2024年中考数学试题专项汇编：图形的相似

（12）图形的相似

一、单选题

1.[2024年重庆中考真题]若两个相似三角形的相似比为1:4,则这两个三角形面积的

比是（）

A.l:2B.l:4C.l:8D.l:16

2.[2024年内蒙古赤峰中考真题]如图，中，AB=BC=1,NC=72。.将

△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C',点8与点3是对应点，点C与点C是对应

点.若点C恰好落在3c边上，下列结论：①点3在旋转过程中经过的路径长是工兀；

5

②B'AIIBC；③BD=C'D；④四=殁.其中正确的结论是（）

ACBD

A.①②③④B.①②③C.①③④D.②④

3.[2024年湖南中考真题]如图，在△回（7中，点。，E分别为边AB,AC的中点.下

列结论中，错误的是（）

A.DEHBCB.AADE^AABCC.BC=2DED.5A/\4ADUFtL=-5A4Br

4.[2024年山东枣庄中考真题]如图，点E为，ABCD的对角线AC上一点，AC=5,

CE=1,连接OE并延长至点E使得EF=DE,连接5万，则5万为（）

57

A.-B.3C.-D.4

22

二、填空题

5.[2024年四川成都中考真题]如图，在RtzXABC中，ZC=90°,A。是△回（?的一

条角平分线，E为AD中点，连接班.若5石=5。，CD=2,则应＞=.

6.[2024年云南中考真题]如图，与交于点。，且若

OA+OC+AC1AC

——9则—•

OB+OD+BD2BD

7.[2024年湖北武汉中考真题]如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出

的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大

正方形ABCD.直线交正方形ABCD的两边于点E,F,记正方形ABCD的面积为

正方形MNPQ的面积为S?.若=（左＞1）,则用含左的式子表示业的值是

8.[2024年吉林长春中考真题]如图，A5是半圆的直径，AC是一条弦，。是AC的中

点，于点E,交AC于点R05交AC于点G,连结AT＞.给出下面四个结

论：

®ZABD=ZDAC；

②AF=FG；

③当。G=2,Gfi=3时,EG=母

2

④当6£>=2A。，AB=6时，△DEG的面积是G.

上述结论中，正确结论的序号有，

9.[2024年吉林中考真题]如图，正方形ABCD的对角线AC,相交于点。，点E

是Q4的中点，点R是。。上一点.连接所.若NFEO=45。，则空的值为

BC

三、解答题

10.[2024年河北中考真题]如图，的面积为2,A。为边上的中线，点A,

G，C2,C3是线段CC4的五等分点，点A,R,2是线段的四等分点，点A是

线段8片的中点.

（1）△AG，的面积为；

（2）△耳。4鼻的面积为.

11.[2024年湖北中考真题]如图，矩形ABCD中，E,R分别在AD,BC上,将四边

形ABEE沿所翻折，使E的对称点尸落在A3上，R的对称点为G,PG交BC于H.

(1)求证：△££＞尸

(2)若P为中点，且AB=2,BC=3,求G”长.

(3)连接BG,若P为C。中点，”为中点，探究BG与A3大小关系并说明理由.

12.[2024年贵州中考真题]综合与探究：如图，NAO6=90。，点尸在NA03的平分线

上，PALQ4于点A

⑴【操作判断】

如图①，过点P作PCLOB于点C,根据题意在图①中画出PC,图中NAPC的度数

为度；

(2)【问题探究】

如图②，点M在线段AO上，连接过点尸作尸交射线05于点N,求

证：OM+ON=2PA；

(3)【拓展延伸】

点航在射线A。上，连接PM,过点P作交射线08于点N,射线;W与射

线P0相交于点E若ON=3OM,求的值.

OF

13.[2024年四川广元中考真题]数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再

创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中

对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形(如图1)产生了如下问题，请同学们帮他

解决.

cc

在△ABC中，点。为边A3上一点，连接CD.

(1)初步探究

如图2,若NACD=4,求证：AC2^ADAB；

(2)尝试应用

如图3,在(1)的条件下，若点。为A5中点，BC=4,求的长；

(3)创新提升

如图4,点E为中点，连接BE,若NCDB=NCBD=30°,ZACD=NEBD,

AC=2A/7,求BE的长.

14.[2024年四川南充中考真题]如图，正方形ABCD边长为6cm,点E为对角线AC

上一点，CE=2AE,点尸在边上以lcm/s的速度由点A向点3运动，同时点。在

边上以2cm/s的速度由点C向点3运动，设运动时间为/秒(0<?<3).

(2)当△EPQ是直角三角形时，求才的值.

(3)连接AQ,当tanZAQE=；时，求△AEQ的面积.

