2024年中考押题预测卷2（成都卷）-数学（全解全析）

绝密★启用前

2024年中考押题预测卷02【成都卷】

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

A卷（共100分）

第I卷（选择题，共32分）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分。每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）

1.-2024的相反数是（）

【答案】A

【分析】此题考查了相反数的定义.根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可.

【详解】解：-2024的相反数是2024,故选：A.

2.地月距离是指地球与月球之间的距离，有平均距离、月球与地球近地点的距离、月球与地球远地点的距

离三种.其中，地月平均距离约为384000km,用科学记数法表示为（）

A.384x103kmB.38.4x104kmC.3.84x105kmD.0.384x106km

【答案】C

【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法.利用科学记数法的定义解决.科学记

数法的表示形式为axlO”的形式，其中141al<10,〃为整数.确定”的值时，要看把原数变成a时，小

数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：384000km=3.84x105km.故选：C.

3.下列运算正确的是（）

A.（a**）=abB.（a—Z?）2=cr—ab+b1C.6a3b+2ab=3a2D.a2+a4-a6

【答案】C

【分析】本题考查了事的乘方、完全平方公式、单项式与单项式相除、合并同类项，掌握每一种运算法则

的正确应用是解题关键.

【详解】解：A、该选项不符合题意；

B、(a-/?)2=a2-2ab+b2a2-ab+b2,该选项不符合题意；

C、6a%+2次?=3/，该选项符合题意；

D、/与/不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；

故选：C.

4.某校为了了解全校965名学生的课外作业负担情况，随机对全校100名学生进行了问卷调查，下面说法

正确的是()

A.总体是全校965名学生B.个体是每名学生的课外作业负担情况

C.样本是100D.样本容量是100名

【答案】B

【分析】本题主要考查直接利用总体、个体、样本容量、样本的定义，掌握各定义是解题的关键

直接利用总体、个体、样本容量、样本的定义逐项分析即可解答.

【详解】解：A、总体是全校965名学生的课外作业负担情况，故此选项错误；

B、个体是每名学生的课外作业负担情况，故此选项正确；

C、样本是100名学生的课外作业负担情况，故此选项错误；

D、样本容量是100,故此选项错误.

故选B.

5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BO相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形

A.AB=CD,AD=BCB.ABCD,AD=BCC.AB//CD,AD//BC

D.OA=OC,OB=OD

【答案】B

【分析】根据平行四边形的判定定理，解答即可，本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解

题的关键.

【详解】A.AB=CD,AD=BC,可以，不符合题意，

B.ABCD,AD=BC,不可以，符合题意，

C.AB//CD,AD//BC,可以，不符合题意，

D.OA=OC,OB=OD,可以，不符合题意，

故选B.

6.四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正三角形、正八边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混

合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为（）

A.—B.-C.gD.—

4324

【答案】C

【分析】本题主要考查了简单的概率计算，中心对称图形的定义，先确定正六边形和圆是中心对称图形,

正三角形和正五边形不是中心对称图形，再画树状图分析，最后由概率计算公式进行求解即可.

【详解】解：正方形、正八边形和圆是中心对称图形，正三角形不是中心对称图形，

•••一共有四张卡片，每张卡片被抽到的概率相同，其中印有图形都是中心对称图形的卡片有三张，

设正方形、正三角形、正八边形和圆分别为A、B、C、D,

画树状图如下：

开始

/N/l\/N/1\

BCDACDABDABC

.••从中随机抽取两张，一共有12种结果，其中抽到的卡片上印有图形都是中心对称图形的结果有6种，

.♦•抽到的卡片上印有图形都是中心对称图形概率为2故选：C.

122

7.幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书（图1）”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就

是一个三阶幻方.如图2三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等.如图3,这是另一个

三阶幻方，则a+b的值为（）

(>0000000004

A.3B.-4C.-5D.6

【答案】C

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键.

根据幻方中的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，可得关于a,b的一元一次方程，解之即可.

【详解】解：如图所示.

图3

•••三阶幻方的每行，每列及每条对角线上的三个数之和都相等，且都等于中间数的三倍

0+(-3)+b=-3x3,解得：b=—6

a+(-3)=4+Z?

