上海市2024年中考数学模拟试题分类解析：函数的图像与性质

专题6：函数的图象与性质

一、选择题

1^-

1.(上海市2024年3分)在函数、=—的图象上有三点々39，北)、

X

A2(x2,>2)、43(%3，为)，已知勺6三至则下列各式中，正确的是【

A-

QD.

【答案】Co

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质。

【分析】依据题意画出图形，再依据函数的增减性解答即可：

Vk>0,函数图象如图，

图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。

故选Co

2.(上海市2024年4分)二次函数y=-(x-Ip+3图像的顶点坐标是【

(A.)(-1,3)(B).(1,3)(C).(-1,-3)(D).(1,—3)

【答案】Bo

【考点】二次函数的性质。

【分析】依据二次函数的顶点式的特点，干脆写出顶点坐标：(1,3)。故选B。

3.(上海市2024年4分)假如一次函数丁=依+)的图象经过第一象限，且与y轴负半轴

相交，那么【】A.k>0,b>0B.k>0,b<0C.k<Q,b>0

D.k<0,b<0

【答案】Bo

【考点】一次函数图象与系数的关系。

【分析】一次函数丁=6+匕的图象有四种状况:

①当k>Q,b>0时,函数y=6+b的图象经过第一、二、三象限,y的值随x的值增大

而增大;

②当上>0,b<0时,函数y=6+b的图象经过第一、三、四象限,y的值随x的值增大

而增大;

③当左＜0,人＞0时,函数y=H+）的图象经过第一、二、四象限,y的值随x的值增大

而减小;

④当上<0,b<0时,函数y=6+5的图象经过其次、三、四象限,y的值随x的值增大

而减小。

由题意得，函数y=6+b的图象经过第一、三、四象限，k＜Q,b＞0。故选B。

4.（上海市2024年4分）在平面直角坐标系中，直线y=x+l经过【

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.其次、三、四象限

【答案】A»

【考点】一次函数图象与系数的关系。

【分析】一次函数丁=履+人的图象有四种状况:

①当k>Q,b>0时,函数y=-+b的图象经过第一、二、三象限,y的值随x的值增大

而增大;

②当上＞0,匕＜0时,函数y=6+b的图象经过第一、三、四象限,y的值随x的值增大

而增大;

③当上＜0,匕＞0时,函数丁=6+人的图象经过第一、二、四象限,y的值随x的值增大

而减小;

④当上＜0,匕＜0时,函数y=的图象经过其次、三、四象限,y的值随x的值增大

而减小。

由题意得，函数y=x+l的左＞0,b＞0,故它的图象经过第一、二、三象限。故

选Ao

5.（上海市2024年I组4分）在平面直角坐标系中，抛物线y=f—l与x轴的交点的个

数是【】

A.3B.2C.1D.0

【答案】B。

【考点】抛物线与x轴的交点。

【分析】抛物线＞=必-1与％轴的交点的个数即方程必-1=0不相等实数根的个数，有2

个，故选B。

6.（上海市2024年4分）抛物线y=2（x+机y+〃（m〃是常数）的顶点坐标是【】

A.（m,ri）B.（―m,ri）C.（m,—n）D.（—m,—n）

【答案】Bo

【考点】抛物线的性质。

【分析】因为抛物线y=2（%+加了+〃是顶点式，依据顶点式的坐标特点，它的顶点坐标

是（一根，n）o

故选Bo

k

7.（上海市2024年4分）在平面直角坐标系中，反比例函数y=—（左＜0）图像的两支分

别在【】

A.第一、三象限B.其次、四象限C.第一、二象限D.第三、四

象限

【答案】Bo

【考点】反比例函数的性质。

k

【分析】依据反比例函数（左w0）的性质：当左＞0时，图象分别位于第一、三象限；

当左＜0时，图象分别位于其次、四象限：

k

•..反比例函数产生（左＜0）的系数左＜0,

X-

图象两个分支分别位于其次、四象限。

故选Bo

8.（上海市2024年4分）抛物线y=—（x+2）2—3的顶点坐标是【】

(A)(2,-3)；(B)(一2,3)；(C)(2,3)；(D)(-2,-3).

【答案】Do

【考点】二次函数的顶点坐标。

【分析】由二次函数的顶点式表达式y=—(x+2”-3干脆得到其顶点坐标是(一2,—3)。

故选D。

二、填空题

1.(2024上海市2分)假如正比例函数的图象经过点(2,4),那么这个函数的解析式为

▲.

