4尸和A45G中，

Z-EAF=Z.ABC

Z.EFA=NZGB,

AE=AB

・••△EAFmAABG(AAS)f

：.BG=AF=5x,

GD=3x-2x=xf

：・BD=4x,

.BD4

"CD-3；

方法二：过点4作G尸〃。5,过点£作£8,4方交于点〃，过点£作£G，G尸交于点G,过点5作5尸

LG尸交于点。，

••AC3

•—，

CF2

设/C=3x,CF=2x,

U：AC=DC,

:・CD=2x,

U：AELAB,

：.NE4B=90。,

：.ZGAE+ZPAB=90°,

'：ZGAE+ZGEA=90°f

13

工NPAB=/GEA,

•；AB=AE,

:•△AEGQ^BAP(44S),

：.BP=AG,

•:AC=BP=2x,

：.AG=EH=2x,

VZDCF=Z//=90°,CF=BH,/CFD=/EFH,

:•△DCF"AEHF(ASA)f

：.FH=CF=2x,

：.GE=AP=lx,

：.BC=7x,

：・BD=4x,

BD4

【点评】本题考查等腰直角三角形，通过截长线段构造全等三角形，利用全等三角形的性质进行边角转

化是解题的关键.

14

三、解答题（本大题共11个小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

-1

17.（5分）计算：（/）-2一何+2s讥60。一|2—百

【分析】先把60。的正弦值代入，然后根据混合运算法则，先算乘方和开方，再算乘，最后算加减即可.

【解答】解：原式=4—3V3+2x-（2—V3）

=4-3V3+V3-2+V3

=4-2+V3+V3-3V3

—2—V3

【点评】本题主要考查了实数的有关运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幕的性质、特殊角的三角函

数值和绝对值的性质.

x—3（%—2）>4

18.（6分）解不等式组：2x-1%+1-

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.

（x—3（刀-2）>4①

【解答】解：2x.lx+lo，

解不等式①得：x<l,

解不等式②得：烂5,

...不等式组解集为x<l.

【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解

集是解此题的关键.

19.（6分）先化简，再求值：一冬”史争苧纥其中尸-2,尸卷

x+yx乙—y乙L

【分析】原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把

X与y的值代入计算即可求出值.

原式"号隹第二一寻■忐

【解答】解:

当％=-2,尸4时，原式=春.

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20.（6分）如图，四边形45CQ中，对角线ZC、BD交于点、0,AB=AC,点、E是BD上一点,且

=/ACD,ZEAD=ZBAC.

15

（1）求证：AE=AD；

（2）若乙4cB=65°,求N3DC的度数.

【分析】（1）证明（ASA）,可得出结论；

（2）由三角形内角和可求出答案.

【解答】证明：（1）VZBAC=ZEAD

：.ZBAC-/EAC=ZEAD-ZEAC

即：ZBAE=ZCAD

在A4BE和△/CO中

'/.ABD=Z.ACD

AB=AC,

./.BAE=4CAD

:.AABE/4ACD（ASA）,

：.AE=AD；

（2）解：VZACB=65°,AB=AC,

：.ZABC=ZACB=65°,

：.ZBAC=ISO°-/ABC-乙4cB=180°-65°-65°=50°,

ZABD=/ACD,ZAOB=ZCOD,

/BDC=/BAC=50°.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，根据全等三角

形的判定和性质是解题的关键.

21.（8分）某学校为了了解学生的睡眠情况，随机抽取了部分学生，对他们每天的睡眠时间进行了调查，

将睡眠时间分为五个小组，At6.5<t<l,B：7<f<7.5,C：7.5<?<8,D-.8<Z<8.5,E：8.5<f<9,其中，

f表示学生的睡眠时间（单位：h）,并将每天睡眠时长结果绘制成如下两幅不完整的扇形统计图和条形统

计图.

