2025高考数学一轮复习-6.2.3-6.2.4-第1课时-组合及组合数的定义【课件】

第六章6.2.3

组合6.2.4组合数第1课时组合及组合数的定义知识梳理知识点一组合及组合数的定义1.组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素

，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.2.组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的

，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号

表示.作为一组所有不同组合的个数知识点二排列与组合的关系相同点两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素不同点排列问题中元素有序，组合问题中元素无序关系组合数

与排列数

间存在的关系

＝______1.从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题.(

)2.“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√4.两个组合相同，则其对应的元素一定相同.(

)√题型探究例1

判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？一、组合概念的理解解单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.解冠、亚军是有顺序的，是排列问题.(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？解3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.解3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题.跟踪训练1

判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？解因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题.(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生.解由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题.解从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题.二、组合的个数问题例2

在A，B，C，D四位候选人中.(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；(2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；反思感悟组合个数的求解策略(1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举，如本例中，先枚举以字母A开头的组合，再枚举以字母B开头的组合，直到全部枚举完毕.跟踪训练2从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合.解先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示：由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种.三、简单的组合问题例3

有10名教师，其中6名男教师，4名女教师.(1)现要从中选2名去参加会议，有____种不同的选法；45解析从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有____种不同的选法；21解析可把问题分两类情况：(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有____种不同的选法.90跟踪训练3一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？解从口袋内的8个球中取出3个球，(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？解从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，随堂演练123451.(多选)下面四组元素，是相同组合的是A.a，b，c—b，c，a

B.a，b，c—a，c，bC.a，c，d—d，a，c

D.a，b，c—a，b，d√√√2.从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是A.10 B.5 C.4 D.112345解析组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法.√123453.在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为A.4×13手

B.134手C.A手

D.C手√解析本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名参赛者可能得到C手不同的牌.123454.下列问题中，组合问题有______，排列问题有____.(填序号)①从1,3,5,9中任取两个数相加，所得不同的和；②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数；③从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动.解析①②为组合问题，③为排列问题.①②③123455.已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为_______________________.ab，ac，ad，bc，bd，cd解析可按a→b→c→d顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.1.知识清单：(1)组合与组合数的定义.(2)排列与组合的区别与联系.(3)用列举法写组合.2.方法归纳：枚举法.3.常见误区：分不清“排列”还是“组合”.课堂小结KETANGXIAOJIE对点练习1.(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有A.由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数B.五个队进行单循环比赛的比赛场次数C.由1,2,3组成两位数的不同方法数D.由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数基础巩固12345678910111213141516√√12345678910111213141516√123456789101112131415163.已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为A.3 B.4 C.12 D.24√解析由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD.123456789101112131415164.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为A.4 B.8 C.28 D.64√解析由于“村村通”公路的修建，是组合问题，123456789101112131415165.某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运动会，种子选手都必须在内，则不同的选法有√6.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有___种不同选法.1234567891011121314151684123456789101112131415167.若已知集合P＝{1,2,3,4}，则集合P的子集中含有2个元素的子集数为____.6123456789101112131415168.有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，则不同方法的种数是____.(用数字作答)10123456789101112131415169.判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？12345678910111213141516(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？12345678910111213141516(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？12345678910111213141516(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？12345678910111213141516(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？1234567891011121314151610.平面内有10个点，其中任意3个点不共线.(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条.12345678910111213141516(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？即以10个点中的任意2个点为端点的有向线段共有90条.12345678910111213141516(3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？解所求三角形的个数，即为从10个元素中任选3个元素的组合数，11.(多选)下列问题是组合问题的有A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B.平面上有2021个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可

以构成多少条线段C.集合{a1，a2，a3，…，an}中含有三个元素的子集有多少个D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独

舞节目，有多少种选法综合运用12345678910111213141516√√√解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选ABC.1234567891011121314151612.从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有A.60种

B.36种

C.10种

D.6种12345678910111213141516√1234567891011121314151613.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为A.224 B.112 C.56 D.28√解析由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，1234567891011121314151614.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝______.1∶215.某区有7条南北向街道，5条东西向街道.(如图)拓广探究12345678910111213141516(1)图中有_____个矩形；210(2)从A点走向B点最短的走法有_____种.12345678910111213141516210解析每条东西向的街道被分成6