2024届高考密训卷（一）数学试卷及答案

绝密★启用前

j2024高考密训卷（一）若/(%)=sin(x+0)In是偶函数，贝!]cose+加二（)

数学A.lB.-1C.±lD.0或2

；（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

4.已知的三个内角4,B,。所对的边分别为。，b,c.若csin5=2bsin4,

注意事项：且Q,b,c成等差数列，贝!jcos4=（）

A11c3…3-7

;1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。A.—B.—C.——D.-

o1612128

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

；动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在

5.已知复数z1=cos年+ising和复数Z2为方程2/+取+c=o）的两根，则下

嶷：

黑t本试卷上无效。

列说法正确的是（）

：3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

A.Z?=c=lB.Zj-z2=-1

d单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个C.-Z；也为该方程的根D.4与Z2也为方程％3=1的根

..选项中，只有一项是符合题目要求的.）

割1.已知集合河={1},集合N={x|0<x<2},贝lJ“xeN”是“xeMUN'W（）

6.宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷.宋蒋祁《陶记》中“江、湖、

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

实.图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与

一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm,上面的花口盏是底面直径分别为8cm

2.中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模

和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的

卦的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室.2024年3月，

圆台组合构成，示意图如图2,则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（）

中国空间站首批材料舱外暴露实验完成.在早前的某次模拟训练时共有5名航天员

参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，则不同

的安排方案有（）

A.30种B.60种C.72种D.U4种

第1页（共8页）第2页（共8页）

C.当圆。与直线/相切时，|。⑶=1（4在5下方）

D.若m=4,过/上一点S作圆0的切线ST（T为切点），则切线长1ST|的最小值为3

10.已知/a。/。）是圆0：—+「=/（〃>0）上一点，以％轴非负半轴为始边，射线

04为终边的角记为a,定义/（a）=2%o+yo,g（a）=为-2%.则下列选项正确的

是（）

A.若〃a）=2a,则与二〃

兀3

A.248KcmB.2747ccmC.354cn?D.3707CcmB./（cr）取得最大值时，入0=—^―a

C.若将/（a）的图象向右平移。个单位可得到g（a）的图象，贝Ijtan9=-。

7.若/a）=sin%-ax在（0,7i）上的极大值大于1,贝的取值范围为（）

D.B（xB,yB）是圆。上一点且|AB\=a,贝"%-力|的最大值为:a

A.（一叫0）B—o]C.（-l,0）D,（0,l）

11.长方体/BCD-4BCB中，AB=AD=3,AA,=272,点河为线段上的动点，且

已知。为坐标原点，方与砺为单位向量，（砺）•无=],在定直线/：

8.53+C不与点4重合，P为平面4BCD内一动点，将4P绕旋转，得到圆锥M4,则下

y=x+2y/2_L,不等式国+赤+双性7恒成立，则实数T的取值范围为（）列说法正确的是（）

A《-8,2+G]B.（-OO,2-V3]C]-8,2e]D<_8,百]A.若4M=1,AP=y/3,则圆锥被长方体所截得几何体的体积为百

4

B.若4P=0,则存在点尸，使得直线4P//平面ECB

二.多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项C.若圆锥K4表面积为6兀，则圆锥体积最大值为百元

中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的D若AM=26,AP=-y/2,则长方体内还可完全放入一个半径为血的小球

2

得0分.）

9.已知圆Q：（%-3）2+3-加）2=加2与丁轴相交于两点4,5,且与直线/：%=_2不相交.则三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

下列选项正确的是（）

12.+的展开式中//的系数为T5,则加=.

4|冽|的取值范围是（3,5）

B.0为坐标原点，贝！）|O/|+|O例的最小值为6

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2

13.数列｛氏｝满足°"+i=a；,6=e,数列也,｝的前〃项和为2产，数列£｝满足16.(15分)已知各项均为正数的数列｛%｝满足％=?=1，数列｛4｝的前〃项和为“〃•“〃+「正

项等比数列也,｝满足4=%，b3=a6-

In%,〃为奇数

，贝!)其前2〃项和1$2〃=.

为偶数(1)求数列｛2｝的通项公式；

(2)若g=7I1,证明：cl+c2+c3+--+cn<^.

b,”T2

14.除数函数(divisorfunction)y=d(n)(neN*)的函数值等于〃的正因数的个数,

例如/1)=1,d(4)=3,贝!Jd(2〃)=；1(2024)=.

四.解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.)

15.(13分)已知/(%)=ae*T,g(x)=xlnx,且/(%)在％=1处的切线/与g(x)的交点横

坐标为e.

17.(15分)如图所示的多面体产Z5CDE中，尸5_L平面/BCD,PB=3,AB//CD,

(1)求a;

EC//PD,DC=2AB=2,AD=M,EC=PD=3EC.