，a+(-3)=4+(-6),解得：<2=1

=1+(-6)=-5,故选：C.

8.如图，二次函数>="2+法+。的图象与无轴的交点的横坐标分别为t,3,则下列结论：①ac<0；②

2a+b-Q；(3)4a+2Z>+c<0；④对于任意x均有W6.正确的有()个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数的图象与

性质.根据二次函数抛物线的开口方向判断出a>0,再根据抛物线与X轴的交点，即可得y<0时，X的取

值范围是-l<x<3,令x=0,即可判定。的值，进而对结论①进行判断；求出抛物线的对称轴为

x=：(-1+3)=1,得-==1,即可对结论②和④进行判断；由y<0时，得X的取值范围，即可对结论③进

22a

行判断.

【详解】解：由题意得二次函数抛物线开口向上，,〃〉。，

又，二次函数y=ad+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为T,3,

.,.当一1<X<3时，y<0,

X=0时，y=c<0,

ac<0,故结论①正确；

・「抛物线的对称轴为x=1(-l+3)=l,

2

--—=1,:.b=-2a,

2a

2a+b=2a-2a=0,故结论②正确；

；•当一1〈尤<3时，y<0,

当x=2时，y=4a+2b+c<0,故结论③正确；

.抛物线的对称轴为尤=1,a>0,

.•.当x=l时，二次函数y的值最小，

2

y=ax+bx+c>a+b+c9即"+笈之々+〃，故结论④正确;

综上所述得正确的结论有①，②，③，④，故选：D.

第II卷(非选择题，共68分)

二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)

9.分解因式mn2+6mn+9m=.

【答案】m(«+3)2

【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再

用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

先提取公因式m,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.

【详解】解：mn2+6mn+9m=m^n2+6n+9)=m{n+3)2,故答案为：%(〃+3y.

10.已知反比例函数y=上亨的图象上两点A(-3,%),5(1,%).若必<%，则根的取值范围是

【答案】机<；

【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，可以得到关于利的不等式，从而可以求

得m的取值范围.

【详解】解：•.•反比例函数y=W史的图象上两点4(-3,%),3(1,%)，%<%，

.,.l-3m>0,解得机<；,故答案为：m<1.

11.两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的J1BC和△也,

其中N54C=NE4D=90。，点5、C、E依次在同一条直线上，连结C£>.若3c=4,CE=2,则ADCE的

【答案】6

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识,根据SAS证明AACE^AABE,

由全等三角形的性质得出NACD=NBCD=BE,则可得出答案.

【详解】解：NBAC=NEAD=90。,

:.ZBAC+ZCAE=ZEAD+ZCAE,BPZfiAE=ZG4D,

在△MD和，ACE>中，

AB^AC

<NBAE=ZCAD,...ACD^ABE(SAS),

AD=AE

:.ZACD=AB,CD=BE,

ZB=45°,

/.ZACD=45°f

/BCD=ZACB^-ZACD=90°,

BC=4,CE=2,

BE—6,

.".CD=6,

:.S^-CEDC^-X2X6=6,故答案为：6.

DcCE22

12.已知线段MN=6,MN〃y轴，若点M坐标为(-4⑵，则N点坐标为.

【答案】1,8)或(-4T)

【分析】本题主要考查了平行于坐标轴的点的坐标的特点，解题的关键是熟知：与y轴平行的直线，其横

坐标均相等.

根据平行于y轴的直线的坐标特点及两点间距离的表示法即可求得答案.

【详解】解：轴，M(Y,2),

.•.点N的横坐标也为T,

又MN=6,设"点的纵坐标为a,则|a-2|=6,

;・a=2±6,

a=8或a=Y.

.♦.N点的坐标为(T8)或(-4T).故答案为：(<8)或(<7).

13.如图，线段AB=6,分别以A,8为圆心，大于［AB的长为半径画弧交于点C,。，作直线8,连

2

接C4,CB,DA,DB.若AC=5,则四边形AC3。的面积为.

【答案】24

【分析】本题主要考查了作图-基本作图及中垂线的性质.由作图可知C3是线段的中垂线，四边形

AC3D是菱形，利用S菱形ACQ=gxABxC。求解即可.

