湖南省师范大学附属中学2025届高三数学下学期5月模拟考试试题文含解析

PAGE28-湖南省师范高校附属中学2025届高三数学下学期5月模拟考试试题文（含解析）本试卷共6页，满分150分，考试用时120分钟.留意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先留意到集合A与集合B均为点集，联立，解得方程组的解，从而得到结果.【详解】首先留意到集合A与集合B均为点集，联立，解得，或，从而集合，故选C.【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二元方程组的解法，属于基础题.2.已知=（为虚数单位），则复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由，得，故选D.考点：复数的运算.3.现有甲、乙、丙、丁四人参与数学竞赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】【分析】结合题意分类探讨甲乙丙丁获奖的状况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.【详解】结合题意分类探讨：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话人为：甲乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙.故选B.【点睛】本题主要考查数学推理方法，分类探讨的数学思想，属于中等题.4.已知直线表示不同的直线，则的充要条件是（）A.存在平面，使B.存在平面，使C.存在直线，使D.存在直线，使与直线所成角都是【答案】B【解析】【分析】依据充要条件的定义，逐项推断是否能推出选项成立，和选项是否能得出成立，即可得出结果.【详解】A选项，存在平面，使；反之，与可以平行、相交或者异面.故A错误.B选项，存在平面，使；反之，也成立.故B正确.C选项，存在直线，使；反之，与可以平行、相交或者异面.故C错误.D选项，存在直线，使与直线所成角都是；反之，与可以平行、相交或者异面.故D错误.故选：B【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面的位置关系，充要条件等基本学问，考查了空间想象实力和逻辑推理实力，属于一般题目.5.函数，的图象大致是A. B.C. D.【答案】D【解析】∵函数f（x）=2x﹣4sinx，∴f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）=2x﹣4sinx的图象关于原点对称，解除AB，函数f′（x）=2﹣4cosx，由f′（x）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），所以x=±时函数取极值，解除C，故选D．点睛：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．6.某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体体积是（）A.4 B. C. D.2【答案】B【解析】【详解】如图所示，在棱长为2的正方体中，三视图表示图中的棱锥，其中C点为中点，该几何体的体积为：.本题选择B选项.7.“割圆术”是我国古代计算圆周率的一种方法.在公元年左右，由魏晋时期的数学家刘徽独创.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步靠近圆的面积，进而求.当时刘微就是利用这种方法，把的近似值计算到和之间，这是当时世界上对圆周率的计算最精确的数据.这种方法的珍贵之处就是利用已知的、可求的来靠近未知的、要求的，用有限的来靠近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不行割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演化为现在的微积分.依据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率，则的近似值是（）（精确到）（参考数据）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析】假设圆的半径为，依据以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形，顶角为，计算正二十四边形的面积，然后计算圆的面积，可得结果.【详解】设圆的半径为，以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形且顶角为所以正二十四边形的面积为所以故选：C【点睛】本题考查分割法的运用，考验计算实力与想象实力，属基础题.8.关于函数有下述三个结论：①函数的图象既不关于原点对称，也不关于轴对称；②函数的最小正周期为；③，.其中正确结论的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】依据偶函数的定义可得为偶函数,故①错误;依据对随意的都成立,知②正确;在一个周期内任取一个,都有,可知③错误.详解】依题意，，故函数的图象关于轴对称，故①错误；因为故是函数的一个周期，且当时，故②正确，③错误.故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质,属中档题.9.设,且,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把题设中的两个等式移项后平方再相加，则有，再依据及可得的大小.【详解】因为，故，，同理，所以即.因为，故，，依据得到，因，故，故，故选B.【点睛】三角函数的求值问题，须要视察给定的三角函数式的结构形式，再依据已有的公式的结构特点对原有的三角函数式变形化简.