(2)记h(x)=f(x)~g(x),求h(x)的单调区间；

(I)若点尸为可中点，求证：4厂〃平面BEC；

(3)在(2)的条件下，证明：心)>0.

(2)求直线BE与平面ACE所成角的正弦值.

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18.(17分)椭圆C：《+胃=1(。>6>0)中，离心率是也，右顶点Z到上顶点5的距19.(17分)“由样本估计总体”是统计学中一种重要的思想方法，而我们利用一些样本去估

a2b22

计某一参数的值时，常采用最大似然估计的方法.最大似然估计是由高斯首次提出，费

离为2G

尔希推广并使之得到广泛应用的一种估计方法，其原理是从总体中抽出具有〃个值的采

(1)求椭圆C的标准方程；

样乂,乜，…,X”，求出似然函数£(夕)=?(乂=匹,82=%2，・：匕=匕)，似然函数£(。)表

(2)设椭圆C的左顶点为4,经过点。(|,0)的直线4与椭圆C交于E,F,过点。作

示样本同时取得再,马,•••,%〃的概率,当似然函数取得最大值时参数的取值即为该参数的最

4E的平行线4,与4尸交于点G.判断G是否在定直线上？若在，求出该直线；若不大似然估计值.

在，请说明理由.(1)已知一工厂生产产品的合格率为P,每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品

中随机抽取20件进行检测，有2件不合格；

(i)估计该批次产品合格率；

(ii)若用随机变量X表示产品是否合格，X=0表示不合格，X=1表示合格，求合格

率P的最大似然估计值，并判断与(i)中估计值是否相等；

(2)设一次试验中随机变量y的概率分布如下：

Y123

Px12x(l-x)(IN

现做〃次独立重复试验，丫=1出现了々次，丫=2出现了％次，丫=3出现了%次，求工的

最大似然估计值；

(3)泊松分布是一种重要的离散分布，其概率分布为尸(X=k)=^…),

设一次试验中随机变量X的取值服从泊松分布，进行〃次试验后得到X的值分别为

外出，…，％，已知力的最大似然估计值为2,求数列｛4｝的前〃项和S”.

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3

高考数学密训卷参考答案（一）又a,b,c成等差数列，贝！Jo+c=26,所以6=2

20242

92

单项选择题—u2+44tz2—a

b2+c2-a27

于是cosA4

2bcr328

i.c

2

因为MUN={x[0<x<2}=N故选：D.

所以“xeN”是“％eM\jN”的充要条件

故选：C.5.D

复新71+6_1q

由题可得,1

22'222

2.B

_「

由韦达定理可知Z]+Z?=-]二一1,Z\,z2=2'~

由题意知，即从5人中选出三人，分配到三个舱内

所以6=c=2,故A,B错误

共有C；A；=60种不同的安排方案

解方程可得为=-；与，则4=-；+亭=4，则-z"z产为，故C错误

故选：B.

因为丁_1=（%一1乂%2+X+]）=0,而为与Z2为方程/+%+1=0的两根

3.D

则均与Z2也为方程/=1的根，故D正确

因为"X）是偶函数，所以它的定义域关于原点对称

故选：D.

所以加=1,此时定义域为（-1,1）

易求得y=In（公）是奇函数

6.D

花口盏体积：匕=17Cx6x（42+52+4x5）=1227icm3

所以y=sin（x+e）是奇函数，于是e=k兀（％eZ）

223

盏托体积：V2=TTX4x6+-^7rx6X（4?+6+4x6）=24871cm

止匕时cos0=±l,于是cos9+加=0或2

3

所以组合体的体积V=VX+V2=370兀cm

故选：D.

故选：D.

4.D

7.C

由csin5=26sinA,及正弦定理-，.=

sinBsinA

fr（x）=cosx-a

可得历=2ba,即c=2a

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当时，,/（X）单调递减，无极值点如图1,设直线/'：y=x-l4i,过点。作OH_L直线/于点作OHU直线/'于点

当破-1时，/'（%）20,/（%）单调递增，无极值点

当一1<4<1时，因为/'（0）=1—4>0,/Z（7C）=-l-6Z<0

而/'（%）在（0,兀）单调递减

所以存在％。£（0,兀）,使ra））=o

在（0,与）上，r（x）>o,/（%）单调递增

（/，兀）上，f\x）<0,f（x）单调递减

于是%0是/（X）在（0,71）上的极大值点

贝!］丽=而

此时/'（%（））-cosx0-（7=0,即a=cosx0

可知如图2,当点C在点H处，点G在线段上时，|加+0。取得最小值

由题意，/（x0）>1,SP/（x0）=sinx0-ax0=sinx0-x0cosx0>1

此时+反|=|炉不|,最小值为产-退=2-仆

设g（%）=sin%-xcosx,贝!Jg'（x）=xsinx>0111Vi2+i2

于是g（X）在（0,兀）上单调递增，又g（S=l所以7X2-G

故选：B.