由作图可知8是线段AB的垂直平分线，

:.AC=AD=BC=BD,

二•四边形AC3D是菱形，

..OA=OB=-AB=3CD1AB,

2f

AC=5,

:.OC=4AC1-O^=4^

CD=8,

5XXCDX

•­•»ACBD=|^=16X8=24,故答案为：24.

三、解答题(本大题共5个小题，共48分)

14.(本小题满分12分，每题6分)

(1)计算：(3—7)°一|屈一2|+(；J+4sin60°-(-1)2023

(2)先化简，再求值：(三二］.告［3x其中％是方程一一2彳一3=0的根.

(x-3x)x+6x+9

【答案】(1)13；⑵」7，：

【分析】本题考查分式化简求值、解一元二次方程、实数的运算、负整数指数癌、及特殊角三角函数值、

绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

(1)先计算绝对值、锐角三角函数、负整数指数幕，再进行加减计算即可；

(2)先利用分式的性质进行化简，再解一元二次方程求出x的值，再代入分式进行计算即可.

【详解】⑴解：(3-万)°一|疝一2，匕)+4sin60°-(-I)2023

=1-2国2+9+4义立+1

2

=1-2括+2+9+2用1=13；

/c、(21)尤2-3尤

(2)解：----—•--------

1%-3X)x+6x+9

_2x-x+3x(x-3)

x(x-3)(X+3)2

x+3x(x-3)i

x(x—3)(x+3)2—x+3'

角军方程％之—2x—3=0得玉=3,x2=—l,

・「x=3时，分式无意义

••x——1,

当了=—1时，原式=J'=：.

—1+32

15.（本小题满分8分）“安全责任重于泰山”，为切实做好学校消防安全、反恐防暴等安全工作，提高学校

的应急处置能力，打造平安校园，培养让学生终身受益的灾害应急能力，某校开展了一次消防、反恐防暴

培训及演练活动.为了解此次活动效果，随机抽取了七年级、八年级、九年级学生若干名（抽取的各年级

学生人数相同）进行网上问卷测试，并对得分情况进行整理和分析（得分用整数x表示，单位：分），且分

为A,B,C三个等级，分别是：优秀为A等级：85<x<100；合格为8等级：70Vx<85；不合格为C等

级：0<x<70.分别绘制成如下统计图表，其中七年级学生测试成绩的众数出现在A组.A组测试成绩情

况分别为：85,85,87,92,95,95,95,95,97,98,99,100；八年级学生测试成绩中A组共有。个人.

筌霸试或缰”依分布自力网4年鹭7生海火蝇・*晚计网人午M学上您试出“箝纹及计阳

七年级、八年级、九年级三组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如表所示:

年级平均数中位数众数方差

七年级85Cd163

八年级88919695.1

九年级8991.510077.7

根据以」二信息，解答下列问题：

⑴填空:b=,c,d=

（2）根据以上数据，估计该学校哪个年级的测试成绩最好，并说明理由;

(3)若该校七年级、八年级、九年级各有200人，请估计该校初中学生中成绩为优秀的学生共有多少人？

【答案】(1)14;86;95；(2)九年级学生的测试成绩更稳定，理由见详解；(3)估计该校初中名学生中成绩为优

秀的学生共有390名

【分析】本题考查了方差，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义和方差的意义

是解题的关键.

(1)根据条形统计图可得随机抽取各年级人数，再乘65%可得。的值；根据中位数和众数的定义可得d

的值；

(2)可从平均数、中位数、众数、方差角度分析求解；

(3)用样本估计总体解答即可.

【详解】(1)解：由题意可知，人=(3+5+12)-(1+5)=14；

七年级学生测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数是85、87,

故中位数。=空詈=86,众数4=95；故答案为：14；86；95；

2

(2)九年级学生的测试成绩更稳定，理由如下：

①九年级测试成绩的平均数、中位数和众数均大于七、八年级；

②九年级测试成绩的方差均小于七、八年级；

1214

(3)200x——+200x65%+200x——=390(名)，

2020

答：估计该校初中名学生中成绩为优秀的学生共有390名.