【答案】y=2x。

【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】设正比例函数的解析式为y=kx,

•..正比例函数的图象经过点(2,4),

...依据点在直线上，点的坐标满意方程的关系，得4=2k,解得k=2。

这个函数的解析式为y=2xo

2.(上海市2024年2分)抛物线y=p2-6%+3的顶点坐标是▲.

【答案】(3,-6)o

【考点】二次函数的性质

【分析】把抛物线解析式的一般式配方为顶点式，再依据顶点式干脆写出顶点坐标：

,/y=x2-6x+3=(x-3)2—6,.,.抛物线y=%2一6%+3的顶点坐标是(3,—6)。

3.(上海市2024年2分)在平面直角坐标系内，从反比例函数y=V(k>0)的图象上的一

点分别作x、y轴的垂线段,与x、y轴所围成的矩形面积是12,那么该函数解析式是▲。

1?

【答案】y=—o

X

【考点】反比例函数系数k的几何意义。

【分析】因为过双曲线上随意一点引X轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|：

依据题意,知|k|=12,k=±12,

又：k>0,.\k=12o

I?

该函数关系式为：y=—0

x

4.(上海市2024年3分)点A(2,4)在正比例函数的图象上,这个正比例函数的解析式是▲

【答案】y=2x。¥

【考点】待定系数法求正比例函数解析式，曲线上的点与坐标的关系。/

【分析】设这个正比例函数的解析式是,=依，因为点A（2,4）在该正比例函

数的图象上，所以有4=2k,从而可求出左=2。从而得这个正比例函数的解析-----痂------►

式是y=2x„

5.（上海市2024年3分）假如将二次函数＞=2/的图象沿y轴向上平移1个单位，那么

所得图象的函

数解析式是▲

【答案】＞=2必+1。

【考点】二次函数图象与平移变换。

【分析】干脆利用平移的规律“左加右减，上加下减”，在原函数上加1可得新函数解析式

丁=2/+1。金颔（单位：元）

6.（上海市2024年3分）某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，509■—/

那么这种汽油的单价是每升▲元。\

【答案】5.09。/：

【考点】函数的图象。o100数量（单位：升）

【分析】依据图象知道100升油花费了509元，由此即可求出这种汽油的单价：单价

=509+100=5.09元。

7.（上海市2024年3分）如图，正比例函数图象经过点A,该函数解析式是▲.

【答案】y=3x。

【考点】待定系数法求正比例函数解析式。

【分析】设该正比例函数的解析式为y=辰，

由图象可知，该函数图象过点A（1,3）,.•.左=3。

该正比例函数的解析式为y=3%。

k

8.（上海市2024年4分）在平面直角坐标系中，假如双曲线y=—（左H0）经过点（2,-1）,

x

那么左=

【答案】一2。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】因为双曲线y=々左wO）经过点（2,-1）,所以（2,—1）满意方程，即—1=人，从

x2

而上二一2。

2

9.（上海市2024年4分）反比例函数y=—图像的两支分别在第▲象限.

x

【答案】一、三。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】依据反比例函数y=2（左wO）的性质：当左〉。时，图象分别位于第一、三象限；

X

2

当左<0时，图象分别位于其次、四象限：•..反比例函数y=—的系数左=2>0,...图象两

x

个分支分别位于第一、三象限。

10.（上海市2024年4分）一辆汽车在行驶过程中，路程y（千米）与时间x

（小时）之间的函数关系如图所示当OWxWl时，y关于x的函数解析式为

y=60x,那么当1WXW2时，y关于x的函数解析式为▲.

【答案】y=100x—40。

【考点】函数图象，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】在OWxWl时，把x=l代入y=60x,则y=60,那么当1WXW2时由两点坐标（1,60）

与（2,160）

得当1WXW2时的函数解析式为y=100x-40o

11.（上海市2024年4分）假如反比例函数y=±（左是常数，左二0）

X

的图像经过点（一1,2）,那么这个函数的解析式是▲.

【答案】"二2。

x

【考点】曲线上的点与方程的关系。

【分析】依据点在曲线图上点的坐标满意方程的关系，把（—1,2）代

入y=£,得2=巴，即左=—2,那么这个函数的解析式是y=

X-1X

12.（上海市2011年4分）一次函数y=3x-2的函数值y随自变量x值的噌大而上（埴“噜大”或“减

小”）.

【答案】噌大.