16

A学生(人数)

根据上述信息，回答下列问题：

(1)在本次随机抽取的样本中，调查的样本容量为100；

(2)m=20,n—25；

(3)补全条形统计图；

(4)如果该校共有学生1000人，请你估计“平均每天睡眠时间不少于8小时”的学生大约有多少人.

【分析】(1)从两个统计图可知，。组的学生人数是30人，占调查人数的30%,由频率叁即可求出

息数

调查人数，

(2)求出/组、8组的人数所占的百分比，进而确定沉、77的值；

(3)求出C组人数，即可补全条形统计图；

(4)求出样本中“平均每天睡眠时间不少于8小时”的学生所占的百分比，估计总体中“平均每天睡眠时

间不少于8小时”的学生所占的百分比，由频率=等进行计算即可.

总数

【解答】解：(1)调查人数为：30-30%=100(人)，

故答案为：100；

(2)20-100xl00%=20%,即加=20,

25-100xl00%=25%,即〃=25,

故答案为：20,25；

(3)样本中C组人数为：100-20-25-30-5=20(人)，

补全条形统计图如下：

17

A学生（人数）

（4）1000x^^=350（人），

答：该校共有学生1000人“平均每天睡眠时间不少于8小时”的学生大约有350人.

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数据之间的关系是正

确解答的前提，掌握频率=筌是正确解答的关键.

总数

22.（8分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1,2,3,4,这些小球除编号外都相同.

（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为_y_.

（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.求第2次摸到

的小球编号比第1次摸到的小球编号大2的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）

【分析】（1）直接利用概率公式求出即可；

（2）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小

球编号大1的结果，然后利用等可能事件的概率公式求出即可.

【解答】解：（1）,•一共有4个编号的小球，编号为2的有一个，

：.P（任意摸出1个球，这个球的编号是2）=1；

（2）画树状图如下：

一共有16个等可能的结果,其中第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2的情况出现了2次,

：.P（第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2）=^=1.

【点评】本题考查概率公式，列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能

18

事件的概率的方法是解题的关键.

23.（8分）某商场购进甲、乙两种商品共130个，这两种球的进价和售价如表所示:

甲商品乙商品

进价（元/个）80100

售价（元/个）90115

（、1）若该商场销售完甲、乙两种商品可获利1700元，求甲、乙两种商品分别需购进多少个？

（2）经调研，商场决定购进乙商品的数量不超过甲商品的1.5倍，求该商场购进甲商品多少个时，才能

使甲、乙两种商品全部销售完所获利润最大，最大利润为多少元？

【分析】（1）设甲种商品需购进x个，乙种商品需购进〉个，根据某商场购进甲、乙两种商品共130个,

销售完甲、乙两种商品可获利1700元，列出二元一次方程组，解方程组即可；

（2）设该商场购进甲商品m个，则购进乙商品（130-个，根据商场决定购进乙商品的数量不超过

甲商品的1.5倍，列出一元一次不等式，解得根之52,再设全部销售完所获利润为w元，由题意得出一次

函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论.

【解答】解：（1）设甲种商品需购进x个，乙种商品需购进y个，

由加注徨（x+y-130

田以思得：（（90-80）x+（115-100）y=1700'

解得：

答：甲种商品需购进50个，乙种商品需购进80个；

（2）设该商场购进甲商品"?个，则购进乙商品（130-m）个，

由题意得：130-m<1.5m,

解得：m>52,

设全部销售完所获利润为w元，

由题意得：w=（90-80）m+（115-100）（130-m）=-5加+1950,

V-5<0,

二卬随加的增大而减小，

当〃?=52时，w有最大值=-5x52+1950=1690,

答：该商场购进甲商品52个时，才能使甲、乙两种商品全部销售完所获利润最大，最大利润为1690元.

【点评】本题考查的二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键

是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一

19

次函数关系式.