16.(本小题满分8分)某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1,水平操作台为Z,高A8为50cm,连

杆BC长度为70cm,手臂CO的长度为60cm,B,C是转动点，且AB、3c与始终在同一平面内.

(1)转动连杆BC,手臂使NABC=143。，CD//1,如图2,求手臂端点。离操作台/的高度DE的长(精

确到1cm,参考数据：sin53°»0.8,cos53°»0.6).

(2)物品在操作台/上，距离底座A端122cm的点M处，转动连杆BC,手臂端点。能否碰到点M?请说明

理由.

【答案】(1)106cm；(2)手臂端点。不能碰到点闻,理由见解析.

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的性质，掌握锐角三角函数及勾股定理是解题

的关键.

(1)过点C作于点。过点B作于点Q,在中，CQ=BC.sin530,再根据

。石=CP=CQ+尸。即可解答；

（2）当3,C,。共线时，根据勾股定理可得AD的长，进而可进行判断.

【详解】（1）解：过点。作CPLAE于点夕，过点5作BQJ_CP于点。，如图:

ZABC=143°f

：.ZCBQ=ZABC-ZABQ=53°,

*/BC长度为70cm,

:・在RtBCQ中，CQ=BC-sin53°«70x0.8=56cm,

CD//I,AB=50cm,

/.AB=PQ=50cm,

DE=CP=CQ+PQ=56+50=106cm；

(2)解：手臂端点。不能碰到点M,理由如下：

由题意得，当3,C,。共线时，手臂端点。能碰到距离最远,

如图：

B

•・•高A5为50cm,BC长度为70cm,手臂CO的长度为60cm,

・•・BD=60+70=130cm,AB=50cm,

在RtAABD中，AD=^BD2-AB2=120cm，

:距离底座A端122cm的点/处，

AM=122cm,

AD=120cm<122cm,，手臂端点。不能碰到点M.

17.（本小题满分10分）如图所示，。的半径为5,点A是。上一点，直线/过点A；P是O上的一个

动点（不与点A重合），过尸作PB_L/于点B,交。于点E,直径BD的延长线交直线I于点尸，点A是DE

的中点.

⑴求证：直线/是Q的切线;

(2)若PA=8,求心的长.

【答案】⑴见解析；(2专32

【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：

(1)利用圆周角定理可得出=利用等边对等角可得出NO4P=NOP4,则NQ4P=NAP石,

进而可证Q4〃形，利用平行线的性质可证依，。4,最后根据切线的判定即可得证；

(2)证明.PB4sPAD,利用相似三角形的性质求解即可.

**,AD=AE，

:.ZAPD=ZAPE,

;OP=OA,

：.ZOAP=ZOPAf

：./OAP=ZAPE,

・•.OA//PB,

・・・P51/,

JPB±OA,

又。4是。的半径，

.♦.直线/是।。的切线;

尸。是直径，

ZPAD=90°,

又NP3A=90°,

ZPBA=ZPAD,

又ZAPD=ZAPE,

:・.PBA^_PAD,

PBPA,PB8

——,即nr——二

PAPD810

32

PB=——

5

18.(本小题满分10分)如图，一次函数丫=入+万与反比例函数>=:的图像相交于点A(2,3),

(1)求一次函数及反比例函数的解析式;

(2)请直接写出关于x的不等式乙+6>'的解集；

X

(3)点尸是x轴负半轴上一动点，连接AP、BP,当一面积为12时，求点P的坐标.

【答案】⑴反比例函数表达式为：y=9,一次函数的表达式为：y=-！x+4；(2)2<x<6或x<0；⑶(-4,0)

x2

【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合运用，涉及到面积的计算、待定系数法求函数表达式,

利用图象法求不等式解集，综合性强，难度适中.

(1)由待定系数法即可求解；

(2)观察函数图象即可求解；

(3)由AB尸面积=S咏-S诙x(”-%)，即可求解.

【详解】⑴解：将42,3)代入双曲线y=g

/.m=6,

双曲线的解析式为y=9,

X

将点川〃,1)代入y=}

n=6f

将A(2,3),3(6,l)代入y=fcr+6,

2k+b=3k=--

,解得2

6k+b=l

b=4

.♦•直线解析式为y=-；x+4；

(2)解：观察函数图象知，不等式日+>>'的解集为：2<x<6或x<0；

X

(3)解：设直线交x轴于点以，设点尸(x,0),

由直线A3的表达式知，点”(8,0),

则,面积=S*一5.=；'尸"/(以一力)=；*(8-尤)、(3-1)=12,解得：x=T,

即点尸的坐标为：(-4,0).

