2025高考数学一轮复习-6.2.3组合-6.2.4数组数【课件】

6.2.3组合

6.2.4组合数

第六章计数原理1|组合与组合数 1.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为①

一组

,叫做从n个不同元素

中取出m个元素的一个②

组合

.2.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的③

个数

,叫做从n个

不同元素中取出m个元素的④

组合数

,用符号⑤

表示.第六章计数原理2|组合数公式与性质1.组合数公式:

=⑥

=⑦

=⑧

(n,m∈N*,m≤n).2.规定:

=⑨

1

.3.组合数性质:

=⑩

;

=

+

.第六章计数原理3|应用组合知识解决实际问题的四个步骤 1.判断:判断实际问题是不是组合问题.2.方法:选择用直接法还是间接法解题.3.计算:利用组合数公式并结合两个计数原理计算.4.结论:根据计算结果写出方案个数.

第六章计数原理

1.从a1,a2,a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是

.

(

✕)从三个不同元素中任取两个元素的组合数为

.2.从1,3,5,7中任取两个数相乘可得

个积.

(√)3.

=5×4×3=60.

(

✕)

=

=10.4.

=

=2020.

(√)判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.5.从a,b,c,d中选取2个合成一组,其中a,b与b,a是同一个组合.

(√)6.组合和排列一样,都与“顺序”有关.

(

✕)排列要考虑元素之间的顺序,组合则与顺序无关.

第六章计数原理1|组合数的运算与性质

组合数公式的主要适用范围形式主要适用范围乘积式

=

含具体数字的组合数的求值阶乘式

=

含字母的组合数的有关变形及证明第六章计数原理

组合数的性质及其应用(1)性质“

=

”的意义及作用:

(2)性质“

=

+

”的顺用,逆用,变形应用:顺用是将一个组合数拆成两个;逆用是“合二为一”;变形是

=

-

的使用,为某些项相互抵消提供了方便,在解题时要注意灵活运用.第六章计数原理

(1)式子

(n∈N*)可表示为()A.

B.

C.101

D.101

(2)求值:

+

;(3)证明:

=

.第六章计数原理解析

(1)分式的分母是100!,分子是101个连续自然数的乘积,最大的为n+100,最小

的为n,故

=101·

=101

.(2)由组合数的概念知

所以4≤n≤5.又因为n∈N*,所以n=4或n=5.当n=4时,

+

=

+

=5;当n=5时,

+

=

+

=16.(3)证明:

=

·

=

=

.答案(1)D第六章计数原理

(1)计算

+

+

+…+

的值为

()A.

B.

C.

-1

D.

-1(2)解方程3

=5

;(3)解不等式

>

.解析

(1)

+

+

+…+

=

+

+

+…+

-

=

+

+…+

-1=…=

+

-1=

-1.(2)由排列数和组合数公式,知原方程可化为3·

=5·

,则

=

,第六章计数原理即(x-3)(x-6)=40,解得x=11或x=-2.易知x≥7,则x=11.(3)由

>

得

,⇒

⇒

又n∈N*,所以该不等式的解集为{6,7,8,9}.答案(1)C方法总结

与排列、组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式以

及组合数的性质,涉及具体数字的可以直接用公式计算;涉及字母的多选用阶乘式

计算;计算时应注意利用组合数的性质

=

简化运算.另外要注意

中m、n的范围,因此求解后要验证所得结果是否符合题意.第六章计数原理2|分组与分配问题

分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同,就是不可区

分的,而后者即使两组元素个数相同,但因元素不同,仍然是可区分的.1.分组问题的求解策略常见形式处理方法非均匀不编号分组将n个不同元素分成m(m≤n)组,每组元素数目均

