天津市北辰区2024年中考数学模拟试题（含解析）

天津市北辰区2024年中考数学全真模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.把图中的五角星图案，绕着它的中心点O进行旋转，若旋转后与自身重合，则至少旋转（）

2.把一副三角板如图（1）放置，其中NACB=NDEC=90。，NA=41。，/D=30。，斜边AB=4,CD=L把三角

板DCE绕着点C顺时针旋转11。得到△DiCEi（如图2）,此时AB与CDi交于点O,则线段ADi的长度为（）

A.V13B.75C.2夜D.4

3.如图，若A8〃CZ）,则a、0、丫之间的关系为（）

A.a+0H7=360°B.a-p+y=180o

C.a+p-y=180°D.a+p+y=180°

4.小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家

到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系的大致图象是（）

D.

5.一元二次方程好+x-2=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

6.小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中ZE=90，NC=90，NA=45，NZ>=30，则

4+N2等于（）

A.150B.180C.210D.270

7.某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%,另一个亏本20%,在这次买卖中，这家商店（）

A.赚了10元B.赔了10元C.赚了50元D.不赔不赚

8.若点A（La）和点B（4,b）在直线y=-2x+m上，则a与b的大小关系是（）

A.a>bB.a<b

C.a=bD.与m的值有关

3+21n

9.已知AyQ,B（2,y）两点在双曲线y=-------—±,且yvy2,则m的取

2x

值范围是（）

33

A.m>0B.m<0C.m〉—D.m<—

22

10.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2,

则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）

A.71+^3B.兀一卡>C.2〃一6D.2万一2百

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.某自然保护区为估计该地区一种珍稀鸟类的数量，先捕捉了20只，给它们做上标记后放回，过一段时间待它们完

全混合于同类后又捕捉了20只，发现其中有4只带有标记，从而估计该地区此种鸟类的数量大约有只。

12.已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F,如果AD=6,那么AF的长是.

13.如图，RtAABC中，NBAC=90。，AB=3,AC=60,点D,E分别是边BC,AC上的动点，则DA+DE的最小

值为.

14.若xay与3x?yb是同类项，则ab的值为.

4

15.如图，在四边形ABCD中，NB=ND=90。，AB=3,BC=2,tanA=—，则CD=

3

16.如图，在RSABC中，NB=90。，NA=30。，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D

为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E,连接AE,DE,则NEAD的余弦值是.

31

17.(8分)如图1,直线1：y=—x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,-1),抛物线y=-x?+bx+c经过点B,

42

与直线1的另一个交点为C(4,n).

(1)求n的值和抛物线的解析式；

(2)点D在抛物线上，口£〃丫轴交直线1于点£,点F在直线1上，且四边形DFEG为矩形(如图2),设点D的横

坐标为t(0<tV4),矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值；

(3)将4AOB绕平面内某点M旋转90。或180°,得到△AQBi,点A、O、B的对应点分别是点Ai、Oi、Bi.若AA1O1B1

的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180。时点Ai的横

坐标.

18.（8分）如图，在航线1的两侧分别有观测点A和B,点A到航线/的距离为2km,点B位于点A北偏东60。方向

且与A相距10km.现有一艘轮船从位于点B南偏西76。方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行

（1）求观测点B到航线/的距离；

（2）求该轮船航行的速度（结果精确到O.lkm/h）.

（参考数据：6切.73,sin76-0.97,cos76-0.24,tan76°=4.01）

19.（8分）如图，矩形A3C。中，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点3落在点E处，AE交于

点尸，连接。E,求证：ZDAE^ZECD.

20.（8分）某商城销售4,5两种自行车.A型自行车售价为2100元/辆，5型自行车售价为1750元/辆，每辆4型

自行车的进价比每辆3型自行车的进价多400元，商城用80000元购进A型自行车的数量与用64000元购进5型自

行车的数量相等.

（1）求每辆A,5两种自行车的进价分别是多少？

（2）现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆，设购进A型自行车“辆，这100辆自行车的销售总利润为y元，

要求购进3型自行车数量不超过A型自行车数量的2倍，总利润不低于13000元，求获利最大的方案以及最大利润.

a2

21.（8分）先化简-1然后从-2Wa<2中选出一个合适的整数作为。的值代入求值.