B卷(共50分)

一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)

19.若。是方程*2+彳一1=0的根，则代数式2024+/+±的值是.

a

【答案】2027

【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根

据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算

法则化简求值是解决问题的关键.

【详解】解：。是方程/+工一1=0的根，

a2+a—1=01即/=i_a,

1

/.2024+片9十

a

=2024+(1—〃)+^—

1

=2024++-----

1—CL

_„..a?_2。+2

=2024+--------------

1—CL

(l-a\-2a+2

=2024+^——』----------

1-〃

=2024+-^——L

1—a

=2024+3=2027,故答案为：2027.

20.如图，在-ABC中，NACB=90。，Afi=10,BC=8,AD为,ABC的角平分线.M为AC边上一动点,

N为线段AD上一动点，连接及W、CN、MN,当CN+MN取得最小值时，_的面积为.

【答案】y

【分析】本题考查了轴对称最短路线问题.在A3上取点C，，使AC'=AC.作CMLAC,交AD于点、N.则

CN=C'N,CN+MN=C'N+MN,c'M即为CN+MN的最小值.再根据C'M〃3C,列出比例式求出AM,

即可求出uABA/的面积.

【详解】解：如图，在上取点C',使AC'=AC.作C'WLAC,交AD于点N.

则CN=C'N,

：.CN+MN=C'N+MN,

C'M即为CV+M2V的最小值.

AB=10,BC=8,

AC=6,

AC=6f

ZACB=90°,CMLAC,

：.CM//BC,

.AMAC

一~AC~~\B'

.AM_6

,•一，

610

iiio7,72

ABM的面积为：^AMBC=1x^x8=y.故答案为：二.

21.如图，正方形ABCD的边长是4cm,E是8边的中点.将该正方形沿8E折叠，点C落在点C处.O

分别与48,AD,8C'相切，切点分别为尸，G,H,则。的半径为cm.

【分析】如图所示，延长8C'交AD于连接ME,先证明得到DM=C'M,设设

DM=CM=xcm,则创/=（4+x）cm,AM=（4-%）cm,利用勾股定理建立方程（4+x）2=4?+（4-x）2,解

方程求出AW=3,BM=5,如图所示，连接。4、OB、OM、OF、OG、OH,利用等面积法求出半径即可.

【详解】解：如图所示，延长BC'交AD于连接腔，

•.•四边形ABCD是正方形，

Za4D=ZD=ZC=90°,

为8的中点,

?.CE=DE,

由折叠的性质可得以7=8。=公01,ZBC'E=ZC=90°,EC=EC=ED,

：.ZEC'M=ZD=90°,

又,：EM=EM,

：.Rtr>EM^Rt_CW（HL）,

Z.DM=CM,

设DM=C'Al=xcm,则8M=（4+x）cm,AM=（4-x）cm,

在RtABM中，由勾股定理得=钻2+4口，

/.（4+%）2=42+（4-%）2,解得x=l,

AM=3,BM=5,

如图所示，连接。4、OB、OM、OF、OG、OH

分别与A8，AD,BC'相切，切点分别为尸，G,H,

OF=OH=OG,OGI.AD,OFrAB,OHYBM,

=

^AAOB+SAMOB+SMOM，

AB+AM+BM”

—x3x4=--------------------OF,

22

OF=1cm,

.I。的半径为1cm,故答案为；1.

22.如图，矩形ABC。中，AB=2,8C=3,点E是AB的中点，点P是2c边上一动点.将一沿着所

翻折，使得点2落在点8,处，若点P是矩形内一动点，连接P3、PC、PD,则PB+&PC+P£）的最小值

为.

