2021年中考数学二轮复习：斜边上的中线问题 突破训练（解析版）

专题13斜边上的中线问题

【规律总结】

直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半”

1模型分析I直角三角形中有斜边中点时，常作斜边上

的中线，利用“斜边上的中线等于斜边的一半”可得CO

=AD=BD=y/lB来解题，有时有直角无中点，要找中

点，可简记为“直角+中点，等腰必呈现”.

此模型作用:①证明线段相等或求线段长；②构造角相

等进行等量代换.

【典例分析】

例1.（2021上海九年级专题练习）一副三角板如图摆放，点/是45角三角板ABC的斜

边的中点，AC=4.当30角三角DEF的直角顶点绕着点/旋转时，直角边。尸，EF，分

别与AC,BC相交于点M,N.则CMFN的面积为

【答案】4

【分析】

连结CR证明CFM=BKV,根据S=S=ls即可求解.

四边形CMFNBFC2ACB

【详解】

AA

解:连结CR如图，

•・•点R是45角三角板ABC的斜边的中点，

CF=BF,CT平分/ACB,CAB,N8=45°,

ZACF=45。,/2+/3=45。

Nl+N2=90。，

••Z1=Z3,

在ACFM和BFN中,

NMCF=NB

<CF=BFA

Z1=Z3

CFM=BFN（ASA）,

=月

CFMBFN

S=S——S=—X—x4x4=4

四边形CMFNBFC24cB22

【点睛】

此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度

较大，是一道难题.

例2.（2020嗨北恩施土家族苗族自治州口九年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，

/C=90°,AC=a,点E为边AC上任意一点，点。为的中点，过点。作班，班

交BC于点、F.求证：CE+CF为定值.

【答案】证明见解析

【分析】

连接CD,证明［SCDEaaBDF,得CE=BF,进一步证明CE+CF=BC=AC=。，从而得到结论.

【详解】

证明：连接CD,如图,

函ABC是等腰直角三角形，且D为AB的中点,

0CD0AB,CD平分国ACB,AD=BD=CD

00DCA=0DCB=EIDBC=45O

又DEfflDF

a3EDC+[3FDC=90°

而回FDC+团FDB=90°

EHEDC=EIFDB

在I3CDE和I3BDF中，

ZDCE=ZDBF

<CD=CD

ZEDC=NBDF

00CDEEIEBDF

0CE=BF

!3BC=AC=a

EICE+CF=BE+CF=BC=AC=a,

故：CE+CN为定值.

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，证明CE=BF是解答此

题的关键.

【真题演练】

一、填空题

1.（2020•哈尔滨市萧红中学八年级月考）如图，在5c中，回B=60。，CD为AB边上的

高，E为AC边的中点，点F在BC边上，0EDF=6O°,若BF=3,CF=5,则AC边的长为-----

A

【答案】2A

【分析】

如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理得出BO=4,OF=JTT,再根据等

边三角形的判定与性质得出DH=4,NBDH=60°,然后根据三角形的中位线定理、平行

线的性质得出/EHD=ZBDH=60°,从而可得NEHD=NB,ZBDF=ZHDE,最

后根据三角形全等的判定定理与性质得出DE=DF=g据此根据直角三角形斜边上的

中线等于斜边的一半即可得.

【详解】

如图，过点D作。G,6c于点G

BF=3,CF=5

1，.BC=BF+CF=8

在必5co中，ZB=60°,Z5CD=90°-ZB=30°

:.BD^LBC=4

A2

在及BDG中,ZB=60°,ZBDG=90°-ZB=30°

BG=^BD=2,DG=J6£>2一BGz=2事

：.GF=BF-BG=1,DFEDG2+GF2=屉

取BC的中点H,连接DH、EH

：.DH=BH=-BC=4=BD

2

BDH是等边三角形

:.ZBDH=60。

•••点E是AC边的中点

，EH是ABC的中位线

EH//AB

:.NEHD=/BDH=60。

:.NEHD=/B=6O。

又ZBDF+Z.FDH=ZBDH=60°,ZHDE+ZFDH=ZEDF=60°

:.Z•B•DF=ZHDE

ZEHD=ZB

在HDE和BDF中，＜=DB

ZHDE=ZBDF

A

HDE=^DF(ASA)

：.VE=DR=8

则在及△AC。中，DE=^-AC,即AC=2DE=2jB

故答案为：2g

E

BGFH

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、

三角形的中位线定理等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题关键.