【考点】一次函数的性质.

【分析】由一次函数y=3x-2中k=3>0,根据一次函数的噌减性的性质知，函数值y随自变量x值的

噌大而增大.

13.（2012上海市4分）已知正比例函数月<x（*0）,点（2,-3）在函数上,则丫随x的噌大而▲（噌

大或减小）.

【答案】减小.

【考点】正比例函数的性质，直线上点的坐标与方程的关系.

【分析】.点（2,-3）在正比例函数y=kx（1#0）±,/.2k=-3,解得：k=--.

•••正比例函数解析式是：y=-jx.

.\y随x的增大而减小.

2

三、解答题

1.（2024上海市10分）如图，已知抛物线y=2x2—4x+m与x轴交于不同的两点A、B,

其顶点是C,点D是抛物线的对称轴与x轴的交点.

（1）求实数m的取值范围；

（2）求顶点C的坐标和线段AB的长度（用含有m的式子表示）；

（3）若直线y=0x+l分别交x轴、y轴于点E、F,问ABDC与AEOF是否有可能全

等，假如可能，请证明；假如不行能，请说明理由.

【答案】解：（1）令y=o,则有2x'—4x+m=0,依题意有，△=16—8m>0,，m<2。

又：抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，上!!!〉。.

因此实数m的取值范围为0<m<2。

22

（2）Vy=2x-4x+m=2（x-l）+m-2,AC（1,m—2）o

2

令y=0,2x—4x+m=0,贝!jx.+x?=2,x,x?=—（由（1）矢口上＞0）。

121222

2

^2-4—=V4-2mO

・・・AB=|X]-X2]=J（X]+X2）2-4|xrx2|

（3）在y=^/5x+l中令y=0,得x=-也,AE（一正

0）。

22

令x=0,得y=l,.*.F（0,1）o

/.0E=—,0F=lo

2

由（2）可得BD=3^应，CD=2-mo

2

当OE=BD时，—=^4~2-,解得m=l。

22

此时OF=DC=lo

又•.•/E0F=/CDB=90°,.-.ABDC^AEOF(SAS)。二两三角形有可能全

等。

【考点】二次函数综合题，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，二次函数的性质

和应用，全等三角形的判定。

【分析】(1)由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，因此对应的一元二次方程的根的判

别式4〉。，求解即可。

(2)干脆依据顶点式得到顶点坐标和与x轴的交点坐标，再求AB的长度。

(3)要求判定ABDC与AEOF是否有可能全都，即指探究全都的可能性，本题已有

ZCDE=ZE0F=90°,BD与0E或OF都可能是对应边，证出其中一种情形成马上可。

2.(上海市2024年10分)如图，直线y='x+2分别交x、y轴于

2

点A、C,P是该直线上在第一象限内的一点，PBJ_x轴，B为垂足，

°SAABP=9>・

(1)求点P的坐标；

(2)设点R与点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直

线PB的右侧，作RTLx轴，T为垂足，当ABRI与△AOC相像时，求点R的坐标.

【答案】解：(1)由题意，得点C(0,2),点A(―4,0)。

设点P的坐标为（a,—a+2）,其中a>0。

2

由题意，得SABP=—（a+4）（—a+2）=9,

△AABP22

解得a=2或a=-10（舍去）。

而当a=2时，-a+2=3,二点P的坐标为（2,3）。

2

k

（2）设反比例函数的解析式为y=—

x

•••点P在反比例函数的图象上，..二:与，k=6。

2

...反比例函数的解析式为y=g

X

设点R的坐标为（b,9）,点T的坐标为（b,0）其中b>2,那么BT=b

b

6

-2,RT=-o

b

RTRTRTAQ

①当△RTBsaAOC时，—,即1=2上=2,

AOCOBTCO

6

上=2,解得b=3或b=-1（舍去）。

b-2

.••点R的坐标为（3,2）。

RT

②当△RTBsz\C0A时,更，即M二空」

COAOBTAO2

6

=~,解得b=l+Jl1或b=l—屈（舍去）。

b-22

.••点R的坐标为（1+V13,巫二^）。

2

综上所述，点R的坐标为（3,2）或（1+屈，U）

2

【考点】一次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相像三角形的判定和性质，解一

元二次方程。

【分析】（1）依据点在直线上，点的坐标满意方程的性质，求出BP,AB的值从而可求出点

P的坐标。

（2）设R点坐标为（x,y）,求出反比例函数.又因为△BRTS/^AOC,利用线段比

联立方程组求出x,y的值。

3.（上海市2024年10分）卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面1：11000

的比例图上，跨度AB=5cm,拱高0C=0.9cm,线段DE表示大桥拱内桥长，DE〃AB。如图，

在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建

立平面直角坐标系，如图：

（1）求出图上以这一部分抛物线为图像的函数解析式，写出函数定义域;

