24.1 圆的有关性质(提升训练)(原卷版)

24.1圆的有关性质【提升训练】一、单选题1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（）

A．1米 B．米 C．2米 D．米2．如图，为圆O的直径，且AB=8，C为圆上任意一点，连接、，以为边作等边三角形，以为边作正方形，连接．若为a，为b，为c，则下列关系式成立的是（）A． B． C． D．3．在《几何原本》中，记载了一种将长方形化为等面积正方形的方法：如图，延长长方形的边到E，使，以为直径作，延长交于点H，则，则以为边的正方形的面积等于长方形的面积．若，点E是中点，则的长为（）A．2 B．3 C．4 D．54．如图，与是的两条互相垂直的弦，交点为点，，点在圆上，则的度数为（）A． B． C． D．5．下列命题是真命题的是（）A．同弧所对的圆心角相等B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．二次函数的图象与坐标轴有两个交点D．若，则6．如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与相交于点，则的长为（）A．2 B． C．3 D．7．如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（）A． B． C．1 D．28．如图，、是上的两点，，交于点，则等于（）A． B． C． D．9．如图，点，，，都在⊙O上，且，AB=AD，S四边形ABCD=（）

A． B． C． D．610．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（）A． B． C． D．11．如图，等腰中，顶角，用尺规按①到④的步骤操作：①以为圆心，为半径画圆；②在上任取一点（不与点，重合），连接；③作的垂直平分线与交于，；④作的垂直平分线与交于，．结论Ⅰ：顺次连接，，，四点必能得到矩形；结论Ⅱ：上只有唯一的点，使得．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对12．如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（）A．10 B．8 C．6 D．413．如图，为的直径，以为斜边作等腰，连接交于点．若．则的长为（）A． B． C． D．14．如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（）A． B．C． D．15．如图，在中，是直径，是上的两个点，．若，则的度数为（）．A．40° B．50° C．60° D．65°16．如图，是⊙的直径，是⊙上两点，若，则的度数是（）A． B． C． D．17．如图，在中，点是边和的垂直平分线、的交点，若，则的大小为（）A． B． C． D．18．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：①；②；③；④点运动的路程是，其中正确结论的序号为（）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④19．如图，AB为的直径，点C为AB上一点，点D在上，AD=AC，，连接DC并延长交于点E，连接OE，若∠BAD=30°，则∠COE的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°20．已知是半径为1的的一条弦，且，以为一边在内作等边三角形，D为上不同于点A的一点，且，的延长线交于点E，则的长为（）

A． B．1 C． D．a21．如图，点A、B、C、D均在上，是的直径，连接，若，则的度数是（）A． B． C． D．22．如图，的直径为26，弦的长为24，且，垂足为，则的长为（）A．25 B．8 C．5 D．1323．如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（）A．42° B．46° C．50° D．54°24．如图，是⊙的直径，，是⊙的弦，点E是的中点，与交于点C，连接，若，则的度数是（）A． B． C． D．25．如图，已知，为上一点，以为半径的圆经过点，且与、交于点、，设，，则（）A．若，则弧的度数为B．若，则弧的度数为C．若，则弧的度数为D．若，则弧的度数为26．内接于圆，延长到D，点E在上，连接，，如图所示．图中等于与之差的角是（）

A． B． C． D．27．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．35°28．如图，为的直径，是的弦，，则的度数为（）

A． B． C． D．29．如图，点，，在上，，，则的度数为（）A． B． C． D．30．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，下列结论错误的是（）A．AC＝OD B．BC＝BDC．∠AOD=∠CBD D．∠ABC=∠ODB二、填空题31．如图，的直径为6，，都是的半径，，点P在直径上移动，则的最小值为______．

32．如图，在中，，则的度数是______°．

33．如图，已知是的直径，且，弦，点是弧上的点，连接、，若，则的长为______．

34．如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为________．35．图1是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了图2的机械设备，磨盘半径，把手，点O，M，Q成一直线，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动并带动磨盘绕点O转动，．（1）点P与点O之间距离的取值范围是_______．（2）若磨盘转动500周，则点P在轨道上滑动的路径长为__________m．三、解答题36．如图，四边形内接于，延长、相交于点，且．