知道角的三角函数值，应当依据题设条件去挖掘隐含的角与角的大小关系，从而可对所得结果进行取舍.10.已知椭圆,作倾斜角为的直线交椭圆于两点,线段的中点为为坐标原点与的夹角为,且，则()A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：设，利用“点差法”可得，设直线的倾斜角为，则或，又，由，从而可得结果.详解：设，则，两式作差得，，即，设直线的倾斜角为，则或，又，由，解得，即，故选B.点睛：本题考查椭圆的性质，点差法和运算求解实力.对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.11.在四面体中，，，底面，为的重心，且直线与平面所成的角是30°，若该四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】四面体与球的位置关系如图所示，设为的中点，为外接圆的圆心.由条件可得，又直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角即，求出球的半径，即可得答案；【详解】四面体与球的位置关系如图所示，设为的中点，为外接圆的圆心.由条件可得，又直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角即.则由，∴.由，所以在四边形中，，，，.所以，所以球的表面积为.故选：D.【点睛】本题考查四面体与球的切接问题、球的表面积，考查空间想象实力、运算求解实力.12.已知函数（，）在区间内有唯一零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数在区间内有唯一零点，依据零点存在性定理即函数单调性可得或化简可得关于的约束条件，利用线性规划求解即可.【详解】，当时，，当时，令，则，所以函数在上单调递减，由函数在区间内有唯一零点，得,即即或,即,又，，所以（1）或（2）所以，满意的可行域如图（1）或图（2）中的阴影部分所示，则表示点（，）与点（－1，－2）所在直线的斜率，综上可得的最小值在点处取得，依据得A点坐标满意，所以最小值为，故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数探讨函数的单调性，函数零点，线性规划，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.执行如图所示的程序框图，输出的值是______.【答案】0【解析】【分析】模拟运行程序，得出该程序框图的值会以为周期循环出现，依据，即可得出答案.【详解】由于的周期，则的值以为周期循环出现即该程序框图的值会以为周期循环出现因为，所以时，，此时循环终止，输出的故答案为：【点睛】本题主要考查了循环结构框图计算输出值，属于中档题.14.在锐角三角形中，，，则的面积的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】利用协助角公式，结合锐角三角形特点可求得；利用余弦定理化简已知等式可求得；利用正弦定理和锐角三角形角的大小可确定的取值范围，代入三角形面积公式可得结果.【详解】由得：，，为锐角三角形，，，，由余弦定理知：，为锐角三角形且，，，，，由正弦定理知：，．故答案为：.【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形面积取值范围的问题，关键是能够娴熟应用正余弦定理进行边角转化，从而求得所需的边和角的取值范围，代入三角形面积公式求得结果.15.已知为椭圆上随意一点，点，分别在直线与上，且，，若为定值，则椭圆的离心率为______.【答案】【解析】【分析】设，求出M，N的坐标，得出关于的式子，依据P在椭圆上得到的关系，进而求出离心率.【详解】设，则直线PM的方程为，直线PN的方程为，联立方程组，解得，联立方程组，解得，则又点P在椭圆上，则有，因为为定值，则，，.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，有肯定的难度.16.已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则整数的最大值为______．【答案】4【解析】【详解】当时，，得，当时，，又，两式相减得，得，所以．又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，即．因为，所以不等式，等价于．记，时，．所以时，综上，，所以，所以整数的最大值为4．考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：17.已知数列的前项和为，，（且，）．（1）求数列的通项公式；（2）在①，，，②，，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，要使问题成立：对随意的正整数，若将，，按______的依次排列后构成等差数列，且公差为，求的值及对应的．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）由再写式子，两式作差得到（n≥2），所以数列{an}从其次项起是公比为的等比数列，又当n＝1时，从而可得通项公式；（2）由（1）分别写出，，，若选①，则，解出p值，即可求得；同理若选②，则，解出p值，求得.【详解】（1）因为，当时，，两式相减，得，故数列从其次项起是公比为的等比数列，又当时，，，所以，从而．（2）由（1）得，，，若选①，则，或，得，所以，，所以．若选②，则，或，得，所以，，所以．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，考查等差数列的性质，考查计算实力，属于中档题．18.如图，在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，，为三棱锥外一点，且为等边三角形.