二、解答题

2.（2020•庆云县第二中学八年级期中）已知：在ABC中，AC=BC,©ACB=90。，点D是

AB的中点，点E是AB边上一点.

（1）直线BF垂直于CE于点F,交CD于点G（如图1）,求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于CE,垂足为H,交CD的延长线于点M（如图2）,求证：BCEQCAM.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

AA

【分析】

（1）运用等腰直角三角形性质，三线合一，可以得到回AEC和回CGB一组对应边、一组对应

角相等，AC=BC,/C4£=4CG；然后利用同角的余角相等，证得Z4CE=NCBG；

两角及其夹边对应相等（AM）则两三角形全等.

（2）运用等腰直角三角形性质，三线合一，可以得到国BCE和回CAM一组对应边、一组对应

角相等，AC=BC,ZACM=NCBE；然后利用同角的余角相等，证得NBEC=ZCMA；

两角及其中一角的对边对应相等（A4S）则两三角形全等.

【详解】

(1)证明：回点D是AB中点，AC=BC,0ACB=9O",

[3CD0AB,0ACD=0BCD=45°,

00CAD=0CBD=45°,

EBCAE=I3BCG,

又E1BFEICE,

0OCBG+0BCF=9OO,

又EHACE+I3BCF=9O°,

0HACE=0CBG,

在OAEC和回CGB中，

NCAE=ZBCG

<AC=BC

ZACE=ZCBG

EHAECEHCGB(ASA),

OAE=CG,

(2)证明：0CH0HM,CD0ED,

EHCMA+EIMCH=90°,BBEC+0MCH=9O°,

00CMA=0BEC,

又a3ACM=!3CBE=45°,

在OBCE和13cAM中，

ZBEC=ZCMA

<ZACM=ZCBE

BC=AC

EHBCEEECAM(AAS).

【点睛】

本题考查全等三角形判定定理，从题中找到对应边、角的信息，灵活运用三角形判定定理是

解题关键.

3.(2020•张家港市梁丰初级中学八年级期中)已知，EIABC中，AC=BC,EACB=90°,CD为边

AB上的中线，若E是线段CA上任意一点，D甩DE,交直线BC于F点.G为EF的中点，连

接CG并延长交直线AB于点H.

(1)试说明：①AE=CF；②CG=GD；

(2)若AE=6,CH=10,求边AC的长.

【答案】(1)理由见详解；(2)AC=14

【分析】

(1)①由题意易得AD=DC=DB,0A=0B=45°,CD0AB,进而可证OADEEIEICDF,然后根据全等

三角形的性质可得；②由直角三角形斜边中线定理可得CG==进而问

题得证；

(2)由(1)可得AE=CF=6,由题意易得则有EF=CH=10,然后根据勾股定理

可求解.

【详解】

解：⑴①AE=CF,理由如下：

0AC=BC,0ACB=9O°,CD为边AB上的中线,

团AD二DODB,回A二朋二45°,CD回AB,

加A二回BCD=45°,

回DF团DE,

团团EDC+团CDF=90°,

又加ADE+回EDC=90°,

酿ADE二回CDF,

盟1ADE酿CDF(ASA),

0AE=CF,

@CG=GD,理由如下：

回回ACB=90°,团EDF=90°,EG=GF,

⑦CG=LEF,DG=LEF,

22

0CG=GD；

(2)由(1)得：AE=CF=6,CG=GD,DG=-EF

2

回团GCD二团GDC,

回回GCD+国CHD=90°,0GDC+[2GDH=9OO,

回团CHD二回GDH,

团GH=GD,

@DG=；CH,

[3CH=10,

0CH=EF=1O,

在RtEICEF中，CF2+CE2=EF2,即62+CE2=1。2,

解得：CE=8,

0AC=AE+CE=14.

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质与判定、勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握等

腰三角形的性质与判定、勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键.

4.(2019口陇东学院附属中学八年级期末)如图在RtZXABC中，AB=AC,ABAC=90°,

。为的中点.

(1)写出点。到ABC的三个顶点4、8、。的距离的大小关系.