24.（7分）“鸭翼”是指设计在飞机前部的水平翼，又称为前翼，因早期鸭式飞机的前翼很像鸭子的蹊而得

名，除了增加升力，它还有利于保持飞机的飞行稳定性和可控性.小慧在学习过锐角三角函数的相关知

识后，想利用所学知识制作出一个简易飞机模型.该模型的鸭翼部分如图所示，已知N3=35cm,CE=

30cm,且/D/B=45。，ZCBE=70°,请帮助小慧计算出CD的长度.（结果精确到0.1c%.参考数据：

sin70°=0.94.cos70°=0.34,tan70°=2.75)

【分析】过点。作垂足为R根据题意可得：DF=CE=30cm,EF=CD,然后分别在RtA4。尸

和Rt^CBE中，利用锐角三角函数的定义求出N尸和8E的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可

解答.

【解答】解：过点。作垂足为尸，

由题意得：DF=CE=3Qcm,EF=CD,

在RtZUD尸中，ZA=45°,

DF

•••/b==30(cm),

在RtACBE中，ZCBE=70°,

tan70°2.7511

20

''AB—35cm,

：.CD=EF=AB+BE-//=35+芫-30R5.9(cm),

CD的长度约为15.9cm.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的稳定性，根据题目的已知条件并结合图形添加适当

的辅助线是解题的关键.

25.(8分)如图，一次函数＞=如什6的图象与反比例函数丫=冬的图象相交于/、8两点，其中点/的坐

标为(-2,3),点5的横坐标为6.

(1)求这两个函数的表达式；

(2)根据图象，直接写出满足/qx+b-§＞0的x的取值范围；

(3)连接ON,。瓦点尸在直线N5上，S.S^A0P=^SAB0P,求点P的坐标.

【分析】(1)将点4坐标代入反比例函数解析式，可求反比例函数解析式，可求点3坐标，将点/、点

3坐标代入一次函数解析式，可求解；

(2)利用图象可直接求解；

(3)根据S&4OP=』SABOP，求得点P的横坐标，再根据一次函数解析式可得答案.

【解答】解：⑴•••一次函数尸任x+6的图象与反比例函数y=与的图象相交于/(-2,3),

・••左2=-2x3=-6,3=-2所+6①,

...反比例函数解析式为＞=一］,

•.•点8的横坐标为6,

・,•点5(6,-1),

-1=6左i+b②,

①-②得：Ai=-p

21

:・b=2,

二.一次函数解析式为)=一$+2；

(2)由图象可得：当x<-2或0<x<6时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即hx+6—*>0；

图1

S/^AOB=S^ACO+S^BCO=2x2x2+工x2x6=8,

SAAOC=2x2x2=2,

分两种情况：

①如图1,当。在线段ZB上时，

..1

•S^AOP=4s△80P，

・S1o882

••S^AOP=-g-X8=-g-,3APOC—2一5=引

12

•9--x2x|x|=中

zPJ

,_2

•*xp——百，

.,.点p的坐标为（-1,—

35

②如图2,当点P在线段9的延长线上时，

22

・・_1

,*e^/\AOP=4s△80P，

"小？=枭8=*SAPOC=2+*竽

114

x2x|诩=丁,

.竽,

1413

・,•点。的坐标为（一丁，—

综上所述，点尸的坐标为（一番斗或（一手，当.

。5153

【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象

的解析式是本题的关键.

26.（10分）已知N2为。。的直径，点。和点。为。。上的动点（两点在的异侧且都不与/、3重合）,

连接CD与交于点£,连接NC,BC.

图1图2

如图若屈=|兀，求的度数;

（1）1,45=10,NQC5

（2）如图2,在（1）的条件下，若BC=6,求。£的长度;

（3）如图2,若48=4,NDCB=60°,且对任意的点C,弦CD上都有一点尸满足3c=2。尸，连接

求线段2尸的最小值.