（1）证明：；（2）若平面，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证，只需证平面，即可求得答案；（2）因为平面平面，平面平面，所以平面，且，，取的中点，连接，，同理可证平面，平面，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）取的中点，连接，，是等边三角形，，又，，，平面，平面，故.（2）平面平面，平面平面，平面，且，，取的中点，连接，，同理可证平面，平面，，，，共面，平面平面，作垂直于点，则平面，故点到平面距离即为，又平面，所以，，，，，.由.【点睛】本题主要考查了求证异面直线垂直和求点到面距离，解题关键是驾驭将求证线线垂直转化为线面垂直的证法和点到面距离的定义，考查了分析实力和计算实力，属于中档题.19.已知过点，且与内切，设的圆心的轨迹为，（1）求轨迹C的方程；（2）设直线不经过点且与曲线交于点两点，若直线与直线的斜率之积为，推断直线是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．【答案】（1）；（2）过定点．【解析】【分析】（1）由题意结合圆的性质可得，利用椭圆的定义即可得解；（2）当直线斜率不存在时，求出各点坐标后即可得与轴的交点为；当的斜率存在时，设l的方程为，联立方程可得，，进而可转化条件，得出后即可得解.【详解】（1）由题意过点，且与内切，易知点，半径为，设两圆切点为，所以，在中，，所以，所以M的轨迹为椭圆，由椭圆定义可知，所以，所以轨迹C的方程为；（2）①当的斜率不存在的时，设，所以，所以，解得或（舍），所以与轴的交点为；②当的斜率存在时，设l的方程为，联立消元可得，，所以，由韦达定理，，则，又因为，所以，即，所以，所以成立，所以，当时，，所以l过，综上所述，过定点.【点睛】本题考查了椭圆定义的应用和直线与椭圆的综合问题，考查了计算实力，属于中档题.20.2024年，中国的国内生产总值（）已经达到约100万亿元人民币，位居世界其次，这其中实体经济的贡献功不行没实体经济组织一般依据市场化原则运行，某生产企业一种产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：123456781126144.53530.5282524依据以上数据，绘制了如下的散点图.现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.为此变换如下：令，则，即与满意线性关系；令，则，即与也满意线性关系.这样就可以运用最小二乘法求得非线性的回来方程.已求得用指数函数模型拟合的回来方程为，与的相关系数，其他参考数据如表（其中）.183.40.340.1151.5336022385.561.40.1354.63.7（1）求指数函数模型和反比例函数模型中关于的回来方程；（2）试计算与的相关系数，并用相关系数推断：选择反比例函数和指数函数两个模型中的哪一个拟合效果更好（计算精确到0.01）？（3）依据（2）小题的选择结果，该企业实行订单生产模式（即依据订单数量进行生产，产品全部售出）.依据市场调研数据，该产品单价定为100元时得到签订订单的状况如表：订单数（千件）1234567891011概率已知每件产品的原料成本为10元，试估算企业的利润是多少？（精确到1千元）参考公式：对于一组数据，，，，其回来直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数.【答案】（1）指数模型回来方程为，反比例函数回来方程为；（2）；用反比例函数模型拟合效果更好；（3）612（千元）.【解析】【分析】（1）由，得，将，代入可得指数模型回来方程.令，则，代入，求得，，可得反比例函数回来方程.（2）求得与的相关系数为，由，可得结论.（3）设该企业的订单期望为（千件），则，可求得订单的期望，从而求得该企业的利润约.【详解】解：（1）因为，所以，将，代入上式，得，所以.令，则，因为，所以，则，所以，所以关于的回来方程为.综上，指数模型回来方程为，反比例函数回来方程为.（2）与的相关系数为，因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好.（3）设该企业的订单期望为（千件），则，令①，则②，②①，得，化简得，所以，所以该企业的利润约为：（千元）.【点睛】本题考查线性回来方程的求得，相关系数的比较，以及运用数学期望求利润，属于中档题.21.已知函数.（1）探讨的单调性；（2）当时，设（为自然对数的底）.若正实数、满意，、，证明：.【答案】（1）答案不唯一，详细见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得函数的定义域与导数，对实数进行分类探讨，分析导数的符号改变，可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）由题意得出，构造函数，证明出存在，使得，可推导出，设，可得，，利用待定系数法可证得不等式成立.【详解】（1）函数的定义域为，.①当时，，函数在上单调递增；②当时，令，解得；令解得.故此时函数在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，，，不妨设，先证：存在，使得，构造函数，明显，且，，，则，，，同理可证，由零点存在定理可知，存在，使得，即存在，使得，又为增函数，，即，设，则，，，①，②由①②得：，即.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等式，构造新函数是解答的关键，考查计算实力与推理实力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系.xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.（1