Q-G

22.（10分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5,BC=6,且AABC也△DEF,将ADEF与△ABC重合在一起，△ABC

不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A,EF与AC交于M点.

（1）求证：AABES/^ECM；

（2）探究：在ADEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；

（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积.

D

BEC

--------->

23.（12分）已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y=x2-4x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），

顶点为C.

（1）求点C和点A的坐标.

（2）定义“L双抛图形"：直线x=t将抛物线L分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关

于直线x=t的对称图形，得到的整个图形称为抛物线L关于直线x=t的"L双抛图形”（特别地，当直线x=t恰好是抛

物线的对称轴时，得到的“L双抛图形"不变），

①当t=0时，抛物线L关于直找x=0的"L双抛图形”如图所示，直线y=3与"L双抛图形”有个交点；

②若抛物线L关于直线x=t的"L双抛图形”与直线y=3恰好有两个交点，结合图象，直接写出t的取值范围：；

③当直线x=t经过点A时，“L双抛图形”如图所示，现将线段AC所在直线沿水平（x轴）方向左右平移，交"L双抛

24.如图，PA.P6分别与一〉。相切于点4B,点M在P5上，旦OMHAP,MN-LAP,垂足为N.

求证：OM=AN；若。的半径R=3,PA=9,求。”的长

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】

分析：五角星能被从中心发出的射线平分成相等的5部分，再由一个周角是360。即可求出最小的旋转角度.

详解：五角星可以被中心发出的射线平分成5部分，那么最小的旋转角度为：360。+5=72。.

故选C.

点睛：本题考查了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做

旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角.

2、A

【解析】

试题分析：由题意易知：ZCAB=41°,ZACD=30°.

若旋转角度为11°,则NACO=3（T+Uo=41。.

:.ZAOC=1800-ZACO-ZCAO=90°.

在等腰RtAABC中，AB=4,则AO=OC=2.

在RtAAODi中，OD产CDi-OC=3,

由勾股定理得：AD尸屈

故选A.

考点：1.旋转；2.勾股定理.

3、C

【解析】

过点E作E尸〃A8,如图，易得C0〃E尸，然后根据平行线的性质可得NR4E+N尸EA=180。，NC=NFEC=y,进一步

即得结论.

【详解】

解：过点E作E歹〃A3,如图，'JAB//CD,AB//EF,：.CD//EF,

：.ZBAE+ZFEA=18Q°,ZC=ZFEC=y,

：.ZFEA=p-Y，.，.a+(p-丫尸180°,即a+p-y=180°.

故选：C.

本题考查了平行公理的推论和平行线的性质，属于常考题型，作E歹〃48、熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

4、B

【解析】

【分析】根据小刚行驶的路程与时间的关系，确定出图象即可.

【详解】小刚从家到学校，先匀速步行到车站，因此S随时间t的增长而增长，等了几分钟后坐上了公交车，因此时

间在增加，S不增长，坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此S又随时间t的增长而增

长，

故选B.

【点睛】本题考查了函数的图象，认真分析，理解题意，确定出函数图象是解题的关键.

5、A

【解析】

VA=l2-4xlx(-2)=9>0,

方程有两个不相等的实数根.

故选A.

点睛:本题考查了一元二次方程62+云+c=0(a/0)的根的判别式△="-4ac：当A>0时，一元二次方程有两个不相等

的实数根；当△=()时，一元二次方程有两个相等的实数根；当A<0时，一元二次方程没有实数根.

6、C

【解析】

根据三角形的内角和定理和三角形外角性质进行解答即可.

【详解】

如图:

11=血+㈤OA,N2=4+^EPB,

㈤OA=/COP,4PB=/CPO,

Zl+/2=4+4+/COP+/CPO

=/D+/E+180—NC

=30+90+180-90=210，

故选C.

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、熟练掌握相关定理及性质以及一副三角板中各个角的度数是解题

的关键.