-r1

【分析】（1）连接。。，根据丽=5兀，求出/49D的度数，再求出乙4CD=/乙4。£>=45。，根据N/C8

=90。，求出结果即可；

（2）过点C作CGL/B于点G,根据勾股定理求出/C=8,根据三角函数求出5G=3.6,根据勾股定理

CGGEs

再求出CG=4.8,求出。G=1.4,证明△OOES^CGE,得出二；=3，求出0E=）根据勾股定理求

ODOE'

出最后结果即可；

（3）连接/£）,AF,DO,证明ZUD尸S/X/BC,得出//尸D=//CB=90。，从而得出点尸在以/。为直

23

径的圆上，设点M为/D的中点，连接交。M于点〃，当点尸在点X处时，3尸最小，过点M作

于点N,根据勾股定理及含30。直角三角形的性质，求出=即可求出结果.

【解答】解：（1）连接OD,如图所示：

：/8=10,

：.OA=OB=OD=5,

-5

"：AD=^n,

180°X(TT

/.ZAOD的度数为：——=90°,

57r

1

：.2LACD=^AOD=45°,

ZACB=90°,

：.NDCB=90。-45°=45°.

(2)过点。作CGL/5于点G,如图所示:

:.AC=-JAB2-BC2=8,

•/kor*_BC_BG

•9cosACBG=AB=BCf

•_6BG

••—，

106

解得：8G=3.6,

・・・CG=y]BC2-BG2=4.8,

24

/.0G=5-3.6=1.4,

ZAOD=90°f

：.ZDOE=180°-90°=90°,

CGL4B,

：.ZCGE=90°,

：.NDOE=NCGE,

•：/OED=NCEG,

：.△DOEs^CGE,

CGGE

•••_—,

ODOE

.48_1.4-OE

一OE9

解得：OE。,

：.DE=y/OD2+OE2=J52+得)2

(3)连接40,AF,DO,如图所示：

•:AB为直径，

・・・ZACB=90°,

•・•/DCB=60。,

・•・ZDCA=90°-60°=30°,

.・・ZAOD=2ZACD=60°,

U：AO=DO,

・・・△40。为等边三角形，

1

：.AD=AO=^AB=2,

,:BC=2DF,

25

#ADDF_1

"AB~BC

•：AC=AC,

：.ZADC=NABC,

即ZADF=/ABC,

：.△ADFsAABC,

：.ZAFD=ZACB=90°,

・・・点尸在以/。为直径的圆上，设点M为4。的中点，连接交。M于点凡当点方在点〃处时,

5尸最小，过点M作4g于点N,如图所示：

-----

・・•△40。为等边三角形，

：.ZOAD=60°f

ZANM=90°,

：.ZAMN=90°-60。=30。,

1

U：AM=j-AD=1,

：.AN=AM=^,

：.MN=y]AM2-AN2=曰，BN=AB-AN=4=31,

：.BM=yjBN2-MN2=V13,

\"MH=AM=1,

：.BH=V13-1,

尸的最小值为g—1.

【点评】本题主要考查了弧长计算公式，圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，三角形相

似的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角函数的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三

角形相似的判定，说明点尸的运动轨迹，找出使8尸取最小值时，点尸的位置.

26

27.(10分)如图，抛物线>=办2+8+。经过点4(-2,0),B(4,0),与夕轴正半轴交于点C,且OC

2OA,抛物线的顶点为D,对称轴交x轴于点E.直线y=mx+〃经过3,C两点.

(1)求抛物线及直线2C的函数表达式；

(2)直线f=日1>0)交线段3C于点“，若以点O,B,"为顶点的三角形与△N3C相似，求人的值；

(3)连接NC,若点尸是抛物线上对称轴右侧一点，点。是直线上一点，试探究是否存在以点£为

直角顶点的RtZiPEQ,且满足tan/EQP=tan/OC4.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理

由.

【分析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)先研究△/BC,可得出/3=6,5C=4V2,ZABC=45°t