2024届南京市重点中学中考三模数学试题含解析

2024届南京市重点中学中考三模数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列运算中，正确的是（）

A.（a3）2=a5B.（-x）2-rx=-x

D.(-2x2)3=-8x6

2.下列各运算中，计算正确的是（）

A.aJ/.B.(3/『=9/

22

C.(«+Z?)2=a+bD.2a-3a=6a2

3.通过观察下面每个图形中5个实数的关系，得出第四个图形中y的值是（）

5.已知抛物线丁=以2+（2-a）x-2（a>0）的图像与x轴交于人、B两点（点A在点3的右侧），与y轴交于点C.

给出下列结论：①当a>0的条件下，无论。取何值，点A是一个定点；②当a>0的条件下，无论。取何值，抛物线

的对称轴一定位于V轴的左侧；③V的最小值不大于-2；®^AB=AC,则a=/5.其中正确的结论有（）个.

2

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.点A为数轴上表示-2的动点，当点A沿数轴移动4个单位长到B时，点B所表示的实数是（）

A.1B.-6C.2或-6D.不同于以上答案

7.如图，在。O中，AE是直径,半径OC垂直于弦AB于D,连接BE,若AB=2j7,CD=1,则BE的长是（

)

A.5B.6C.7D.8

8.港珠澳大桥目前是全世界最长的跨海大桥，其主体工程“海中桥隧”全长35578米，数据35578用科学记数法表示为

（）

A.35.578x103B.3.5578xl04

C.3.5578x105D.0.35578xl05

9.如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（）

A.主视图B.俯视图C.左视图D.一样大

10.如图，经过测量，C地在A地北偏东46。方向上，同时C地在B地北偏西63。方向上，则NC的度数为（）

北

A.99°B.109°C.119°D.129°

3

11.若分式一7在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）

x+1

A.x>—1B.x<—1C.x——1D.X#—1

12.下面四个立体图形，从正面、左面、上面对空都不可能看到长方形的是（）

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的

点F处，那么cosNEFC的值是

14.把一张长方形纸条按如图所示折叠后，若NAO3，=70。，则/砂0G=

15.若圆锥的底面半径长为10,侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为.

16.一次函数丫=(k-3)x-k+2的图象经过第一、三、四象限.则k的取值范围是.

17.据国家旅游局数据中心综合测算，2018年春节全国共接待游客3.86亿人次，将“3.86亿”用科学计数法表示，可记

为.

18.因式分解〃3—6层+9。=.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)(1)计算：(a—b)2—a(a—2b)；

23

⑵解方程：一-=

x-3x

20.(6分)已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△0A5的顶点4、5的坐标分别是A(0,5),B(3,

1),过点3画AB交直线一-一二Y于点C,连结AC,以点A为圆心，AC为半径画弧交x轴负半轴于点。,

连结40、CD.

(1)求证：AABC也△AOZ>.

(2)设△AC。的面积为",求关于-的函数关系式.

(3)若四边形A3。恰有一组对边平行，求二的值.

21.（6分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，

通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0」元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降

价销售.若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；销

售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

22.（8分）校园手机现象已经受到社会的广泛关注.某校的一个兴趣小组对“是否赞成中学生带手机进校园”的问题在

该校校园内进行了随机调查.并将调查数据作出如下不完整的整理；

看法频数频率

赞成5

无所谓0.1

反对400.8

（1）本次调查共调查了人；（直接填空）请把整理的不完整图表补充完整；若该校有3000名学生，请您估计

该校持“反对”态度的学生人数.

23.（8分）徐州至北京的高铁里程约为700km,甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B

前往北京.已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/h,A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%,两车的行

驶时间分别为多少？

24.（10分）网瘾低龄化问题已经引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对12-35岁的网瘾人群进行了简

单的随机抽样调查，绘制出以下两幅统计图.

