2025高考数学一轮复习-7.4.3-二项式系数的性质【课件】

第3课时二项式系数的性质

第7章

7.4二项式定理1.了解二项式系数的性质.2.理解二项式系数性质的应用.3.掌握应用“赋值法”.学习目标被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服.而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a＋b)n的展开式在n＝1，2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡整整早发现了500年左右.导语随堂练习对点练习一、二项式系数表二、二项式系数的对称性、增减性、最值三、二项展开式的系数和问题内容索引一、二项式系数表问题1根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1,2,3,4,5,6)的二项式系数.可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？提示

1,7,21,35,35,21,7,1.知识梳理二项式系数表此表的规律如下：(1)每一行中的二项式系数都是“

”的.(2)每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的

.对称和(3)每行的二项式系数从两端向中间逐渐

.(4)第1行为1＝20，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22……第7行的各数之和为26.增大例1

如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值.解

由题意及二项式系数表的特点可得S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)＝164.跟踪训练1

如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于A.20 B.21C.22 D.23√解析

由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22.二、二项式系数的对称性、增减性、最值问题2怎样找二项展开式中的二项式系数的最大值？知识梳理二项式系数的对称性、增减性、最值例2

(1＋2x)n展开式第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项.解得n＝8.跟踪训练2

(1－x)2n－1展开式中，二项式系数最大的项是A.第n－1项B.第n项C.第n－1项与第n＋1项D.第n项与第n＋1项√解析

由二项式系数的性质得，二项式系数最大为

分别为第n，n＋1项.三、二项展开式的系数和问题知识梳理二项式系数的和2n2n－1例3

已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；解

令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；解

令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.知a1，a3，a5为负值，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.(3)a1＋a3＋a5.解

由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，延伸探究在本例条件下，求下列各式的值：(1)a0＋a2＋a4；解

因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；解

因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数，所以a0＝25＝32.又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.解

因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，所以两边求导数得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.跟踪训练3

已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.(1)求a2的值；解

∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；解

令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0.(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值.解

由(2)得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.随堂练习1.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是1234A.8

B.6C.4D.2√解析

由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6.12342.在(a－b)20的展开式中，与第6项二项式系数相同的项是A.第15项

B.第16项C.第17项

D.第18项√1234A.第5项

B.第6项

C.第7项

D.第8项√√12344.(2x－1)6的展开式中各项系数的和为__；各项的二项式系数的和为___.1解析

令x＝1，得各项系数的和为1；各二项式系数之和为26＝64.64对点练习基础巩固1234567891011121314151.在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是A.第n－k项

B.第n－k－1项C.第n－k＋1项

D.第n－k＋2项16√2.已知(1＋x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为A.212

B.211C.210D.29解析

∵展开式中只有第6项的二项式系数最大，∴n＝10，∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，12345678910111213141516√123456789101112131415163.(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数之和为A.2n＋1

B.2n－1C.2n＋1－1 D.2n＋1－2√解析

令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.123456789101112131415164.在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是A.第6项 B.第5项

C.第5,6项

D.第6,7项√∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项.123456789101112131415165.(多选)关于(a－b)11的说法，正确的是A.展开式中的二项式系数之和为2048B.展开式中只有第6项的二项式系数最大C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最大√√解析

(a－b)11的展开式中的二项式系数之和为211＝2048，故A正确；因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大，故B不正确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，故D不正确.123456789101112131415166.(多选)已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则A.n＝7

B.所有项的系数和为0C.偶数项的系数和为－64

D.展开式的中间项为－35x3和35x4√√√1234567891011121314151610故n＝5.令10－5r＝0，得r＝2.12345678910111213141516348.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第____行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.123456789101112131415169.设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：(1)a1＋a2＋a3＋a4；解

由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，令x＝0，得(0－3)4＝a0，所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝(2－3)4－81＝－80.12345678910111213141516(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；解

在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4.①令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.12345678910111213141516(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.解

由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负，由(2)中①＋②得2(a0＋a2＋a4)＝626，由(2)中①－②得2(a1＋a3)＝－624，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝－a1＋a2－a3＋a4＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)－a0＝313＋312－81＝544.12345678910111213141516(1)求m，n的值；解

由题意可得2n＝256，解得n＝8，解得m＝2或m＝－2(舍去).故m，n的值分别为2,8.12345678910111213141516(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；解

展开式中偶数项的二项式系数之和为12345678910111213141516综合运用1234567891011121314151611.若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为A.10B.45C.－9D.－45√12345678910111213141516A.2 B.0C.－2 D.－1√12345678910111213141516A.462 B.400

C.390 D.300√∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n－1＝1024，1234567891011121314151614.(多选)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形，设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若f(x)＝

，则A.f(x)的展开式中的常数项是56B.f(x)的展开式中的各项系数之和为