7、A

【解析】

试题分析：第一个的进价为：80+(1+60%)=50元，第二个的进价为：80+(1—20%)=100元，则80x2—(50+100)=10元,

即盈利10元.

考点：一元一次方程的应用

8、A

【解析】

【分析】根据一次函数性质：y=履+人中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.由-2<0

得,当xi2时,yi>yz.

【详解】因为，点A(l,a)和点B(4,b)在直线y=-2x+m上，-2<0,

所以，y随x的增大而减小.

因为，1<4,

所以，a>b.

故选A

【点睛】本题考核知识点：一次函数性质.解题关键点:判断一次函数>=履+力中y与x的大小关系，关键看k的符号.

9、D

【解析】

VA(-1,yp,B(2,y7)两点在双曲线y=3+2m上,

X

gg11AAiLeL4工口辽"h33+21H3+2lll

二根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，得y1=——，y2=---.

3+2m3+2m_3“但

.Yi>y,••———>—--，解得m<-大.故选D.

2-122

【详解】

请在此输入详解！

10、D

【解析】

【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面

积，分别求出即可.

【详解】过A作AD1BC于D,

，AB=AC=BC=2,NBAC=NABC=NACB=60。,

VAD1BC,

/.BD=CD=1,AD=73BD=73»

AABC的面积为；BC«AD=；x2xQ=百，

。60万x2z2

b扇形BAC=------------=-719

2

二莱洛三角形的面积S=3x—乃-2x6=2n-26，

3

故选D.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、

再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、1

【解析】

求出样本中有标记的所占的百分比，再用样本容量除以百分比即可解答.

【详解】

解：20+(4+20)

=20+20%

=100只.

故答案为：L

【点睛】

本题考查的是通过样本去估计总体，总体百分比约等于样本百分比.

12、4

【解析】

由三角形的重心的概念和性质，由AD、BE为△ABC的中线，且AD与BE相交于点F,可知F点是三角形ABC的

22

重心，可得AF=—AD=—x6=4.

33

故答案为4.

点睛：此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点

的距离的2倍.

,16

13^—

3

【解析】

【分析】如图，作A关于BC的对称点AT连接AAT交BC于F,过A，作AELAC于E,交BC于D,贝!JAD=A，D,

此时AD+DE的值最小，就是A，E的长，根据相似三角形对应边的比可得结论.

【详解】如图，作A关于BC的对称点AT连接AAT交BC于F,过A，作AELAC于E,交BC于D,贝!JAD=A，D,

此时AD+DE的值最小，就是A，E的长；

RtAABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=60,

/.BC=J32+（6V2）2=9,

11

SAABC=-AB・AC=—BC・AF,

22

.•.3x672=9AF,

AF=20,

.*.AA*=2AF=4V2，

•.,ZA,FD=ZDEC=90o,ZA,DF=ZCDE,

.*.ZA*=ZC,

VZAEA=ZBAC=90°,

AAAEA^ABAC,

,AA'BC

••一,

A'EAC

♦4a_9

即AD+DE的最小值是一,

3

【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关

键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题.

14、2

【解析】

试题解析：•.,xay与3x2yb是同类项，

・・a=2,b—l,

贝（1ab=2.

6

15、-

5

【解析】

延长AD和BC交于点E,在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中

利用三角函数的定义求解.

【详解】

如图，延长AD、BC相交于点E,

,-,ZB=90°,

4

.*.BE=-AB=4,

3

2

CE=BE-BC=2,AE=AB+BE-=5，

rAB3

AE5

XVZCDE=ZCDA=90°,

CD

.,.在RtACDE中，sinE=——，

CE

2A

:.CD=CE-sinE=2x—=—.

55

【解析】

利用特殊三角形的三边关系，求出AM,AE长，求比值.

【详解】

解：如图所示，设5C=x,

\•在RtAABC中，ZB=90°,ZA=30°,

：.AC=2BC=2x,A3=73BC=73x,

根据题意得：AD=BC=x,AE=DE=AB=6x,

如图，作EM_LA。于M,则AM=LAZ>=LX,

22

X

在RtAAEM中，cosNEAD=AM=_j_=叵,

AEW>x6

故答案为：旦.