仝国1235才*4司・人爵分布*勃统计四全国12-35，的丹育人碑分布庙册41计图

请根据图中的信息，回答下列问题：

（1）这次抽样调查中共调查了—人；

（2）请补全条形统计图；

（3）扇形统计图中18-23岁部分的圆心角的度数是

（4）据报道，目前我国12-35岁网瘾人数约为2000万，请估计其中12-23岁的人数

25.（10分）某一天，水果经营户老张用1600元从水果批发市场批发猿猴桃和芒果共50千克，后再到水果市场去卖,

已知猿猴桃和芒果当天的批发价和零售价如表所示：

品名海猴桃芒果

批发价（元/千克）2040

零售价（元/千克）2650

（1）他购进的猿猴桃和芒果各多少千克？

（2）如果舜猴桃和芒果全部卖完，他能赚多少钱?

'x+l〉2①

26.（12分）解不等式组＜

3x-4<2(2)

请结合题意填空，完成本题的解答.

（1）解不等式①，得;

（2）解不等式②，得；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;

（4）原不等式组的解集为.

-10~1~2~3~~4~5~6^

27.(12分)有一个n位自然数帅cd...g〃能被xo整除，依次轮换个位数字得到的新数bed…g〃a能被xo+1整除，再

依次轮换个位数字得到的新数工能被xo+2整除，按此规律轮换后，d...ghabc能被xo+3整除，…，habc...g

能被xo+n-1整除，则称这个n位数abcd...gh是xo的一个“轮换数”.

例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；

再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2个一个“轮换数”.

(1)若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”.

(2)若三位自然数诙是3的一个“轮换数"，其中a=2,求这个三位自然数诙.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、D

【解析】

根据同底数塞的除法、乘法的运算方法，塞的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的方法，逐项判定即

可.

【详解】

(a3)2=a6,

二选项A不符合题意；

*.*(-X)2+X=X,

二选项B不符合题意；

Va3(-a)2=a$,

二选项C不符合题意；

V(-2x2)3=8x6,

二选项D符合题意.

故选D.

【点睛】

此题主要考查了同底数嘉的除法、乘法的运算方法，募的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的方法，

要熟练掌握.

2、D

【解析】

利用同底数塞的除法法则、同底数塞的乘法法则、塞的乘方法则以及完全平方公式即可判断.

【详解】

A、。口+/=/，。4,该选项错误；

B、(3/)3=27/H9a6,该选项错误；

C、(a+Z?)2=a~+2ab+b2cr+b2,该选项错误；

D、2a-3a=6a2,该选项正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查了同底数幕的乘法、除法法则，幕的乘方法则以及完全平方公式，正确理解法则是关键.

3、D

【解析】

根据前三个图形中数字之间的关系找出运算规律，再代入数据即可求出第四个图形中的y值.

【详解】

V2x5-lx(-2)=1,1x8-(-3)x4=20,4x(-7)-5x(-3)=-13,Aj=0x3-6x(-2)

故选D.

【点睛】

本题考查了规律型中数字的变化类，根据图形中数与数之间的关系找出运算规律是解题的关键.

4、A

【解析】

找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可.

【详解】

解：A、球的三视图完全相同，都是圆，正确；

B、圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，错误；

C、圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；

D、四棱锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；

故选A.

【点睛】

考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体.

5、C

【解析】

①利用抛物线两点式方程进行判断；

②根据根的判别式来确定a的取值范围，然后根据对称轴方程进行计算；

③利用顶点坐标公式进行解答；

④利用两点间的距离公式进行解答.

【详解】

①y=axl+(1-a)x-l=(x-1)(ax+1).则该抛物线恒过点A(1,0).故①正确；

②•.•y=ax4(1-a)x-1(a>0)的图象与x轴有1个交点，

(1-a)48a=(a+1)*>0,

Aa^-l.

.••该抛物线的对称轴为：x=^=1--,无法判定的正负.

2a2a

故②不一定正确；

③根据抛物线与y轴交于(0,-1)可知，y的最小值不大于-1,故③正确；

2

@VA(1,0),B0),C(0,-1),

a

：.当AB=AC时，J(1+-)2=Jl2+(-2)2,

Va

解得：a=55,故④正确.

2

综上所述，正确的结论有3个.

故选C.

