2024年中考数学高频考点提分训练：二次函数的线段周长问题 初三数学

2024年中考数学高频考点提分训练:

二次函数的线段周长问题

1.如图，已知抛物线，=加+云-2的图象与x轴交于点A(-2,0)和点3(1,0),与y轴交于

(1)求抛物线的解析式；

⑵点M在直线AC下方的抛物线上，过点M作MN〃3C,交AC于点N,求MN的最大值,

并写出此时点M■的坐标；

⑶点P是.ABC的外心，点。在抛物线上，且位于y轴左侧，若NQBC=NPAB,求点。

的坐标.

2.综合与探究

如图1,抛物线>=-必+桁+。与无轴交于AB两点(点A在点8的左侧)，其中A(T0),2(3,0),

与y轴相交于点C,抛物线的对称轴与无轴交于点E.点P是抛物线上的一个动点.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1,P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接CE,过点尸作小，直线CE于点

F,求「产的最大值；

(3)如图2,连接AC,8C,P8,抛物线上是否存在点P,ZCBP+ZACO=ZABC?若存

在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

3.已知抛物线与x轴相交于A,B两点，与y轴相交于点C(0,6),顶点为。(2,8).

(1)求此抛物线的解析式;

⑵如图1,点P为抛物线对称轴（直线/）上的动点，求当|依-尸。取得最小值时点P的坐

标；

（3）如图2,在第一象限内，抛物线上有一动点求一3cM面积的最大值.

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4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=］炉-'X-2的图象交X轴于点A,B（点A

在点8的左侧），与y轴交于点C,函数图象的顶点为点£>.

⑴求点2,。的坐标，并根据该函数图象写出当x>0时y的取值范围；

（2）将点C向上平移相（根〉0）个单位到点G,过点G作x轴的平行线，与二次函数的图象

交于点E,F,若FG=2EG,求m的值.

5.如图，对称轴为x=-l的抛物线>=内2+云+。(。30)与x轴相交于A,8两点，其中

点A的坐标为(-3,0).

⑴求点8的坐标；

⑵已知。=1,c为抛物线与y轴的交点；

①若点P在抛物线上，且SPG=4SB℃，求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作。轴交抛物线于点£>,求线段QD长度的最大值.

6.如图1,二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C.若

tanZABC=3,一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为-8、2.

(1)求二次函数的解析式；

(2)直线1绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，I与线段BC交于点D,

P是AD的中点.

①求点P的运动路程；

②如图2,过点D作DE垂直x轴于点E,作DFLAC所在直线于点F,连结PE、PF,在1

运动过程中，NEPF的大小是否改变？请说明理由；

(3)在(2)的条件下，连结EF,求APEF周长的最小值.

7.如图1,抛物线y=ax?+bx+5的图象过A(-1,0),B(5,0)两点，与y轴交于点C,作

直线BC,动点P从点C出发，以每秒忘个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间

为t秒，当点P与点B重合时停止运动.

⑴求抛物线的表达式；

⑵如图2,当t=l时，若点Q是X轴上的一个动点，如果以Q,P,B为顶点的三角形与

△ABC相似，求出Q点的坐标；

(3)如图3,过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点.

①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；

②连接BF,将△PBF沿BF折叠得到△P，BF,当t为何值时，四边形PFP，B是菱形？

8.如图，抛物线M过点石(-2,3),与x轴交于点A和点8(点A在点8左侧)，与y轴交于

点、C,顶点D的坐标为(-1,4).

⑴求抛物线M的表达式和点A的坐标；

⑵点尸是线段AC上一动点，求1)所周长的最小值；

(3)平移抛物线M得到抛物线N,已知抛物线N过点。，顶点为P,其对称轴与抛物线M交

于点。若NP£>Q=4ZDP。，直接写出点P的坐标.

9.如图，抛物线y=-；x2+fex+c与x轴相交于点4(4,0),与y轴相交于点3(0,2).

⑴求抛物线的表达式.

⑵D为线段AB上一点(不与点A,3重合)，过点。作DELx轴于点E,交抛物线于点

若DE=DF,求点。的坐标.

(3)P是第四象限内抛物线上一点，己知NP54=NA4O,则点P的坐标为

3

10.已知抛物线y=3(无+4)(x-6)与X轴交于A,8两点(点A在点B左侧)，与，轴交于

O

点C.

⑴求A民C三点的坐标.

(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点使得4c的周长最小？若存在，求出点M的

坐标；若不存在，请说明理由.

11.如图，抛物线y=o%2+2x+c与x轴交于AB两点，于，轴交于C点，连接8C,已知

A(1,O),B(-3,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是线段上一动点，过点P作PD，x轴，交抛物线于点D,求尸。的长的最大

值；

(3)若点E是＞轴上一点，以及瓦C为顶点的三角形是腰三角形，求点E的坐标.

12.已知抛物线丁=依2+区一3(。>0)交无轴于4(-/,。)、3(3,0),交y轴于C,点是

第四象限内抛物线上的一个动点.

(1)求a,b的值；

⑵若点N(〃J)在该抛物线上，且〃<〃，，MN=2k,求利2+协_3&+2023的值.

13.在平面直角坐标系xOy中，抛物线一加+法+c与x轴交于点A[一|,o],«|，。

与y轴交于点C,对称轴直线/与X轴交于点“连接BC,8,△58的面积为9

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,点E为抛物线上的一个动点，点E的横坐标为机1-1■(加过点E作直线

EFLx轴交直线AC于点尸，届，/于点6,当EF=2EG时，求加的值；

2

(3)抛物线y=ax+bx+c^yx=中2+3+《关于y轴对称，若点尸是抛物线

%=q尤2+4尤+q上一点，点。在直线/上，点N在坐标平面内，当四边形BQPN是正方形

时，请求出点尸的横坐标.

14.如图1,在平面直角坐标系xOy中，点B(-2,2),过反比例函数y='(x<0,常数

X

X

直接写出你发现的PB,PD的数量关系二

应用：①如图2,连接BD,当APBD是等边三角形时，求此时点P的坐标；

②如图3,分别过点P、D作y的垂线交y轴于点E、F,问是否存在点P,使得矩形PEFD

的周长取得最小值？若存在，请求出此时点P的坐标及矩形PEFD的周长；若不存在，请说

明理由.

15.如图，在平面直角坐标系中，二次