2025高考数学一轮复习-10.4-随机事件、频率与概率

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第4节随机事件、频率与概率ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).1.概率与频率2.事件的运算

定义表示法图示并事件事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)________(或A＋B)交事件事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)________(或AB)A∪BA∩B3.事件的关系

定义表示法图示包含关系若事件A发生，事件B________，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)________(或A⊆B)互斥事件如果事件A与事件B______________，称事件A与事件B互斥(或互不相容)若A∩B＝∅，则A与B互斥对立事件如果事件A和事件B在任何一次试验中________________，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立一定发生B⊇A不能同时发生有且仅有一个发生×(1)事件发生的频率与概率是相同的.(

)(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.(

)(3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.(

)(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.(

)1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)√√×解析随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故(1)错.(4)中，甲中奖的概率与乙中奖概率相同.D解析“两次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同时发生，故D正确.2.一个人打靶时连续射击两次，与事件“至少有一次中靶”互斥的事件是(

) A.至多有一次中靶

B.两次都中靶 C.只有一次中靶

D.两次都不中靶C解析由题意，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，即第二天确保完成新订单1600份，减去超市每天能完成的1200份，加上积压的500份，共有1600－1200＋500＝900(份)，至少需要志愿者900÷50＝18(名).4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者(

) A.10名

B.18名 C.24名 D.32名B解析由对立事件的定义可知A正确；由于A∩B为不可能事件，所以A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即B正确；事件A，B，C两两互斥，并不代表A∪B∪C是必然事件，故C不正确；5.(多选)下列命题正确的是(

) A.对立事件一定是互斥事件 B.若A∩B为不可能事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B) C.若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1 D.事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件ABKAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2解析排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B，C，D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥.故选BCD.1.(多选)若干个人站成排，其中不是互斥事件的是(

) A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”BCD解析A中，A∪B与C是互斥事件，但不对立，因为P(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A错误；B中，B∪C与D是互斥事件，但不对立，因为P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B错误；2.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是(

) A.A∪B与C是互斥事件，也是对立事件 B.B∪C与D是互斥事件，也是对立事件 C.A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件 D.A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件DC中，A∪B与C∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A∪B)＋P(C∪D)＝1，故C错误；D中，A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A)＋P(B∪C∪D)＝1，故D正确.解析当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，B不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，C不正确；显然A与D是对立事件，A正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，D正确.3.(多选)口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正确的是(

) A.A与D为对立事件 B.B与C是互斥事件 C.C与E是对立事件

D.P(C∪E)＝1AD例1

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天数216362574所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.解当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，所以，利润Y的所有可能值为－100，300，900.因此Y大于零的概率的估计值为0.8.乙分厂产品等级的频数分布表训练1某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020等级ABCD频数28173421解由试加工产品等级的频数分布表知，(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？解由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为利润6525－5－75频数40202020因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300－70频数28173421比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务.解

设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C.∵A，B，C两两互斥，例2

某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)1张奖券的中奖概率；(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解

设“1张奖券既不中特等奖也不中一等奖”为事件N，则事件N与事件“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，求：(1)至多2人排队等候的概率；训练2

经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)至少3人排队等候的概率.解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥.(2)法一记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3解析由概率的意义知D正确.1.下列说法正确的是(

)DA解析∵随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，∴P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.7－0.2＝0.5，AABD5.(多选)将一枚骰子向上抛掷一次，设事件A＝“向上的一面出现奇数点”，事件B＝“向上的一面出现的点数不超过2”，事件C＝“向上的一面出现的点数不小于4”，则下列说法中正确的有(

)BC解析由题意知事件A包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，3，5；事件B包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，2；事件C包含的样本点：向上的一面出现的点数为4，5，6.6.(多选)下列说法正确的是(

) A.若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件 B.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件 C.掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆A D.10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点BCD解析对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A错误；对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥但不对立事件，故B正确；对于C，事件A＝{1，2，3，4，5}，事件B＝{2，3，5}，所以B包含于A，故C正确；对于D，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故D正确.则年降水量在(200，300)(mm)范围内的概率是________.7.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：0.25年降水量(mm)(100，150)(150，200)(200，250)(250，300)概率0.210.160.130.12解析设年降水量在(200，300)，(200，250)，(250，300)的事件分别为A，B，C，则A＝B∪C，且B，C为互斥事件，所以P(A)＝P(B)＋P(C)＝0.13＋0.12＝0.25.解析设P(A)＝x，则P(B)＝3x，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，所以P(A)＝x＝0.16.8.若事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________.0.16其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2022年空气质量达到良或优的概率为________.9.某城市2022年的空气质量状况如下表所示：解

对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A＋B.10.盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}. (1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的积事件是什么事件？解

对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球，1个白球或3个红球，故CA＝A.好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；11.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1解

由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.解

由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)?解

增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.则下列说法正确的是(

)A.任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D.若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.0412.(多选)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：BD所需时间(分钟)30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.1解析“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39分钟，线路二所需的平均时间为30×0.