【点睛】

b

考查了二次函数与X轴的交点及其性质.(1).抛物线是轴对称图形.对称轴为直线x=-2，对称轴与抛物线唯一的

2a

交点为抛物线的顶点P;特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)；(1).抛物线有一个顶点P,坐标

b

为P(-b/la,(4ac-bl)/4a),当--=0,(即b=0)时，P在y轴上；当A=bL4ac=0时，P在x轴上；(3).二次项系

2cl

数a决定抛物线的开口方向和大小；当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；|a|越大，则抛物线的

开口越小.(4).一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右；(5).常数项c决定抛物线与y轴交点；抛物线与y轴交于(0,c)；(6).

抛物线与x轴交点个数

A=bl-4ac>0时，抛物线与x轴有1个交点；A=bL4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；

A=bl-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.X的取值是虚数(x=-b±4bl-4ac乘上虚数i,整个式子除以la)；当a>0

时，函数在x=-b/la处取得最小值f(-b/la)=(4ac-bl)/4a；在｛x[x<-b/la｝上是减函数，在｛x[x>-b/la｝上是增函数；抛物

线的开口向上；函数的值域是｛y|yN4ac-bl/4a｝相反不变；当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，

解析式变形为y=axl+c(a/O).

6、C

【解析】

解：•••点A为数轴上的表示-1的动点，①当点A沿数轴向左移动4个单位长度时，点5所表示的有理数为-1-4=6；

②当点A沿数轴向右移动4个单位长度时，点B所表示的有理数为-1+4=1.

故选C.

点睛：注意数的大小变化和平移之间的规律：左减右加.与点A的距离为4个单位长度的点3有两个，一个向左，一

个向右.

7^B

【解析】

根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径，根据三角形中位线定理计算即可.

【详解】

解：•.•半径OC垂直于弦AB,

:.AD=DB=—AB=S

2

在R3AOD中，OA2=(OC・CD)2+AD2,即OA2=(OAl)2+(a产，

解得，OA=4

.\OD=OC-CD=3,

VAO=OE,AD=DB,

/.BE=2OD=6

故选B

【点睛】

本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键

8、B

【解析】

科学计数法是ax10"，且14同<10,n为原数的整数位数减一.

【详解】

解：35578=3.5578x1()4,

故选B.

【点睛】

本题主要考查的是利用科学计数法表示较大的数，属于基础题型.理解科学计数法的表示方法是解题的关键.

9、C

【解析】

如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成，

左视图是由3个小正方形组成，

俯视图是由5个小正方形组成，

故三种视图面积最小的是左视图，

【解析】

方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90。的角，根据平行线的性质求得/ACF与NBCF的度数,NACF

与尸的和即为NC的度数.

【详解】

解：由题意作图如下

ZDAC=46°,ZCBE=63°,

由平行线的性质可得

ZACF=ZDAC^46°,ZBCF=ZCBE=63°,

:.ZACB=ZACF+ZBCF=46°+63o=109°,

故选5.

【点睛】

本题考查了方位角和平行线的性质，熟练掌握方位角的概念和平行线的性质是解题的关键.

11、D

【解析】

根据分式有意义的条件即可求出答案.

【详解】

解：由分式有意义的条件可知：x+lwO,

r.x#—1>

故选：D.

【点睛】

本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型.

12、B

【解析】

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形依此找到从正面、左面、上面观察都不可

能看到长方形的图形.

【详解】

解：A、主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为有对角线的矩形，故本选项错误；

B、主视图为等腰三角形，左视图为等腰三角形，俯视图为圆，从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形，故本

选项正确；

C、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为圆，故本选项错误；

D、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为长方形，故本选项错误.

故选：B.

【点睛】

本题重点考查三视图的定义以及考查学生的空间想象能力.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、己.

【解析】

试题分析：根据翻转变换的性质得到/AFE=ND=90。，AF=AD=5,根据矩形的性质得到NEFC=NBAF,根据余弦的

概念计算即可.

由翻转变换的性质可知，ZAFE=ZD=90°,AF=AD=5,

，NEFC+NAFB=90。，VZB=90°,

343

NBAF+NAFB=90°,:.ZEFC=ZBAF,cosZBAF=三=二，

BF5

•,.cosZEFC=；,故答案为：匚

>>

考点：轴对称的性质，矩形的性质，余弦的概念.

14、55°

【解析】

由翻折性质得，NBOG=NB，OG,根据邻补角定义可得.