15.[2024年内蒙古赤峰中考真题]数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组

讨论，提出探究问题.如图1,在△ABC中，AB=AC,点。是AC上的一个动点，过

点。作DELBC于点E,延长ED交心延长线于点R

图2

请你解决下面各组提出的问题:

(1)求证：AD=AF-,

DF.ADJV，/与

(2)探究——与——的关系;

DEDC

某小组探究发现，当处=J■时,DF2.当处8

；

DC3~DE3DC5

请你继续探究：

①当处=1时，直接写出空的值；

DC6DE

②当42=生时，猜想小的值(用含加，〃的式子表示)，并证明;

DCnDE

(3)拓展应用：在图1中，过点R作EPLAC,垂足为点P,连接CT,得到图2,

当点。运动至魔时‘若卷子直接写出器的值(用含如〃的式

子表示).

参考答案

1.答案：D

解析：两个相似三角形的相似比为1:4,.•.这两个三角形面积的比是俨：42=1：16,

故选：D.

2.答案：A

解析：AB=BC,NC=72。，

ZBAC=ZC=72°,ZABC=180°-2ZC=36°,

由旋转的性质得ZAB'C=ZABC=36°,AB'AC=ABAC=72°,ZAC'B'=ZC=72°,

ZAC,B,=ZADC=72°,AC'=AC,

ZACC=ZC=72°,

NC4c=36。，

ZCACZBAC=36°,

N5'AB=72°—36°=36°,

由旋转的性质得A"=AB,

ZABB'=ZAB'B=1(180°-36°)=72°,

①点3在旋转过程中经过的路径长是当匚=」兀；①说法正确;

1805

②ZB'AB=ZABC=36°,B'AIIBC；②说法正确；

(3)ZDCB=180°-2x72°=36°,

ZDC'B=ZABC=36°,

:.BD=CD；③说法正确；

④ZBB'D=ZABC=36°,ZB'BD=ABAC=72°,

片=盟.④说法正确;

综上，①②③④都是正确的，

故选：A.

3.答案：D

解析：点。，E分别为边AB,AC的中点,

DEHBC,BC=2DE,故A、C正确；

DEHBC,

AADE^AABC,故B正确；

△ADE^AABC,

二。/与

S-BCVBC)l2j4

SAADE=S^ABC'故D错误；

故选：D.

4.答案：B

解析：延长。歹和A5,交于G点,

四边形ABC。是平行四边形，

DCHAB,OC=即DC//AG,

△DECS/\GAE

CEDEDC

"AE~GE~AG'

AC=5,CE=1,

AE=AC-CE=5-1=4,

CEDEDC1

AE^GE~AG~^

DEDE_1

又EF=DE,

EF+FG~^

EF_1

~FG~3

DCDC

DC=AB,

AG-AB+BG4

DC1

----——,

BG3

EFDC1

"FG~BG

BGFG3

"AG"£U"4

AE//BF,

△BGFs/\AGE,

BFFG3

"AE~EG~4

AE=4,

BF=3.

故选：B.

5.答案：姮担

2

解析：连接CE,过E作EF_LCD于E设=EF=m,

ZACS=90°,E为AO中点，

CE=AE=DE,又CD=2,

CF=DF=-CD=1,ZEAC^ZECA,NECD=NEDC,

2

ZCED=2ZCAE,AC=2EF=2m,

BE=BC,

ZBEC=NECB,则NB£C=N£DC,又/BCE=NECD,

Z\CBE^Z\CED,

,NCBE=NCED=2NCAE,

CDCE

CE2=CDCB=2(2+x)=4+2x,

则根2=EF~=CE2—CT?=3+2%；

A。是△ABC的一条角平分线，

ZCAB=2ZCAE=ZCBE,又ZACB=ZBFE=90。，

Z\CAB^>Z\FBE,

ACBC

一而一赤’

二g=3,则2和2=(X+1)(X+2),

2(3+2%)=(x+l)(x+2),即%—4=0,

解得％=姮±1(负值已舍去)，

2

故答案为：姮口.

6答案:I

解析：AC//BD,

:.△ACOs^BDO,

ACOA+OC+AC1

BD~OB+OD+BD~2

故答案为：1

k2+l

7.答案:

(左-1)2

解析：作EG_L4V交⑷V于点G,不妨设=设EG=1,

B]C

四边形MNPQ是正方形，

.-.ZPMN=45°,

:.ZEMG=NPMN=45。,

:.EG=MG=1,

在△AEG和△ABN中，NEAG=NBAN,ZAGE=ZANB=90。,

:.△AEGS/\ABN,

AEEG_AG

"AB~BNAN?