所以与£仁,兀］,a=cosx0G（-1,0）

故选：C.二.匏晒鞭

9.CD

8.B由题可知，圆0的半径为|m|,且圆与x轴相切

因为力与砺为单位向量，（0+砺）.砺二g由题意，3<|加《3-（-2）,即|那|的取值范围是（3阖,故A错误

所以cos〈H5,历〉=L即厉，历的夹角为工

设圆。与x轴的切点为C,根据切割线定理|1=|OC\2=9

23

易知点Z,8为以原点为圆心的单位圆上的动点，且=］于是ICMI+1。川^\OA\-\OB\=6,当且仅当\OA\^OB\=3时等号成立

^OG=OA+OB,贝!］函=向+无卜百若/和|。8|相等，则圆。与y轴相切，与题意不符，故无法取得最小值,故B错误

易知点G为以原点为圆心，百为半径的圆上的动点

贝!J帜+砺+因=国+/

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易求得此时cosa=平，于是%=乎。，于是B正确

对于C,f(a)=2acosa+asina=加asin(a+(p)(^>0Mtan^?=2)

g(a)=asina—2QCOSa=卡asin(cr~(p)(°>0且tane=2)

若将/(a)的图象向右平移。个单位可得到g(a)的图象，贝!1。=2。+2也(林Z)

贝！Jtan0=tan2(p=、，皿，=,于是C正确

l—tai?。3

对于D,^\AB\=a,则易求得=g

则△04。为直角三角形，于是=4要求I典-%I的最大值，不妨设以。3为终边的角为a

此时|O*=|。0-|4。|=5-4=1,故C正确兀

于是1%-?|=asina+工一asina=asina~~

I3j

对于D,连接S0,TQ,易知△S07为直角三角形，如图2

当a=?时，力|取得最大值。，所以D错误

6

于是|sr卜yl\SQ\2-\TQ\2=JSQF-16

故选：BC.

当0S与/垂直时，|S°|最小,即最小

反匕时|S0|=5.|ST|=752-16=3

11.AC

所以|srI的最小值为3,故D正确对于A,所求几何体体积为:%加=：x；7Tx(e『xl=f,故A正确

故选：CD.

对于B,点尸在底面的轨迹为以/为圆心，/尸为半径的圆

10.BC

由题意,x0=acosa,y0=asina

所以f(a)=2acosa+asina,g(a)=asina-2acosa

对于A,若/(a)=2a,贝！J2cosa+sina=2

故线段4f的轨迹为以/尸为底面半径的圆锥44的侧面

结合sin?a+sin2a=1可解得cosa=,或35。=1,即。或/=。，于是A错误

1

tanNAA,P=—产=—

对于B,f(a)=2acosa+asina可看成向量(2a,a)与向量(cosa,sina)的数量积12加2

当且仅当(2a,a)与(cosa,sina)同向时f(a)取最大值连结BQ,A[B,A]D,AC,^AC[}BD=E

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记圆锥4/在正方形4BCD内与4c相交于点尸，连4G，4月

易判断在长方体中，4E〃AC,BD〃B\D、

易知圆锥、长方体均关于平面4/CG对称，若取到完全能放入的最大球，则只需考虑球心

故平面48。〃平面BC.

在平面4/CG内的情况

同时4E_LEO,AE1BD,BD=AC=3A/2

取截面四边形4FCG，延长4尸，GC交于点M

故ZA,EA为二面角A-BD-A的平面角

又因为44J_平面4BD,故为直角三角形，则N44E即为直线4/与平面BQA所

成夹角

4E5,31

tanNA.A,E=----=—=—>-=tanNAA,P

12A/2421

故平面&BD与圆锥//侧面无交线，即所有的直线4尸均不与平面A.BD平行

显然尸为4c中点，故直角三角形4GM中，4G=3亚，C\M=46

则不存在点P,使得4尸//平面4c〃，故B错误

3血X4正

故4M=5亚，故直角三角形44M的内切圆半径为=V2

对于C,设圆锥M4的底面半径为r,高为h,母线长"3V2+4V2+5V2

22

则其表面积为兀/2+,x2兀尸•〃=6兀，h=y/a-r可得一〃内切圆直径为2行，恰与梯形4FCG上下底同时相切

2，r

则VMMA=+/.h=*.Ja2f2则半径为血的圆为梯形4尸CG内能放入的最大圆

可得联锥M4=；十0-12+*—=|TIXV12X73r2-r4此时半径为血的小球与圆锥侧面上直线4月，长方体侧棱CC,相切，且与长方体上下底面

相切

当『2=3,即i=逅时，圆锥体积取得最大值，最大值为百兀，故C正确

22但同时，长方体内完全放入的小球必不能与侧棱相切，故D错误

对于D,此时圆锥肱4即圆锥4/故选：AC.

第7页（共16页）第8页（共16页）

14.«+1；16

=.填空题