【详解】

解：由翻折性质得，NBOG=NB9G,

ZAOB,+ZBOG+ZB,OG=180°,

/.ZBfOG=-(180°-ZAOB0=-(180°-70°)=55°.

22

故答案为55°.

【点睛】

考核知识点：补角，折叠.

15、2

【解析】

侧面展开后得到一个半圆，半圆的弧长就是底面圆的周长.依此列出方程即可.

【详解】

设母线长为x,根据题意得

27rx^-2=27rx5,

解得X=l.

故答案为2.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，解题的关键是明白侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长，难度不大.

16、k>3

【解析】

%—3>0

分析：根据函数图象所经过的象限列出不等式组,.八通过解该不等式组可以求得左的取值范围.

-k+2<0,

详解：•••一次函教户(-3)xi+2的图象经过第一、三、四象限，

%—3＞0

*

\-k+2＜0,

解得，《＞3.

故答案是：k＞3.

点睛:此题主要考查了一次函数图象，一次函数y=疆+〃的图象有四种情况：

①当上＞0切＞0时，函数丫=履+6的图象经过第一、二、三象限；

②当左＞0”＜0时，函数＞=丘+6的图象经过第一、三、四象限；

③当％＜08＞0时，函数＞=履+6的图象经过第一、二、四象限；

④当上＜0力＜0时，函数＞=丘+匕的图象经过第二、三、四象限.

17、3.86x108

【解析】

根据科学记数法的表示(axlOl其中lW|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少

位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值21时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数)形式

可得：

3.86亿=386000000=3.86x108.

故答案是：3.86X108.

18、a(a-3)2

【解析】

根据因式分解的方法与步骤，先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可.

【详解】

解：a,—6a~+9a

=a(cr-6。+9)

=«(a-3)2

故答案为：a(a-3).

【点睛】

本题考查因式分解的方法与步骤，熟练掌握方法与步骤是解答关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)b2(2)1

【解析】

分析：(1)、根据完全平方公式以及多项式的乘法计算法则将括号去掉，然后进行合并同类项即可得出答案；(2)、收下

进行去分母，将其转化为整式方程，从而得出方程的解，最后需要进行验根.

详解：(1)解：原式2曲+加一d+2曲—b2；

⑵解：2%=3(%-3),解得：x—1,

经检验x=l为原方程的根，所以原方程的解为x=L

点睛：本题主要考查的是多项式的乘法以及解分式方程，属于基础题型.理解计算法则是解题的关键.分式方程最后

必须要进行验根.

20、(1)证明详见解析；(2)S=；(m+1)2+二(m>)；(2)2或1.

【解析】

试题分析：(1)利用两点间的距离公式计算出AB=5,则AB=OA,则可根据“HL”证明△ABC^^AOD；

(2)过点B作直线BE,直线y=-m于E,作AF1BE于F,如图，证明RtAABF^RtABCE,利用相似比可得BC=-

(m+1),再在RtAACB中，由勾股定理得AC2=AB?+BC2=25+孩(m+1)2,然后证明△AOBs^ACD,利用相似的

性质得2Z•>而SAAOB-S于是可得S=](m+1)2+^(m>-)；

14二二:口□<9<•

(2)作BH_Ly轴于H,如图，分类讨论：当AB〃CD时，贝!|NACD=NCAB,由AAOBs/\ACD得NACD=NAOB,

所以NCAB=NAOB,利用三角函数得到tanNAOB=2,tanZACB=ee=:A，所以二=2；当AD〃BC,贝！|N5=NACB,

--•

由AAOBs^ACD得到N4=N5,则NACB=N4,根据三角函数定义得到tanN4=：tanNACB=-=,则1=；,

然后分别解关于m的方程即可得到m的值.

