2025高考数学一轮复习-10.3-二项式定理

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第3节二项式定理ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实11.二项式定理2.二项式系数的性质3.各二项式系数和×1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)×√√C解析根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，ADA.存在n∈N*，展开式中有常数项B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项D.存在n∈N*，展开式中有x的一次项当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D正确，C错误.A.5 B.10

C.15 D.20C∴x3y3的系数为10＋5＝15.解析因为所有二项式系数的和是32，所以2n＝32，解得n＝5.1所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.6.已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________.510KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2240角度1求二项展开式的特定项解析二项展开式的通项公式为∵k∈N，∴r应为偶数，∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，C角度2两个二项式之积、三项展开式问题A.15

B.20

C.30 D.35(2)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(

)A.10

B.20

C.30 D.60解析法一

(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，C法二

(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.训练1(1)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为(

) A.－3 B.－2 C.1 D.4B－1683解析依题意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.A角度1二项式系数和与系数和(2)(多选)若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论中正确的是(

)A.a0＝1B.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2C.a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35D.a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝－1解析令x＝0，则a0＝15＝1，故A正确；令x＝1得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－a0＝－2，故B错误；令x＝－1得35＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，故C正确；ACD所以a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，故D正确.即(x－1)100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1.令x＝0，得a0＝0.又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2.角度2展开式的逆用B训练2(1)已知(1＋x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(

) A.29

B.210

C.211 D.212AACD解析由题意，当x＝0时，a0＝12021＝1；当x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2021＝(－1)2021＝－1，当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…－a2021＝32021，BD要使x的指数是整数，需k是3的倍数，∴k＝0，3，6，9，12，15，18，∴x的指数是整数的项共有7项.训练3(1)已知(3x－1)n展开式的第5项的二项式系数最大，且n为偶数，则(3x－1)n展开式中x2的系数为(

) A.－252

B.252 C.－28

D.28B解析∵只有第5项的二项式系数最大，CFENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3BA.－20

B.－5 C.5 D.20A令5－2r＝－1可得r＝3，CDABC解析令x＝－1得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A正确.令x＝0得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正确.6.(多选)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则(

) A.a0＝－32 B.a2＝－80 C.a3＋4a4＝0 D.a0＋a1＋…＋a5＝1ABC∴x2的系数是10.102当x＝1时，(1＋2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243，①当x＝－1时，(1－2)5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1.②由①－②，得2(a1＋a3＋a5)＝243－(－1)＝244，可得a1＋a3＋a5＝122.9.二项展开式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝__________，a1＋a3＋a5＝__________.80122(2)求含x2的项的系数.解

选择条件①：11.在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

已知(2x－1)n＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，若(2x－1)n的展开式中，________. (1)求n的值；所以n＝10.所以n＝10.选择条件③：若(2x－1)n的展开式中所有二项式系数的和为210，则2n＝210.所以n＝10.选择条件②：(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|的值.解

由(1)知n＝10，则(2x－1)10＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10，令x＝0，则a0＝1，令x＝－1，则310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝1＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|＝310－1.C令k－3r＝0⇒k＝3r，即k是3的倍数，所以k＝0或3.所以原式展开后的常数项为1＋(－12)＝－11.∵13a＝7b，13.已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(

) A.5

B.6