【点睛】

特殊三角形：30。-60。-90。特殊三角形，三边比例是1：73：2,利用特殊三角函数值或者勾股定理可快速求出边的实

际关系.

三、解答题(共8题，共72分)

]57282874

17、(1)n=2；y=—x2-----x-1；(2)p=rH------1；当t=2时，p有最大值一；(3)6个，一或一；

24555123

【解析】

(1)把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值，然后利用待定系数

法求二次函数解析式解答；

(2)令y=0求出点A的坐标，从而得到OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据两直线平行，

内错角相等可得NABO=/DEF,再解直角三角形用DE表示出EF、DF,根据矩形的周长公式表示出p,利用直线和

抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得到P与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；

(3)根据逆时针旋转角为90。可得AiCh〃y轴时，BiOi〃x轴，旋转角是180。判断出AiOi〃x轴时，B】Ai〃AB,根

据图3、图4两种情形即可解决.

【详解】

解：

(1),直线1：y=3x+m经过点B(0,-1),

4

•*.m=-1,

直线1的解析式为y=3x-L

4

二•直线1：y=gxT经过点C(4,n),

4

3

n=—x4-1=2,

4

•抛物线y=±x2+bx+c经过点C(4,2)和点B(0,-1),

(12

.-i-X4+4;b+c=0

・・1,

c=-l

解得后工，

c=-l

二抛物线的解析式为y=±x2--1；,

24

(2)令y=0,贝心x-1=0,

4

解得x=U，

o

...点A的坐标为(4，0),

4

/.OA=—,

3

在RtAOAB中，OB=L

AB=VOA2+OB2=^2+12='3,

；DE〃y轴，

ZABO=ZDEF,

在矩形DFEG中，EF=DE»cosZDEF=DE»—DE,

AB5

DA4

DF=DE*sinZDEF=DE*—=—DE,

AB5

431d

Ap=2(DF+EF)=2(—+—)DE=—DE,

555

,・,点D的横坐标为t(0<t<4),

,\D(t,—t2-—t-1),E(t,—t-1),

244

•\DE=(—t-1)-(—t2-—t-1)=--t2+2t,

4242

.\p=­X(-—t2+2t)=-—12+—t,

5255

Vp=-—(t-2)2+—,且--<0,

555

...当t=2时，p有最大值毕.

5

(3)“落点”的个数有6个，如图1,图2中各有2个，图3,图4各有一个所

yAyA

如图3中，设」Ai的横坐标为m,则Oi的横坐标为m+尚,

/.—m2--m-1=—(m+-)2--(m+-)-1,

242343

解得m=-pr，

如图4中，设Ai的横坐标为m,则Bi的横坐标为m+*,Bi的纵坐标比例Ai的纵坐标大1,

-m2--m-1+1=—(m+-)2--(m+-)-1,

242343

解得m=言，

二旋转180。时点Ai的横坐标为夫或言

>L4O

【点睛】

本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数,

长方形的周长公式，以及二次函数的最值问题，本题难点在于(3)根据旋转角是90。判断出AiO1〃y轴时，BiO】〃x

轴，旋转角是180。判断出AiOi〃x轴时，BiAi〃AB,解题时注意要分情况讨论.

18、(1)观测点3到航线/的距离为3km(2)该轮船航行的速度约为40.6km/h

【解析】试题分析：(1)设AB与1交于点O,利用NDAO=60。，利用NDAO的余弦求出OA长，从而求得OB长，

继而求得BE长即可；

(2)先计算出DE=EF+DF=求出DE=5,3,再由进而由tanNCBE=—求出EC,即可求出CD的长，进而求出航

BE

行速度.

