中考数学一轮复习第三讲分式方程及其应用（解析版）

模块二方程（组）与不等式CMJ

第三讲分式方程及其应用

知识梳理夯实基础

知识点1：分式方程的相关概念

定义：中含有未知数的方程叫做分式方程。

“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别。

增根：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，使方程中的,这样的根

叫方程的增根。

知识点2：解分式方程基本去分母，化分式方程为整式方程。

左।九13思路

例：一T—ln—T

x-1X-1一般①方程两边同时乘以各分式的________,化

步骤为整式方程；

解：最简公分母：（%-1）（%+1）②解整式方程；

③检验，把整式方程的解代入最简公分母，

M尤+1）-（工2-1）=3

看计算结果是否为0,若结果不为0,说明此

解是原分式方程的解；若为0,则为增根，

x~+x—X2+1=3原分式方程无解。

x=2验根方法一：利用方程解的定义，直接代回原方

方法程检验；

检验：当％=2时，（x—XH

1）（+1）O方法二：把整式方程的解代入最简公分母，

所以原分式方程的解为x=2看计算结果是否为0。

知识点3:分式方程的实际应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤

审：审清题意，分清题中的已知量、未知量，搞清等量关系。

设：设出未知数。

列：根据题中的等量关系，列出分式方程。

解：解分式方程

验：既要检验所得的解是否适合分式方程，又要检验是否符合实际问题。

答：完整作答（包括单位）

2、常见模型及关系式

行程问题基本关系式：避矍二时间

速度

常用关系式：（注意统一单位）

同一路程.同一路程二时间差；同一路程同一路程—时间差

甲的速度乙的速度盯人快速叶门人

慢速

工程问题基本关系式:就黑二工作时间

常用关系式

工作总量工作总量甲工作总量一片"黑=时间差

=时间差

原工作效率改进后工作效率甲工作效率

销售问题基本关系式:总价=数量

单价

.总销售金额总销售金额

常用关系式=数量差

变化后单价原单价

直击中考胜券在握

12

1.（2023•广东广州•中考真题）方程一\=会的解为（）

x-3x

A.x=-6B.x=—2C.x=2D.x=6

【答案】D

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解即得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【详解】

去分母得：x=2x-6,

移项合并得：—X=—6,

化系数为"1"得：尤=6,

检验，当x=6时，x（x-3）=18x0,

团x=6是原分式方程的解.

故选：D.

【点睛】

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是"转化思想"，把分式方程转化为整式方程求解，解分式

方程一定注意要验根.

2.（2023•湖北大冶•八年级期末）解分式方程9+产=3时，去分母后变形正确的是（）

%—11-x

A.2+(x+2)=3(x—1)B.2—x+2=3（x—1）

C.2-(x+2)=3D.2—(x+2)=3(x-1)

【答案】D

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断.

【详解】

解：方程变形得三2一x号+2=3

去分母得：2-（%+2）=3（%-1）

故选：D

【点睛】

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，注意去分母时不要漏乘.

3.（2023•四川成都•中考真题）分式方程J+一-=1的解为（）

x-33-尤

A.x=2B.x=-2C.x=lD.x=-l

【答案】A

【分析】

直接通分运算后，再去分母，将分式方程化为整式方程求解.

【详解】

2-x1,

'

x—3x—3

2-x-l1

2—x—1—x—3,

解得：x=2,

检验：当x=2时，%-3=2-3=-1^0,

.•.x=2是分式方程的解，

故选：A.

【点睛】

本题考查了解分式方程，解题的关键是：去分母化为整式方程求解，最后需要对解进行检验.

vviX

4.（2023•巴中中考）关于x的分式方程二----3=0有解，则实数m应满足的条件是（）

2-x

A.m=-2B.m*-2C.m=2D.m#2

【答案】B

【分析】

解分式方程得：加+x=6-3x即4X=7〃-6,由题意可知XW2,即可得至1|6-7”/8.

【详解】

方程两边同时乘以2-x得：m+x-6+3x=0,

04尤=加一6,

回分式方程有解，

团2—xw0,

0x^2,

回6—7”w8,

回N—2,

故选B.

【点睛】

本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键.

5.(2023•湖北十堰•中考真题)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需

时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是

()

【答案】B

【分析】

设现在每天生产x台，则原来可生产(x-50)台.根据现在生产400台机器的时间与原计划生产450台机

器的时间少1天，列出方程即可.

【详解】

解：设现在每天生产x台，则原来可生产(x-50)台.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在生产400台机器的时间与原计划生产450台机器的时

间少1天”这一个条件，列出分式方程是解题关键.

