教师资格认定考试高级中学数学模拟题13

教师资格认定考试高级中学数学模拟题13一、单项选择题1.

，则a等于______A.0B.ln2C.ln3D.ln4正确答案：B[解析]，令，则，原式=e2a=4=e2ln2，所以a=ln2。

2.

函数与函数______A.定义域相同，值域相同B.定义域不同，值域不同C.定义域相同，值域不同D.定义域不同，值域相同正确答案：B[解析]函数的定义域为-1＜x＜1，且y不等于0；函数的定义域为-1＜x≤1，且当x=1时，y=0。即二者定义域不同，值域不同，故选B。

3.

“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的______A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件正确答案：A[解析]φ=π时，y=sin(2x+π)=-sin2x过坐标原点。前者可以推出后者，而曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点，可以得到φ=π+kπ，但不能推出φ=π，故“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分不必要条件。

4.

直线l：绕z轴旋转所得曲面的方程为______

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]直线l：转化为参数方程是由于直线l绕z轴旋转，直线旋转时，其上点的横坐标是不变的，且点到z轴的距离是不变的，故旋转曲面上的点到z轴的距离为即，故旋转曲面方程为。

5.

已知矩阵有一个特征值为0，则______A.x=2.5B.x=1C.x=-2.5D.x=0正确答案：A[解析]由题知|A|=5-2x，A有零特征值，则|A|=0，解得x=2.5，选A。

6.

设直线L为，平面π：4x-2y+z-2=0，则______A.L平行于πB.L在π上C.L垂直于πD.L与π斜交正确答案：C[解析]由已知条件可知直线L的方向向量为s=(4，-2，1)，平面π的法向量为n=(4，-2，1)，s∥n，所以直线L垂直于平面π，故选C。

7.

标志着以计算为中心的中国古代数学体系形成的科学著作是______A.《黄帝内经》B.《九章算术》C.《周髀算经》D.《甘石星经》正确答案：B[解析]东汉时期的《九章算术》是中国古代的第一部数学专著，是算经十书中最重要的一部分，该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，在世界数学史上“方程”章还是首次阐述负数及其加减运算法则的。要注意的是《九章算术》没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。故选B。

8.

下列说法中不正确的是______A.选择性是整个高中课程的基本理念B.在教学中，教师要帮助学生养成良好的学习习惯C.在教学过程中，结果是最重要的，老师要时刻关注学生的学习成绩D.新课程标准强调数学文化的重要作用正确答案：C[解析]选择性是整个高中课程的基本理念，是本次高中课程改革的最大变化之一；在教学中，教师要帮助学生养成良好的学习习惯；新课程标准中强调数学文化的重要作用，要求将其尽可能与高中数学课程内容有机结合；在教学过程中，除了给学生打分的终结性评价之外，更多地提倡过程性评价，所以结果不是最重要的，学习成绩的高低也不能完全反映一个人的综合能力。

二、简答题(每小题7分，共35分)1.

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且|f'(x)|≤M，f(a)=0，求证：。正确答案：证：在(a，b)内任取一点x，因为f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，所以f(x)在[a，x]上满足拉格朗日中值定理的条件，

则在(a，x)内至少存在一点ξ，使得f(x)-f(a)=f'(ξ)(x-a)，

又因为f(a)=0，|f'(x)|≤M，所以f(x)≤M(x-a)，

将上述不等式两边从a到b积分，得，即。

在某次考试中共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分。”某考生每道题都给出一个答案，已确定有9道题的答案是正确的，而其余题中有一道题可判断出两个选项是错误的，有一道题可判断出一个选项是错误的，还有一道题因不了解题意只能乱猜。试求出该考生：2.

选择题得60分的概率；正确答案：解：得分为60分，12道题必须全做对。在其余的3道题中，有1道题答对的概率为，有1道题答对的概率为，还有1道答对的概率为，所以得分为60分的概率为。

3.