不相同,且不考虑各组间的顺序,不管是否分尽,

分法种数N=

·

·

·…·

第六章计数原理均匀不编号分组将n个不同元素分成不编号的m组,假定其中r组

元素个数相等,不管是否分尽,其分法种数为

(其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).如果

再有k组均匀分组,则应再除以

非均匀编号分组将n个不同元素分成m组,各组元素数目均不相等,

且考虑各组间的顺序,其分法种数为N·

均匀编号分组将n个不同元素分成m组,其中r组元素个数相同

且考虑各组间的顺序,其分法种数为

·

第六章计数原理2.相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小球的

空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对

应着小球放入盒子的一种方法,此方法称为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分

配问题.(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),有

种方法.可理解为(n-1)个空中插入(m-1)块板.第六章计数原理

按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的方法?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)分成三份,每份2本;(4)分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本.第六章计数原理解析

(1)先从6本书中选择1本,有

种方法,再从剩余5本书中选择2本,有

种方法,还剩3本书全选,有

种方法,所以总共有

=60种方法.(2)在(1)的基础上进行分配即可,所以有

=360种方法.(3)从6本书中选择2本书,有

种方法,再从剩余4本书中选择2本书,有

种方法,还剩2本书全选,有

种方法,所以共有

=90种方法.但是,这些方法中有重复.假如6本书分别为A、B、C、D、E、F,若三个步骤分别选

出的是AB,CD,EF,则根据顺序的不同,所有情况为(AB,CD,EF),(AB,EF,CD),(CD,AB,

EF),(CD,EF,AB),(EF,AB,CD),(EF,CD,AB),但这只能算一种方法.第六章计数原理所以不同的方法共有

=15种.(4)在(3)的基础上进行分配,则分配方法共有

×

=90种.(5)从6本书中选择4本书的方法有

种,从剩余2本书中选择1本书的方法有

种,因为在最后两本书的选择中发生了重复,所以分配方法共有

=15种.(6)在(5)的基础上进行分配即可,即有

×

=90种方法.方法总结

不同元素的分配问题往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:

①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组.注意各种分组类型中不同分组方式的

解法.第六章计数原理

把10个相同的小球全部放入编号为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的小球数

不小于盒子的编号数,则不同的方法共有

种.解析

首先在编号为2,3的两个盒子中分别放入1,2个小球,这样还剩10-3=7个小球,则问题变为求把7个相同的小球全部放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子至少

放一个球的不同方法的种数,由隔板法可知共有

=15种方法.答案

15第六章计数原理3|排列、组合的综合应用问题春节是中华民族的传统节日,在宋代人们用写“桃符”的方式祈福避祸,而现

代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式表达对新年的美好祝愿.某商家

在春节前开展商品促销活动,凡购物金额满50元的顾客,均可以从“福”字、春联

和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件.第六章计数原理1.若有4名顾客都领取一件礼品,一共有多少种领取方式?提示:有4名顾客都领取一件礼品,一共有34=81种领取方式.2.若这4名顾客都领取了一件礼品,他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率

应如何计算?提示:他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同有

=36种领取方式,则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率P=

=

.

第六章计数原理

正确区分“有序”与“无序”区分排列与组合的重要标志是“有序”和“无序”,无序的问题用组合的知识解

答,有序的问题用排列的知识解答.

辩证看待“元素”与“位置”排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准,哪些事件看成元素或位置,

随解题者的思维方式的变化而变化,要视具体情况而定.有时“元素选位置”解决

问题更简捷,有时“位置选元素”效果会更好.第六章计数原理

如图,一个正方形花圃被分成5份.(1)若给这5个部分种植花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,现有红、黄、蓝、

绿4种颜色的花,问有多少种不同的种植方法?(2)若在这5个部分放入7个不同的盆栽,要求每个部分都有盆栽,问有多少种不同的

放法?第六章计数原理解析

(1)先对A部分种植,有4种不同的种植方法;再对B部分种植,有3种不同的种

植方法;对C部分种植,进行分类:①若C与B的颜色相同,则D有2种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法,共有4×3

×1×2×2=48种不同的种植方法;②若C与B的颜色不同,则C有2种不同的种植方法,D有1种不同的种植方法,E有2种

不同的种植方法,共有4×3×2×1×2=48种不同的种植方法.综上,共有48+48=