6.（2023•全国•九年级专题练习）若关于x的分式方程告-3=」）有增根，则m的值是（）

无一2尤一2

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【分析】

先把分式方程化为整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解.

【详解】

去分母得：%—3（x—2）=m,

回关于'的分式方程晶-3=占有增根,增根为：x=2,

02-3（2-2）=771,即：m=2,

故选C.

【点睛】

本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键.

7.（2023•安徽霍邱•七年级期末）已知关于X的分式方程竽上=上=-3的解满足2VXV5,则k的取值

3—xx—3

范围是（）

A.-7<k<14B.-7<k<14ja/c*0C.-14<k<7且七0D.-14</t<7

【答案】C

【分析】

先解分式方程，然后根据分式方程的解满足2Vx<5和分式有意义的条件进行求解即可.

【详解】

皿10%-3%-27c

解：0———=---3,

3—xx-3

回10x—3=—k+27+3（x—3）,

21-k

1ax=--------

7

1。丫一3D7

回分式方程竽上=t=-3的解满足2Vx<5,

3-尤x-3

c21—ku

2<-------<5

7

43

7

角军得一14〈人<7且左WO,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，分式方程的解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知

识进行求解.

127

------,a>b

8.(2023•北京•九年级专题练习)定义运算恸：a^b=\a-b,如果5Xx=2,那么x的值为

b.

-----,a<b

、b-a

()

A.4B.4或10C.10D.4或3

3

【答案】B

【分析】

根据定义，分x>5和x<5两种情况，列方程求出x的值即可得答案.

【详解】

解：05Elx=2,

,,2

团当x<5时，5回尤=---=2,

5-x

解得：x=4,

经检验：x=4是分式方程的解，

%

当%>5时，5回％=---=2,

x-5

解得：x=10,

经检验：是分式方程的解,

回次的值为4或10,

故选：B.

【点睛】

本题考查解分式方程，根据定义列出分式方程并检验是解题关键.

9.（2023・海南•中考真题）分式方程二=0的解是.

x+2

【答案】X=1

【分析】

先将分式方程化为整式方程，再解方程即可得.

【详解】

方程两边同乘以无+2得，x-l=0,

解得x=l,

经检验，x=l是原方程的解，

故答案为：x=l.

【点睛】

本题考查了解分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键.

10.（2023•湖北荆州•中考真题）若关于x的方程出?+二=3的解是正数，则加的取值范围为

x—22—x

【答案】m>-7且mr-3

【分析】

先用含m的代数式表示x,再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可.

【详解】

e,2x+mx—1cm+7

解：由----+-----=3,得：％=---且xw2,

x—22—x2

国关于X的方程*+E=3的解是正数'

m+7八m+7

团----->0且-----。2,解得：m>-7且mw-3,

22

故答案是：m>-7且mw-3.

【点睛】

本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，求出方程的解是解题的关键.

11.（2023•辽宁本溪•中考真题）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比

赛，学校准备为获奖同学颁奖.在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300

元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同.设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程

为_________

300240

【答案】

x+10x

【分析】

设B种奖品的单价为X元，则A种奖品的单价为(x+10)元，利用数量=总价+单价，结合用300元购买A

种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同，即可得出关于x的分式方程.

【详解】

解：设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为(x+10)元，

300240

依题意得:

x+10X

300240

故答案为:

x+10X

【点睛】

本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程.

12.(2023•四川达州•中考真题)若分式方程交？-4=心中的解为整数，则整数____________

x—1X+1

【答案】±1

【分析】

直接移项后通分合并同类项，化简、用。来表示了,再根据解为整数来确定。的值.

【详解】

2x—a-2x+a

---------------------=4A

x-1x+1

(2x—6z)(x+1)—(tz—2x)(x—1).

-------------------=4

(x—l)(x+1)

2

整理得：x二—

a

若分式方程立--4=仝芋的解为整数，

x-1X+1

4为整数，

当〃=±1时，解得：x=±2,经检验：x-lw0,x+lw0成立；

当，=±2时，解得：x=±l,经检验：分母为0没有意义，故舍去;

综上:〃=±1,

故答案是：±1

【点睛】

本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用a来表示x,再根据解为整数来确定。的

值，易错点，容易忽略对根的检验.

13.(2023・山东•日照市田家炳实验中学一模)已知关于x的方程三+件=2”?无解，则m的值是

x-22—x

【答案】［或1

【分析】

分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能值，让最简

公分母x-2=0,得到x=2,然后代入化为整式方程的方程算出m的值和方程没有增根两种情况进行讨

论.