【答案】V26-1

【分析】本题考查了图形的折叠与旋转，两点之间线段最短的应用，勾股定理等知识点，将△CDP绕点C

顺时针旋转90。得到△&）「'，连接PP,连接ED',由等腰三角形CPP得出PP=0PC，再由折叠得出点

8'的轨迹在以点E为圆心，EB为半径的圆周上，所以明+P3'+PP+P7y的最小值为ED',即

P9+也PC+尸。的最小值为£D'-EB'，经计算得出答案即可，熟练掌握图形的旋转及图形的折叠对称的

性质是解决此题的关键.

【详解】将△CDP绕点C顺时针旋转90°得到△CDP,连接PP1,连接ED',

则8C,。'三点共线，PD=PD,

：.CD'=CD=AB=2,

二PP'=拒PC，

:点E是AB的中点，

EB=-AB=-x2=l,

22

"?BD'=BC+CD'=3+2=5,

ED=y/BE2+D'B2=712+52=>/26,

由△3EF折叠成一3'EF,

/.EB=EB'=EA,

点夕在以点£为圆心，EB为半径的圆上，

二EB'=1,

•••两点间线段最短，

二ED<EB'+PB'+PP'+P'iy,

即ED'<EB'+PB，+盘PC+PD，

,V26<\+PB'+s/2PC+PD，

：-PB'+y/2PC+PD>y/26-l,

则尸9+&PC+P。的最小值为后-1，

故答案为：^26-1•

23.若一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0,百位数字的2倍等于千位数字与十位数字的和，个位

数字比十位数字大1,则称这样的四位正整数为“吉祥数”.比如2345就是一个“吉祥数”，那么最小的“吉祥

数”是,若A是一个“吉祥数”，由A的千位数字和百位数字依次组成的两位数与A的十位数字和

个位数字依次组成的两位数的和记为M(A),N(A)比A的各个数位上的数字之和大2,若M(A；；N(A)为整

数，则满足条件中的A的最大值为.

【答案】11129634

【分析】本题考查了二元一次方程的解，整式的加减，根据最大的四位数和最小的四位数的特点，结合题

意，依次确定百位数和十位数，进而即可求解.

【详解】解：依题意，一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0,

.•.最小四位数的千位与百位数字为1,

•••百位数字的2倍等于千位数字与十位数字的和，

.♦•十位数字为1,

•••个位数字比十位数字大1,

•••个位数字为2,

・••这个数为1112；

依题意，设A=1000a+100b+(2〃-少10+2匕-〃+1

=989a+122〃+1

M(A)=10a+b+10(2b-Q)+2Z?-Q+l=23b—a+1,

・・・N(A)比A的各个数位上的数字之和大2,

N(A)=a+Z?+(2Z?—a)+2Z?—a+1+2=5b—a+3

/.M(A)+N(A)=236-4+1+56-0+3=286-2a+4=22。+66-2“+4又为整数，

；.66-2a+4能被11整除

要使得A最大，则。=9,

当a=9时，66-18+4=66—14能被11整除

b=6

，2b-a=3,

,满足条件中的A的最大值为9634

故答案为：1112,9634.

二、解答题（本大题共3个小题，共30分）

24.（本小题满分8分）利群商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件

售价100元，每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，购进3件甲种服装的费用和购进4件乙种服

装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件.

（1）甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？

（2）若购进这100件服装的费用不得超过7500元.

①求甲种服装最多购进多少件；

②利群商场对甲种服装每件降价〃（。＜。＜40）元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么如何

进货才能获得最大利润？

【答案】（1）甲种服装每件的进价80元，乙种服装每件的进价60元；

（2）①甲种服装最多购进75件；②当0＜。＜10时，购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；当。=10

时，所有进货方案利润都是4000元；x=65时，购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大.

【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是

分类讨论思想的应用.

（1）设甲种服装每件的进价加元，根据题意得：3帆=4（租-20）,解出机的值可得答案；

（2）①设甲种服装购进x件，根据甲种服装不少于65件，购进这100件服装的费用不得超过7500元得不

等式组，求出/范围可知甲种服装最多购进75件；

②设获得利润为,元，根据题意得＞=（130-。-80〃+（100-60）（100-巧=（10-。）》+4000,分三种情况讨论可得答

案.