选择题所得分数ξ的数学期望。正确答案：解：依题意，该考生得分的范围为{45，50，55，60)。

得分为45分表示只做对了9道题，其余各题都做错，所以概率为；

得分为50分的概率为：；

同理求得得分为55分的概率为：；

得分为60分的概率为：，

所以得分的分布列为：

数学期望。

4.

求过点(1，2，1)且与直线都平行的平面方程。正确答案：解：直线的方向向量，直线的方向向量s2=(0，-1，-1)，因为平面与两直线都平行，所以，平面方程为(x-1)-(y-2)+(z-1)=0，即x-y+z=0。

5.

简述如何在教材编写过程中做到素材的选取应体现数学的本质、联系实际、适应学生的特点。正确答案：教材中素材的选取，首先要有助于反映相应数学内容的本质，有助于学生对数学的认识和理解，激发他们学习数学的兴趣，充分考虑学生的心理特征和认知水平。素材应具有基础性、时代性、典型性、多样性和可接受性。高中学生已经具有较丰富的生活经验和一定的科学知识。因此，教材中应选择学生感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，现实世界中的常见现象或其他科学的实例，展现数学的概念、结论，体现数学的思想、方法，反映数学的应用，使学生感到数学就在自己身边，数学的应用无处不在。例如，在统计内容中，可以选择具有丰富生活背景的案例，展示统计思想和方法的广泛应用；通过行星运动的轨迹、凹凸镜等说明圆锥曲线的意义和应用；通过速度的变化率、体积的膨胀率，以及效率、密度等引入导数的概念。

6.

高中数学新课程为什么要注重提高学生的数学思维能力?正确答案：培养和发展学生的数学思维能力是发展智力、全面培养数学能力的主要途径。数学的产生和发展始于对具体问题或具体素材的观察、实验、归纳、类比等合情推理，但又不停留于观察、实验、归纳、类比等合情推理活动，而是在此基础上进一步通过比较、分析、综合、概括去揭示事物的本质，通过演绎推理得出数学结论。数学学习和研究从不满足于特殊情况的结果，而是通过归纳、类比等方法去探索、研究各种对象的一般规律，寻求解决问题的一般方法。数学学习和研究也从不满足于局部范围的统一，而是通过拓展原来的概念和理论去寻求更大范围的统一，发展和构建新的结果和理论。这种数学发展与数学学习的过程，形成了数学的特定思维方式。即首先对具体问题或具体素材进行考查，其次经过分析，找出事物的最简单的本质的出发点(基本概念、关系或公设)，再次寻求问题的一般解决方法，最后通过演绎(逻辑)推理形成严格的体系。因此，数学思维不仅有生动活泼的探究过程，其中包括想象、类比、联想、直觉、顿悟等方面，而且有严谨理性的证明过程，通过培养和发展学生的数学思维能力，能够发展学生的智力和培养学生的一般能力，能够培养学生辩证唯物主义世界观，培养学生实事求是、严谨认真、勇于创新等良好的个性品质。这对于人的身心发展，无疑将起重大作用。

数学思维能力有助于提高学生的生活质量和工作能力。例如，在讨论问题时，有较好数学思维能力的人希望明确讨论问题的前提，对这些前提大家要尽量一致，当讨论过程中需要修改前提时，也尽量达到基本一致，这样会提高讨论的效率。这是演绎思维能力(一般到特殊)的一种体现。又如，在遇到诸如产品质量检验等问题时，有较好数学思维能力的人会采用推断性统计方法，通过抽样，用样本的信息来推断总体。这是归纳思维能力(具体到一般)的一种体现。

三、解答题(10分)已知p=(1，1，-1)T是矩阵的一个特征向量。1.

求参数a，b的值及特征向量p所对应的特征值；正确答案：解：设λ是特征向量p所对应的特征值，则(A-λE)p=0，即解之得λ=-1，a=-3，b=0。

2.

判断A能否对角化，并说明理由。正确答案：解：由上一小题得，因此A的特征值为λ1=λ2=λ3=-1。由，可知R(A+E)=2，因此λ1=λ2=λ3=-1对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可对角化。

四、论述题(15分)1.