(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM,请判断OMN

A

的形状，并证明你的结论.

A

(3)当点M、N分别在A3、AC上运动时，四边形40ON的面积是否发生变化？说

明理由.

【答案】(1)OA=OB^OC.(2)OMN是等腰直角三角形，证明见解析；(3)四边形

AMON的面积不变，理由见解析

【分析】

(1)连接04由。为的中点可得,由直角三角形斜边上的中线的性质可得

OA=A.BC,即可得Q4=O6=OC.

(2)由(1)不难证明/C4。=N3=45。，结合已知条件进而证明OAN0OBM,即

可得0M=ON,Z.NOA=ZMOB,即Z.NOM=ZAOB=90°,所以OMN是等腰直

角三角形.AA

A

(3)由(2)可得S=S，进而将四边形40ON的面积转化为A03的面积，AOB

OANOBM

的面积保持不变,*故四边形40ON的面积保持不变.

AA

【详解】

(1)连接。A,

♦.•山△ABC中，。为3C的中点，

OA=^-BC,OC=OB,

2

OA=一x2xOB=OB,

2

OA=OB=OC.

(2)OMN是等腰直角三角形，证明如下:

•：AB=AC,。为的中点，

A

AOIBC,

：.ZAOB=90°,

...OA=OB=OC,

ZCAO=NB=45°,

在OAN与OBM中，

OA=OB

<ZCAO=NB)

AN=BM

：.OAN回OBM,

：.OM=ON,ZNOA=ZMOB,

AA

ZNOM=ZA0B=9Q°,

•••OMN是等腰直角三角形.

(3)四边形AMON的面积保持不变，理由如下：

A

由(2)可得：SOAN=SOBM,

：,s=s+s=s+s=s

四边形4MCWOANAOMOBMAOMAOB"

♦rAOB的面积祺持不下

•••四边形AMON的面积保持不变.

A

【点睛】

本题主要考查直接三角形斜边上中线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形

的判定与性质定理并灵活运用是解题关键.

5.(2020呜兰察布市口内蒙古凉城县宏远中学八年级月考)已知：三角形ABC中，回A=90。，

AB=AC,D为BC边的中点，

(1)如图①，E,F分别是AB,AC上的点，且BE=AF,求证：回DEF为等腰直角三角形.

(2)如图②，若E,F分别为AB,CA延长线上的点，仍有BE=AF,其他条件不变，那么，

回DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论.

F

A

【答案】(1)见解析；(2)回DEF为等腰直角三角，证明见解析

【分析】

(1)先连接AD,构造全等三角形：EIBED和EIAFD.AD是等腰直角三角形ABC底边上的中

线，所以有EICAD=I3BAD=45",AD=BD=CD,而EIB=EIC=45°,所以EIB=EIDAF,再力口上BE=AF,AD=BD,

可证出：0BED00AFD,从而得出DE=DF,0BDE=0ADF,从而得出I3EDF=9O°,即I3DEF是等腰直

角三角形；

(2)还是证明：EIBEDEIEIAFD,主要证EIDAF=I3DBE(团DBE=180°-45°=135°,0DAF=9O°+45°=135°),

再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等.

【详解】

(1)证明：连接AD,EAB=AC,HBAC=90o,D为BC的中点,

0AD0BC,BD=AD.00B=0DAC=45°又BE=AF,

EHBDEEHADF(SAS).

0ED=FD,0BDE=0ADF.EfflEDF=0EDA+0ADF=0EDA+0BDE=0BDA=9O°.

宽DEF为等腰直角三角形.

(2)国DEF为等腰直角三角形.

证明：若E,F分别是AB,CA延长线上的点，如图所示：连接AD,回AB=AC,

EE1ABC为等腰三角形，EfflBAC=90°,D为BC的中点，

I3AD=BD,AD0BC（三线合一），

a3DAC=IBABD=45°.

EHDAF=EIDBE=135°.又AF=BE,

EBDAFEEDBE（SAS）.E1FD=ED,fflFDA=EEDB.

0fflEDF=fflEDB+EFDB=0FDA+EFDB=0ADB=9O".

GBDEF仍为等腰直角三角形.

【点睛】

本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三

角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定.

6.（2019全国九年级专题练习）如图所示，E