试题解析：(1)设AB与1交于点O,

北

一一二一二L,

A

在RSAOD中，

VZOAD=60°,AD=2(km),

.AD/、

•.OA=---------=4(km),

cos60°

*.*AB=10(km),

:.OB=AB-OA=6(km),

在RtABOE中，NOBE=NOAD=60。，

BE=OB»cos60°=3(km),

答：观测点B到航线1的距离为3km；

(2)VZOAD=60°,AD=2(km),AOD=AD-tan600=2>/3,

VZBEO=90°,BO=6,BE=3,/.OE=^OB1-BE1=343,

/.DE=OD+OE=5A/3(km)；

CE=BE«tanZCBE=3tan76°,

.*.CD=CE-DE=3tan76°-573=3.38(km),

1SCD

V5(min)=一(h),v=—=——=12CD=12x3.38-40.6(km/h),

12t1

12

答：该轮船航行的速度约为40.6km/h.

【点睛】本题主要考查了方向角问题以及利用锐角三角函数关系得出EC,DE,DO的长是解题关键.

19、见解析，

【解析】

要证需先证AAO歹丝△CEE由折叠得BC=EC,ZB^ZAEC,由矩形得BC=A。，N8=NAOC=90。,

再根据等量代换和对顶角相等可以证出，得出结论.

【详解】

证明：由折叠得：BC=EC,ZB=ZAEC,

•.•矩形ABCD,

：.BC=AD,ZB=ZADC=90°,

：.EC=DA,NAEC=NADC=90。,

51.'：ZAFD=ZCFE,

：./\ADF^/\CEF(AAS)

，ZDAE=ZECD.

【点睛】

本题考查折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，借助于三角形全等证明线段相等和角相等是常

用的方法.

20、(1)每辆A型自行车的进价为2000元，每辆B型自行车的进价为1600元；(2)当购进A型自行车34辆，B型

自行车66辆时获利最大，最大利润为13300元.

【解析】

⑴设每辆5型自行车的进价为x元，则每辆A型自行车的进价为(x+10)元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到

结果；

⑵由总利润=单辆利润x辆数，列出y与x的关系式，利用一次函数性质确定出所求即可.

【详解】

(1)设每辆B型自行车的进价为x元，则每辆A型自行车的进价为(x+10)元，

根据题意，得驾瞿=幽&.

x+400x

解得x=1600,

经检验，x=1600是原方程的解，

x+10=l600+10=2000,

答:每辆A型自行车的进价为2000元，每辆B型自行车的进价为1600元；

(2)由题意，得丫=(2100-2000)m+(1750-1600)(100-m)=-50m+15000,

根据题意，得［lOO-YZm,

l-50in+15000>1300C

解得：33-^<m<l,

•••m为正整数，

；.m=34,35,36,37,38,39,1.

Vy=-50m+15000,k=-50<0,

.••y随m的增大而减小，.•.当m=34时，y有最大值，

最大值为：-50x34+15000=13300(元).

答：当购进A型自行车34辆，B型自行车66辆时获利最大，最大利润为13300元.

【点睛】

本题主要考查一次函数的应用、分式方程的应用及一元一次不等式组的应用.仔细审题，找出题目中的数量关系是解答

本题的关键.

21、-1

【解析】

先化简，再选出一个合适的整数代入即可，要注意a的取值范围.

【详解】

a—(a—1)一1)

a-1-2-

Q—Q+1—1)

a-12

_a

—5'

当a=—2时，原式=二=一1.

2

【点睛】

本题考查的是代数式的求值，熟练掌握代数式的化简是解题的关键.

22、(1)证明见解析；(2)能；BE=1或U；(3)—

625

【解析】

(1)证明：VAB=AC,

.•.NB=NC,

VAABC^ADEF,

；.NAEF=NB,

又；ZAEF+ZCEM=ZAEC=ZB+ZBAE,

.\ZCEM=ZBAE,

/.△ABE^AECM；

⑵能.

VZAEF=ZB=ZC,且NAME>NC,

AZAME>ZAEF,

；.AEWAM；

当AE=EM时，贝!]△ABEgZ\ECM,

.\CE=AB=5,

BE=BC-EC=6-5=1,

当AM=EM时，则NMAE=NMEA,

ZMAE+ZBAE=ZMEA+ZCEM,即NCAB=ZCEA,

又；NC=NC,

/.△CAE^ACBA,

.CEAC

••二,

AC