（1）如图1，求证：；（2）如图2，点为弧上一点，连接、、，若，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，过点作，垂足为，若，，，求的长．37．如图，已知AB是O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=10cm，求△ACD的周长．38．如图，已知在⊙O中，，OC与AD相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．

39．已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．（1）求证：；（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．40．如图，四边形是边长为4的正方形，点G是边上的任意一点，于点E，点与点B关于直线对称，交于点F．连接．（1）求证：；（2）若四边形是平行四边形，求四边形与正方形的面积之比；（3）直接写出的最小值．41．如图①，在⊙O中，弦CD垂直直径AB于点E．已知AC＝4，BD=.（1）求直径AB的长．（2）小慧说“若将题目条件中的‘直径AB’改为‘弦AB’，其余条件均不变（如图②），⊙O的直径仍不变”，你觉得小慧的说法正确吗？请说明理由．42．如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为弧BC的中点，过D作DF⊥AB于点E，交圆O于点F，交弦BC于点G，连接CD、BF（1）求证：△BFG≌△DCG；（2）若AC＝10，BE＝8，求BF的长43．如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：．44．如图，是的直径，点，在上，且，连接，交于点，连接，，．（1）若，求的度数；（2）用尺规作图作出的角平分线交于点（保留作图痕迹），并求证：．45．如图，为的直径，是上的一点，连接，．是的中点，过作于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．46．如图，AB是的直径，弦于点E，连结BD，CO的延长线交于点F，AF，CD的延长线交于点G．（1）求证：．（2）若，求的半径．47．已知：如图，是的直径，，过点D作，交延长线于点E．（1）求证：四边形是菱形．（2）连结，若半径为5，，求的长．48．如图，Rt△ABO中，∠ABO＝90°，AB＝4，BO＝2．以AB为边作正方形ABCD．点M是边BC上一动点，连接AM，过O作AM的垂线，垂足为N，连接CN．则线段CN的最小值是__．49．如图，AB，AC是的弦，过点C作于点D，交于点E，过点B作于点F，交CE于点G，连结BE．（1）求证：（2）过点B作交于点H，若BE的长等于半径，，求CE的长．50．如图，四边形内接于，是上一点，且，连接并延长交的延长于点，连接．（1）若，，求的度数；（2）若的半径为4，且，求的长．51．已知是的直径，是的弦，连接．（1）如图1，连接，．若，求及的大小；（2）如图2，过点C作的垂线，交的延长线于点E，连接．若，，求的大小．52．如图，⊙是的外接圆，且，四边形是平行四边形，边与⊙交于点，连接．0（1）求证：；（2）若，求证：点是的中点．53．如图，在中，，，，点为边上的一个动点，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接、．（1）当时，求的长；（2）求证：；（3）是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在，求出此时的长；若不存在，试说明理由．54．如图，在中，分别平分和．延长交的外接圆于点C，连接．（1）若，求的度数．（2）求证：．55．已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB＝CD．（1）如图1，连接AD．求证：AM＝DM．（2）如图2，若AB⊥CD，在弧BD上取一点E，使弧BE＝弧BC，AE交CD于点F，连接AD、DE．①判断∠E与∠DFE是否相等，并说明理由．②若DE＝7，AM＋MF＝17，求△ADF的面积．56．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．57．小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点是弧上一动点，线段点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度．

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点在弧上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值．BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.10FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0操作中发现：①当点为弧的中点时，．则上中的值是；②线段的长度无需测量即可得到．请简要说明理由；（2）将线段的长度作为自变量和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值．(结果保留一位小数)．

58．已知：内接于，，于点，连接．（1）如图，求证：；（2）如图，延长交于点，连接，若，求证：；（3）如图，在（2）的条件下，若，，求线段的长．59．问题提出（1）如图①，在中，，于点，若，求的最大值；问题探究（2）如图②，在四边形中，．连接，求面积的最大值．问题解决（3）如图③，某市效区点外有一棵古树，点外是某市古树名木保护研究中心，且，为加强对该古树的检测和保护，拟在距古树处设置三个观测点，以形成保护区域四边形．则是否存在一个满足以上要求的面积最大的四边形？若存在，求出满足条