《普通高中数学课程标准》(实验)在实施建议中指出：新一轮数学课程改革从理念、内容到实施，都有较大变化，要实现数学课程改革的目标，教师是关键。试从高中数学教师的角色定位、教学设计和指导学生合理选择课程方面，谈谈你的基本观点。正确答案：(1)数学教师应首先转变观念，充分认识数学课程改革的理念和目标，以及自己在课程改革中的角色和作用。教师不仅是课程的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量。教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。为了更好地实施新课程，教师应积极地探索和研究，提高自身的数学专业素质和教育科学素质。

(2)在数学教学设计中，教师要从课程改革的基本理念出发，充分考虑数学的学科特点，高中学生的心理特点，不同水平、不同兴趣学生的学习需要，运用多种教学方法和手段，引导学生积极主动地学习，掌握数学的基础知识和基本技能以及它们所体现的数学思想方法，发展学生的应用意识和创新意识，提高数学素养，形成积极的情感态度，为未来发展和进一步学习打好基础。

(3)在指导学生合理选择课程方面，应以学生发展为本，制订长远学习规划。普通高中数学课程标准中设置了5个必修系列课程和4个选修系列课程，就是为了体现时代性、基础性、选择性、多样性的基本理念，使不同学生学习不同的数学，在数学上获得不同的发展。为此，在教学中，要鼓励学生根据国家规定的课程方案和要求，以及各自的潜能和兴趣爱好，制订数学学习计划，自主选择数学课程。在学生选择课程的过程中，教师要根据学生的不同基础、不同水平、不同志趣和将来的发展方向，有针对性地及时给予具体指导和帮助。

五、案例分析题(20分)案例：

师：我们学习了三角形、四边形，下面请同学说一下三角形与四边形的内角和各是多少度。

生：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°。

师：那么，对于五边形、六边形等多边形来说，其内角和是多少度呢?为便于研究，我们假设多边形为n边形(如图1所示)，如何求得其内角和呢?

(学生反应冷淡)

师：(提示)我们已经知道了三角形的内角和，能否利用它解决这个问题呢?

生：把多边形分成多个三角形。

师：很好，大家讨论一下可以通过什么途径把这一问题转化为三角形问题。

(学生讨论，教师巡回指导)

师：下面请同学介绍一下讨论结果。

生1：如图2所示，我们从点A1分别向其他顶点作对角线，连结A1A3，A1A4，A1A5，…，A1An此多边形可分为△A1A2A3，△A1A3A4，△A1A4A5，…，△A1An-1An共(n-2)个三角形。每个三角形的内角和为180°，所以，n边形的内角和为(n-2)·180°。

生2：在多边形内取一点P，分别连结PA1，PA2，PA3，PA4，PA5，…，PAn，共n个三角形，每个三角形的内角和为180°，以P为顶点的周角是360°，所以n边形的内角和为180°·n-360°=(n-2)·180°。

师：看来，同学们都进行了认真的思考，由此可得到n边形的内角和为：(n-2)·180°。

问题：1.

该教师引导学生推导多边形内角和公式的过程有何不妥之处?请给出你的看法和依据。正确答案：本案例中，为了解决多边形问题，教师有意识地引导学生把多边形问题转化为三角形问题，借助已有的知识解决未知问题的思维方式是案例中的可取之处，但是，为了所谓的“便于研究”，教师在学生缺乏一定认知心理准备的基础上，把五边形、六边形等多边形统一假设为抽象的n边形“快捷地”推导出公式，这既不符合学生的认知规律，又忽视了一个让学生通过体验归纳猜想获得问题答案的机会。实际上，知识体现的是一种结果，而过程蕴含了无穷的智慧。数学知识形成过程中的思想，对于学生的数学学习，乃至终身发展都是至关重要的。按照案例中的教学方式，学生或许也能记住多边形的内角和公式，但是却没有体验知识获得过程中潜藏的富有生机、充满智慧的数学思想，这一做法，无异于拾了芝麻，丢了西瓜，实在得不偿失。

2.