【详解】

解：①当方程有增根时

方程两边都乘％-2,得%-2根=2机(％-2),

团最简公分母尤-2=0,

解得x=2,

当％=2时，m=l

故m的值是1,

②当方程没有增根时

方程两边都乘尤-2,得％-2加=2加(X-2),

口2m

斛倚x=~~，

2m-1

当分母为0时，此时方程也无解，

团此时2机一1=0,

解得m=p

团综上所述，当〃?=1或1时，方程无解.

2

故答案为：g或1.

【点睛】

本题考查了分式方程的的无解问题.增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化

分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值④当方程吴增根时一定要考虑求得

的方程的解分母为0的情况.

2x

14.(2023•江苏南京•中考真题)解方程长+1=—

x+1x-1

【答案】x=3

【分析】

先将方程两边同时乘以(x+l)(x-l)，化为整式方程后解整式方程再检验即可.

【详解】

解：——+1,

x+lX-L

2(x—l)+(x+l)(x—l)=x(x+l),

2%—2+x~—1—+xt

x=3,

检验：将x=3代入(x+l)(尤—1)中得，(x+l)(x-1)工0,

回x=3是该分式方程的解.

【点睛】

本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是牢记解分式方程的基本步骤，即要先将分式方程化为整式

方程，再利用“去括号、移项、合并同类项、系数化为1"等方式解整式方程，最后不能忘记检验等.

r-i3

15.(2023•陕西•中考真题)解方程：-=1.

x+lx-1

【答案】x=q

【分析】

按照解分式方程的方法和步骤求解即可.

【详解】

解：去分母(两边都乘以(尤+l)(x-1)),得，

(X-1)2-3=X2-1.

去括号，得，

x~—2x+1—3=—1,

移项，得，

x2—2x—x~——1—1+3•

合并同类项，得，

—2兀=1.

系数化为1,得，

1

%=—一.

2

检验：把》=-；代入(x+l)(x-l)wO.

=是原方程的根.

【点睛】

本题考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步骤是解题的关键，尤其注意解分式方程必须检验.

319

16.(2023•广东,深圳中学八年级期中)解方程：=

x-3xx-3x

【答案】t

【分析】

先两边同时乘以x(x-3)去分母化为整式方程求解即可.

【详解】

解：去分母，#3x-(x-3)=2,

去括号，得3%-1+3=2,

整理，得2%=-1,

解得：x=4，

经检验，了=-;是原方程的解.

【点睛】

本题主要考查了解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握解分式方程的方法.

17.(2023•云南•中考真题)“30天无理由退货”是营造我省"诚信旅游"良好环境，进一步提升旅游形象的创

新举措.机场、车站、出租车、景区、手机短信......，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张

云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质.刚刚过去的"五•一"假期，旅游线路、住宿、餐饮、

生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏.某旅行社今年5月1日租

用4B两种客房一天，供当天使用.下面是有关信息：今天用2000元租到A客房的数量与用1600元租

到B客房的数量相等.今天每间A客房的租金比每间B客房的租金多40元.请根据上述信息，分别求今

年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金.

【答案】租用的A种客房每间客房的租金为200元，B种客房每间客房的租金为160元.

【分析】

设租用的8种客房每间客房的租金为X元，根据用2000元租到A客房的数量与用1600元租到8客房的数

量相等列出方程，解之即可.

【详解】

解：设租用的8种客房每间客房的租金为x元，则A种客房每间客房的租金为X+40元，

5x=4x+160,

解得：x=160,

经检验：x=160是原方程的解，

160+40=200元，

团租用的A种客房每间客房的租金为200元，B种客房每间客房的租金为160元.

【点睛】

本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，列出方程.

18.（2023•贵州黔南•中考真题）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消

毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用

400元购买乙品牌消毒剂的数量相同.

⑴求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？

（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙

品牌消毒剂？

【答案】（1）甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；（2）购买了20瓶乙

品牌消毒剂

【分析】

（1）设甲品牌每瓶x元，则乙品牌每瓶3X-50元，根据题意列出方程，解出X即可；

（2）设购买了乙品牌a瓶，则购买了甲品牌40-a瓶,，根据题意列出方程，解出a即可.

【详解】

（1）解:设甲品牌每瓶x元，则乙品牌每瓶3X-50元，

300400

根据题意得:

x3^—50

解得：x=30,

则3x-50=3x30-50=40,

则甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元，乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；

(2)设购买了乙品牌a瓶，则购买了甲品牌40-a瓶，

根