【详解】（1）解：设甲种服装每件的进价加元，则乙种服装每件的进价（机-20）元，

根据题意得：3租=4（吁20）,解得加=80,

.,.m-20=80—20=60,

二甲种服装每件的进价80元，乙种服装每件的进价60元；

（2）解：①设甲种服装购进x件，

理种服装不少于65件，购进这100件服装的费用不得超过7500元，

fx＞65,

,[80x+60（100-x）＜7500,解得65W75；

二甲种服装最多购进75件；

②设获得利润为y元，

根据题意得：y=(130-a-80)x+(100-60)(100-x)=(10-a)x+4000,

当o<a<io时，y随式的增大而增大，

.•・当工=75时，y取最大值，此时购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；

当a=10时，所有进货方案利润都是4000元；

当时，y随x增大而减小，

・・・当x=65时，y取最大值，此时购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大.

综上所述，当0<a<10时，购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；当a=10时，所有进货方案利

润都是4000元；x=65时，购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大.

25.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线^=依2+笈+。（。<0）与无轴交于4（一2,0）,

（1）试求抛物线的解析式；

（2）直线、=依+1（左>0）与y轴交于点。，与抛物线在第一象限交于点尸，与直线BC交于点记

s

根=—L,试求加取最大值时点尸的坐标；

（3）在（2）的条件下，加取最大值时，点。是y轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样

的点。、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的N点的坐

标；若不存在，请说明理由.

【答案】（l）y=-gx2+x+4；（2）P（2,4）；（3）N点坐标为（2,4+而）或（2,4-而）或（一2,4）或（2,卷）

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；

1

（2）过尸点作尸G〃丁轴交于G点，则CD〃PG,根据已知可得机=奇，设+,十由，求

G9V+4）,进而根据二次函数的性质，即可求解；

（3）当DP为菱形的边时，，PN//DQ,PN=DQ=DP=岳,贝1]"（2,4+万）或（2,4-而）；当DP〃NQ,

PO=PQ时，根据对称性得出N（-2,4）；当。尸为菱形的对角线时，QNLDP交于H点、,过P点作以〃彳轴

交y轴于点K,则K（0,4）,由/KPD=/DQH,可求。。=午，则N的纵坐标为4-^=^,即可求解.

OOO

【详解】(1)解：4-2,0),

.3=2,

OC=2OA,

.\OC=4,

.-.C(0,4),

将A(—2,0),5(4,0),。(0,4)代入>=加+嬴+°,

4〃-20+c=0a~2

<16a+4b+c=0,解得<b=l,

c=4c=4

••・抛物线的解析式为y=-+%+4；

(2)当％=0,则y=l,

如图1,过P点作PG〃y轴交5C于G点,

ffil

:.CD〃PG,

.PGPM

一~CD~~DM"

S^CPM_PM

.~S^~DMf

:.m=-P-G-,

CD

设尸产+看+4),

设直线BC的解析式为y=丘+4,

/.4k+4=0,解得k=—ly

•・・直线BC的解析式为y=-冗+4,

/.+4),

11

PG=一一t9+r+4+r-4=一一t9+2t,

22

—/+21)

m=二-------=--(r-2)2+-'

363

...当r=2时，加有最大值此时尸(2,4)；

(3)存在这样的点。、N,使得以尸、D、N四点组成的四边形是菱形，理由如下:

.0(0,1),P(2,4),

:.DP=y/13,

当。P为菱形的边时，PN//DQ,PN=DQ=DP=713,

：.阳2,4+疝)或(2,4-屈)；

当。尸〃NQ,尸。=尸。时，

rrv

点N和点P关于y轴对称轴，则此-2,4)；

当。P为菱形的对角线时，QNLDP交于H点、,

血力尸二理,

过P点作PK〃x轴交y轴于点K,则K(0,4),

7TT

.•.尸K=2,KD=3,

3

...sinZKPD=-=,

岳

ZKPD+ZKDP=ZDQH+ZKDP=90°,

/.ZKPD=ZDQH,

713

sinZ2DH=—=^-=-1=>

DQDQV13

..DQ=^,则N的纵坐标为4T=?,.1N2,二

666ko

综上所述：N点坐标为（2,4+a）或（2,4-屈）或（-2,4）或（吟）.

26.（本小题满分12分）综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角