试题解析：(1)证明：；A(0,5),B(2,1),

AB==5,

\v

AAB=OA,

VAB±BC,

.\ZABC=90o,

在RtAABC和RtAAOD中，

/.RtAABCRtAAOD；

(2)解：过点B作直线BE，直线y=-m于E,作AF^BE于F,如图，；Nl+N2=90°,Nl+N2=90。,

Z2=Z2,

/.RtAABFsRtABCE,

/.BC=7(m+l),

在RtAACB中，AC2=AB2+BC2=25+-(m+1)2,

VAABC^AAOD,

/.ZBAC=ZOAD,即N4+NOAC=NOAC+N5,

.\Z4=Z5,

而AO=AB,AD=AC,

/.△AOB^AACD,

IfoSAAOB="IX5X2=「，

・#

/.S=5(m+1)2+—(m>-)；

(2)作BH，y轴于H,如图，

当AB〃CD时，贝！|NACD=NCAB,

MAAOB^AACD,

.*.ZACD=ZAOB,

AZCAB=ZAOB,

而tanZAOB==2,tanZACB=^=»—^—=^-

=2>解得m=l；

当AD〃BC,则N5=NACB,

WAAOB^AACD,

/.Z4=Z5,

，ZACB=Z4,

而tanN4=j£=tanNACBW5=,

解得m=2.

21、(1)100+200x；(2)1.

【解析】

试题分析：（1）销售量=原来销售量-下降销售量，列式即可得到结论;

（2）根据销售量x每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论.

Y

试题解析：（1）将这种水果每斤的售价降低X元，则每天的销售量是100+而x20=100+200x斤;

(2)根据题意得：(4-2-x)(100+200%)=300,解得：x=工或x=L1•每天至少售出260斤，，100+200x2260,

2

/.x>0.8,.\x=l.

答：张阿姨需将每斤的售价降低1元.

考点：L一元二次方程的应用；2.销售问题；3.综合题.

22、(1)50；(2)见解析；(3)2400.

【解析】

(1)用反对的频数除以反对的频率得到调查的总人数；

(2)求无所谓的人数和赞成的频率即可把整理的不完整图表补充完整;

(3)根据题意列式计算即可.

【详解】

解：(1)观察统计表知道：反对的频数为40,频率为0.8,

故调查的人数为：40+0.8=50人；

故答案为：50；

(2)无所谓的频数为：50-5-40=5人,

赞成的频率为：1-0.1-0.8=01；

看法频数频率

赞成50.1

无所谓50.1

反对400.8

答：该校持“反对”态度的学生人数是2400人.

【点睛】

本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计

图能清楚地表示出每个项目的数据.

23、A车行驶的时间为3.1小时，B车行驶的时间为2.1小时.

【解析】

设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为14小时，根据题意得：--鲁诙，解分式方程即可，注意

验根.

【详解】

解：设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为1.4t小时,

700700

根据题显得：--------=80,

t1.4/

解得：t=2.L

经检验，t=2.1是原分式方程的解，且符合题意,

/.1.4t=3.1.

答：A车行驶的时间为3.1小时，B车行驶的时间为2.1小时.

【点睛】

本题考核知识点：列分式方程解应用题.解题关键点：根据题意找出数量关系，列出方程.

24、(1)1500；(2)见解析；(3)108°；(3)12〜23岁的人数为400万

【解析】

试题分析：(1)根据30-35岁的人数和所占的百分比求调查的人数；

(2)从调查的总人数中减去已知的三组的人数，即可得到12-17岁的人数，据此补全条形统计图;

(3)先计算18-23岁的人数占调查总人数的百分比，再计算这一组所对应的圆心角的度数；

(4)先计算调查中12-23岁的人数所占的百分比，再求网瘾人数约为2000万中的12-23岁的人数.

试题解析：解：(1)结合条形统计图和扇形统计图可知，30-35岁的人数为330人，所占的百分比为22%,所以调查

的总人数为330+22%=1500人.

故答案为1500；

(2)1500-450-420-330=300人.

补'•全的条形统2计图如图:

O11注4.11除里.

450

(3)18-23岁这一组所对应的圆心角的度数为360x^^=108°.

故答案为108。；

(4)(300+450)+1500=50%,2：;lj.沏。・1000万人.

考点：条形统计图；扇形统计图.

25、(1)购进猿猴桃20千克，购进芒果30千克；(2)能赚420元钱.

【解析】

(1)设购进猿猴桃x千克，购进芒果y千克，由总价=单价x数量结合老张用1600元从水果批发市场批发猫猴桃和芒

果共50千克，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)根据利润=销售收入-成本，即可求出结论.

【详解】

(1)设购进獗猴桃x