（2）假如DE与AB的距离0M=0.45cm,求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：J万心1.4,

计算结果精确到1米）

Q

【答案】解:（DV顶点C在y轴上，•••设以这部分抛物线为图象的函数解析式为y=ax2+-o

•..点A(---0)在抛物线上，=+—,Wa=--o

2I10125

所求函数解析式为：y=--x2+-f--<x<-L

12510122)

9Q9

（2）・・,点D、E的纵坐标为二，，二H------^#x=±—A/2O

2020125104

・••点D的坐标为（—士5四l，9二），点E的坐标为（5?后l，9—）o

420420

.,・DE=9夜-（_*⑨二9后。

442

因此月河河流宽度为3后义H000X0.01=2750b385（米）。

2

【考点】二次函数的应用，曲线上的点与方程的关系。

o

【分析】（1）因为C在y轴上，故设抛物线的解析式为丫=2*2+,，把八点坐标代入解析

式求出a即可。

（2）因为点D、E的纵坐标相同，易求DE的长。

4.（上海市2024年10分）已知在平面直角坐标系内，0为坐标原点，A、

B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数

y=狈2+次+0（。。0）的图象经过点A、B,与y轴相交于点C。

（1）a,c的符号之间有何关系？

(2)假如线段0C的长度是线段OA、0B长度的比例中项，试证a、c互为倒数;

(3)在(2)的条件下，假如b=-4,AB=473,求a、c的值。

【答案】解：(1)由图可知：当抛物线开口向下，即a<0时，c<0(如图)；

当抛物线开口向上，即a>0时，c>0；

因此a、c同号。

(2)设A(m,0),B(n,0),

抛物线的解析式y=av2+bx+c(a0)中，令y=0,得：

2

ax+bx+c-0o

2

0A*0B=mn=—,0C=o

a

VOA.QB=OC2,A-=c2,解得ac=l。

a

所以a、c互为倒数。

141

(3)由题意知：y=ax9-4xH■一,贝Um+n=一，mn=­

aaa1o

VAB=4V3,/.AB=48o

胃—4，=48

(n—m):48即(m+n)2—4mn=48,

\a)a

解得a=±Lc=±2。

2

11

因此a、c的值分别为：一、2或一一、一2。

22

【考点】二次函数综合题，一元二次方程根与系数的关系。

【分析】(1)依据A、B点的位置即可推断出当抛物线开口向下时，函数图象与y轴交于负

半轴，当抛物线开口向上时，函数图象与y轴交于正半轴，即a、c同号。

(2)当C0W)A・0B时，可用c表示出0C,用a、c表示出OA・OB,代入上式即可求得

a、c是否为倒数关系。

(3)沿用(2)的思路，首先将b值代入抛物线的解析式中，可依据韦达定理表示出

AB的长，几何a、c的倒数关系，即可求得a、c的值。

5.(上海市2024年12分)数学课上，老师出示图和下面框中条件。

如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A点的坐标为(1,0),点B在x轴上，且在点A的右侧,

AB=OA,过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=f的图象于点c和D,直线0C交BD于点M,直线

CD交y轴于点H,记点C、D的横坐标分别为天•、“，点H的纵坐标为yH.

同学发觉两个结论：

②数值相等关系：茅。

（1）请你验证结论①和结论②成立；

（2）请你探讨：假如将上述框中的条件“A点坐标（1,0）”改为“A点坐标为

其他条件不变，结论①是否仍成立？（请说明理由）

（3）进一步探讨：假如将上述框中的条件“A点坐标（1,0）”改为“A点坐标为

3=£”，又将条件“y=£”改为，其他条件不变，那么

吃、冷和y”有怎么样的数值关系？（写出结果并说明理由）

【答案】解：（1）由已知可得点8的坐标为（2,0）,点C的坐标为（1,1）,点D的坐

标为（2,4）,由点C坐标为（1,1）易得直线0C的函数解析式为）一

，点M的坐标为（2,2）,

.3

•,S^CMD=LS梯形ABMC=2。

•t•^CMD-$梯形A8MC=2:3,即结论①成立。

设直线CD的函数解析式为kfeKHZ

k+b=\k=3

则《得＜

2左+b=4b=-2

直线CD的函数解析式为

由上述可得，点H的坐标为（0,-2）,yH=-2.