针对不妥之处，如何进行改进?正确答案：教师启发学生把多边形问题转化为三角形问题后，应先引导学生利用三角形求出部分特殊多边形的内角和．例如，五边形的内角和为(5-2)×180°，六边形的内角和为(6-2)×180°，七边形的内角和为(7-2)×180°，八边形的内角和为(8-2)×180°，然后通过分析规律，归纳猜想出n边形的内角和公式为：(n-2)×180°，这时，询问学生：这样得到的结果可靠吗?在学生充分感受到证明的必要性时，再探讨如何给出严格的证明。这样，学生不仅掌握了多边形的内角和公式，而且经历用归纳、猜想由特殊实例得到一般结论的重要数学思想。另外，还可以引导学生采用更多的方法推导多边形内角和公式，体会转化思想在分析问题、解决问题中的功效。

3.

如何有效开展数学思想的教学?正确答案：①立足数学本源，挖掘并渗透数学思想；②在知识的发生过程中，体验数学思想；③在问题解决的过程中，凸显数学思想；④在知识的总结过程中，归纳数学思想；⑤引导学生养成反思习惯，增强数学思想意识。

总之，数学思想是将知识转化为能力的一架桥梁。作为一名数学教师，要把数学思想作为重要的教学目标，深度钻研教材，充分挖掘内在的数学思想，采取各种有效策略，使之渗透或显化于数学教学之中。

六、教学设计题(30分)“函数图象”是高中数学中很重要的知识点，通过复习所学函数模型及其图象特征，可以使学生对函数有一个较直观的把握和较形象的理解，缓解因函数语言的抽象性引起的学生的心理不适应及不自觉的排斥情绪。1.

关于“函数图象及其应用”给出你的教学设计目标；正确答案：教学目标：

知识与技能：体会建立函数模型刻画现实问题的基本过程；了解函数模型的广泛应用。

过程与方法：通过练习，从解决简单实际问题的过程中，让学生体会函数模型的广泛适用性，贯穿理论联系实际、学以致用的观点。

情感态度与价值观：结合具体的问题，并从特殊推广到一般，使学生领会函数与方程之间的内在联系，体验函数与方程思想、数形结合思想及等价转化思想的意义和价值。

2.

确定教学重点、难点；正确答案：教学重点和难点：

①教学重点：常见函数模型的图象特征和实际应用。通过课堂师生互动交流，共同完成对相关知识的系统归纳，借助多媒体课件演示，增加学生的直观体验，深化认识，突破重点。

②教学难点：利用函数图象研究方程问题的思想和方法。在教学过程中，学生通过自主探究学习，在实际问题的解决中学习将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，实现难点突破。

3.

设置两个教学环节(给出两个以上例题或练习题)并说明设计意图。正确答案：教学过程：

①复习引入。

教师：我们学过哪些基本初等函数?对它们的大致图象还有印象吗?试回忆所学并完成表格。

(板书结合多媒体演示、实物投影)

教师：回顾常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数(a=1，2，3，-1，)的图象。函数名称函数解析式函数大致图象常数函数y=k(k为常数)平行于x轴的一条直线一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)一条直线二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)一条抛物线反比例函数(k为常数且不为0)一组双曲线指数函数y=ax(a＞0，a≠1)(多媒体演示)对数函数y=logax(a＞0，a≠1)(多媒体演示)幂函数y=xa(a≠0，a为常数)(多媒体演示)

【设计意图】所有的知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为下一个有效的知识。教师必须尊重学生的主体性，让学生自主参与探究，切实掌握本节课的重点。辅以多媒体直观演示能使教学更富趣味性和生动性。

②探究新知。

例1．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=ax与y=logax的图象是______

教师：若将“a＞1”改为“a＞0且a≠1”，又该如何选择?

例2．某地区电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元，超过3分钟后，每增加1分钟多收费0.1元(不足1分钟按1分钟收费)。通话收费S(元)与通话时间t(分)的函数图象可表示为______

教师：你能否写出通话收费S(元)关