Vxc'XD-2,：.xc*xD--yH,即结论②成立。

（2）结论①仍成立，理由如下：

•••点A的坐标为②则点B坐标为（2/,0）,从而点C坐标为«,产）,

点D坐标为。，4产），设直线0C的函数解析式为、=红，则产得4一。

直线0C的函数解析式为

设点M的坐标为（2/,y）,

:点M在直线0C上，.•.当时，y=2〃，点M的坐标为（2r,Z2）。

-1•SNCMD-S梯形A8MC=g，2”,；（户+2/）=2:3。

...结论①仍成立。

（3）一、内5—一理由如下：

ci

由题意，当二次函数的解析式为且点A坐标为（t,0）（/><）

时，点C坐标为（t,a?）,点D坐标为（Z,Act1）,设直线CD的函数解析式为

直线CD的函数解析式为

22

则点H的坐标为（Q-^Z）,yH=-2at

x（j*XJJ=2广，x（j*Xjj=—yj.[o

1a

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）可先依据AB=OA得出B点的坐标，然后依据抛物线的解析式和A,B的坐标得

出C,D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线0C的解析式.进而可求出M点的坐标，然

后依据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可依据这些点的坐

标进行求解即可。

（2）（3）的解法同（1）完全一样。

6.(上海市2024年10分)在直角坐标平面中，0为坐标原点，二次函数

y=必+"；+。的图象与x轴的负半轴相交于点C(如图)，点C的坐标

为(0,-3)，且B0=C0

-4-2(i-2/4~6^

、求这个二次函数的解析式;

二、设这个二次函数的图象的顶点为M,求AM的长.

【答案】解:(1)VC(0,-3),0C=|-3|=3,二。=-3。

又：0C=B0,.\B0=3,AB(3,0)。

：.9+3b-3=0,b=~2.

这个二次函数的解析式为y=/-2x-3。

(2),/j=%2—2%—3=(%—1)2—4,.'.M(1,—4)。

又由*-2x-3=0解得A(―1,0),

.,.AM=^(l+l)2+42=2A/5O

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。

【分析】(1)由已知可得B(3,0),又C(0,-3),代入抛物线解析式可求》、。。

(2)求抛物线顶点坐标和A点坐标，在直角三角形中用勾股定理可求AM的长。

7.(上海市2024年12分)如图，在直角坐标系中，。为原点.点A在第一象限，

12

它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y=—的图象经过点A.

(1)求点A的坐标(5分)；

(2)假如经过点A的一次函数图象与y轴的正半轴交于点8,且OB=A3,求

这个一次函数的解析式(7分)。

【答案】解：(1)由题意，设点A的坐标为(a,3a),a>0.

•..点A在反比例函数y=—的图象上，得3。=一，解得q=2,a,=—2。

xa

经检验q=2,4=-2是原方程的根，但％=-2不符合题意，舍去。

...点4的坐标为(26)。

(2)由题意，设点8的坐标为(0,加).

m>0,:.m=yJ(m-6)-+2?,解得经检验冽=§是原方

程的根。

.♦.点8的坐标为

设一次函数的解析式为y=kx+—,

..104O\C\

:一次函数图象过点4(2,6),；.6=2左+可，得左=§。

410

...所求一次函数的解析式为丁=—x+—。

33

【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)依据A点位置及坐标特点，代入反比例函数解析式解方程即可求出4的坐标。

(2)依据题意求B点坐标，再求解析式。

m

8.(上海市2024年12分)如图，在直角坐标平面内，函数丁=一(%>0,加是常数)

的图象经过A(l,4),B(a,b),其中a>l.过点A作x轴垂线，垂足为C,过点3作y轴

垂线，垂足为。，连结AD,DC,CB.

(1)若△A3。的面积为4,求点8的坐标；

(2)求证：DC//AB；

(3)当A£>=5C时，求直线的函数解析式.

【答案】解：(1)•.•函数y=—(x>0,加是常数)图象经过A(l,4),...mud。

设BDAC交于点E,据题意，可得8点的坐标为,。点的坐

E点的坐标为

4

*•,4Z>1,DB=ci>AE=4--o

由△ABD的面积为4,即一a=4,得a=3,.•.点8的坐标为

2

(2)证明：依据题意，点C的坐标为(1,0),则£>石=1。

4

Va>l,易得EC=—,BE=aT,

a

4-1

BEa-1,AEa,BEAE

：.---=----=a-l,——=-=a-lo-------------=------------o

DE1CE4DECE

a

：.DC〃AB.

(3)...当4)=3。时，有两种状况:

①当A£)〃3C时,四边形AOCB是平行四边形,

BE

由(2)得,--=a-1,ci-1=1,得a=2。

DECE

.,.点B的坐标是(2,2)

设直线A3的函数解析式为y=6+b,把点A3的坐标代入,

4=左+b,k=-2

得《解得1

2=2k+bb=6

：.直线AB的函数解析式是y=—2x+6。

②当AD与所在直线不平行时，四边形AOCB是等腰梯形，

则8D=AC,a=4,...点8的坐标是(4,1)0

设直线的函数解析式为y=­+b,把点A3的坐标代入,

,4=左+。，k=~l

得1解得4

l=4k+b.b=5

...直线AB的函数解析式是y=—x+5。

综上所述，所求直线AB的函数解析式是y=-2x+6或y=-x+5。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，两直线平行的判定，平行四边形的判

定和性质，等腰梯形的判定和性质。

rij

【分析】(1)由函数y=—(x>0,m是常数)的图象经过AQ,4),依据点在曲线上点

x

的坐标满意方程的关系，求出函数关系式，从而由△A8D的面积为4求出点3的坐标。

(2)由已知，求出——=——，即可证得QC〃⑷3。

DECE

(3)分A。〃和AD与所在直线不平行两种状况探讨即可。

9.(上海市2024年12分)如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点.二次函数

y=—炉+法+3的图像经过点A(—1,0),顶点为8.1

A］

(1)求这个二次函数的解析式，并写出顶点8的坐标(5分)；

(2)假如点。的坐标为(4,0),AELBC,垂足为点E,点。在直线AE上，DE=1,

求点。的坐标(7分).

【答案】解：(1)•••二次函数>=—必+加；+3的图像经过点A(—1,0),

A0=-1-ZJ+3,得〃=2。所求二次函数的解析式为

y=-x2+2x+3

则这个二次函数图像顶点B的坐标为(1,4)。

(2)过点8作班'_Lx轴，垂足为点尸。

在RtZkBC/中，BF=4,CF=3,BC=5,

4

sinNBCF=—。

5

AJ7Ap4

在Rt^ACE中，sinZACE=—,又AC=5,可得——=—。

AC55

AE=4o

过点。作。轴，垂足为点由题意知，点//在点A的右侧,

AH_PHAD

易证△ADHSAACE.

~AE^~CEAC

其中CE=3,AE=4o设点。的坐标为（x,y）,则AH=x+l,

DH=y.

①若点。在AE的延长线上，则AO=5,得山=』=3,

435

%=3,y=3。・,•点。的坐标为(3,3)。

②若点。在线段AE上，则A£>=3,得±里=2=3,

435

79，一(79、

x=—,y=］。・••点。的坐标为二卜

79

综上所述，点D的坐标为(3,3)或

M5

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的顶点坐标，锐角三角函数定义，相像三

角形的判定和性质。

【分析】(1)依据点在曲线上，点的坐标满意方程的关系，由二次函数>=-1+法+3的

图像经过点4-1,0),可求得人=2,从而得到二次函数的解析式。把二次函数的解析式化

为顶点式y=—(%―1J+4,可得这个二次函数图像顶点8的坐标为(1,4)o

(2)过点8作BE,龙轴，垂足为点E,过点。作。尤轴，垂足为点分

点。在AE的延长线上和点D在线段AE上两种状况分别求出点D的坐标为(3,3)或

79

二’5

10.(上海市2024年12分)如图，已知平面直角坐标系xOy,抛物线y=—f+6x+c过点

A(4,0)、B(l,3).

(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

(2)记该抛物线的对称轴为直线1,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线1

的对称点为E,

点E关于y轴的对称点为F,若四边形OAPF的面积为20,求m、n的值.

【答案】解：(1)将A(4,0)、B(l,3)两点坐标代入抛物线的方程得：

<,斛N_得：b=4,c=0

-12+/?+C=3

，抛物线的表达式为：y=-x2+4.xo

将抛物线的表达式配方得：y=-x2+