BE=kAE(k>1),

AB=AE+BE=AE(k+1),

.AE-1AG1

"AB~BN~AN~k+lf

:.BN=l+k,

由题意可知，AABNqADAM,

:.BN=AM=l+k,

AG=AM—GM=1+左一1=左,

.-GAGk1

"AN~AM+MN~k+l+a~k+1'

ci—k~~1?

:.AN^AG+GM+MN^k+l+k2-l^k2+k,

正方形ABC。的面积S[=A§2=BN2+AN2=(k+1)2+(/+幻2=伏+1)2伏2+1),

正方形M2VPQ的面积§2=MN2=a-=(k2-lf=(k+V)2(k-l)2,

.S1=((+1)2伏2+1)

"S2—a+1)2(左一1)2，

k>l,

.•.(左+1)2WO,

.Sj_F+i

一寸(01)2・

8.答案：①②③

解析：如图：连接。C,

B

。是AC的中点,

AD=DC9

ZABD=ADAC,即①正确；

AB是直径，

ZADB=90°,

ZZMC+ZAG£>=90°,

DE±AB

ZBDE+ZABD=90°,

ZABDADAC,

ZBDE=ZAGD,

DF=FG,

ZBDE+ZABD=90°,ZBDE+ZADE=90°,

ZADE=ZABD,

ZABD=ZDAC,

ZADE^ZDAC,

AF=FD,

AF=FG,即②正确；

在△ADG和△BQA,

ZADG=ZBDA=90°

ZDAG=ZDBA'

Z\ADG^Z\BDA,

ADGDnnADGD

BD~AD'DG+BGAD

AD

—,即AD=丽,

2+3AD

AG=VAD2+DG2=V14,

AF=FG,

FG=-AG=—,即③正确；

22

如图：假设半圆的圆心为。，连接OD,CO,CD,

BD=2AD,AB^6,。是AC的中点，

AD=DC=^AB,

ZAO。=ZDOC=60°,

OA=OD=OC,

AAOD,Z\ODC是等边三角形，

OA^AD=CD^OC^OD=6,即ADCO是菱形，

NDAC=ZOAC=-ZDAO=30°,

2

ZADB=90°,

tanADAC=tan30°=,即且=空，解得：DG=20

AD36

SAADG=|AD-DG=1X6X2V3=6A/3,

AF=FG,

故答案为：①②③.

9.答案：|

解析：正方形ABC。的对角线AC,30相交于点

ZOAD=45°,AD=BC,

点E是Q4的中点，

OE_1

~OA~2,

NFEO=45。,

EF//AD,

△OEFsAOAD,

EFOE1EF1

——=——=-,即nn——=-,

ADOA2BC2

故答案为：

2

10.答案：（1）1

（2）7

解析：（1）连接与〃、53、4G、B©、CR,

△ABC的面积为2,AD为边上的中线，

一SAABD==5^AABC=万义2=1,

点A,G，。2，。3是线段CC4的五等分点，

AC=AC,=QC2=C2c3=C3c4=1cc4,

点A,2，3是线段的四等分点，

AD=AD,=D、D,=D,D、=—DD^，

11ZZ343

点A是线段5月的中点，

AB=AB】=—BB],

在△ACR和△ACO中，

AQ=AC

<NC[ADi=ZCAD,

ADX=AD

AAQD^AACDfSAS),

S^ACD=S^ACD=1，ZCjDjA=ZCDA,

△AC1。的面积为1,

故答案为：1;

(2)在△A与0和△A3。中，

ABX=AB

<HAD]=ZBAD,

AD]=AD

：.△ABRg△ABD(SAS),

'''SAABR=S^ABD=1，/BRA=/BDA,

ZBDA+ZCDA=1SQ0,

ZB1D1A+ZC1DIA=18O°,

.•・G、D、三点共线，

…&AB1G=+S^XAGA=1+1=2,

ACX=CjC2=C2c3=C3C4,

•V―4Q=4x2=8,

••UaAB1c4-

AD】=DXD2=D2D3,S^ABR=1，

-e-S△9乌=3s△A8Q=3x1=3,

在△AG2和△ACD中，

2=3=也，ZC3AD3=ZCAD,

ACAD33

△C3AD3s△CAD,

一工。3世=9Se。=9x1=9,

44

=

,，,^AAC4D3~SM3AD3=§x9=12,

…S△用C4R=^△AC4D3ZA瓦A—S.ABG=12+3—8=7

「.△与C'A的面积为7,

故答案为：7.

11.答案：(1)见详解

3

(2)GH=-

4

(3)AB=娓BG

四边形ABC。是矩形，ZA=ZD=ZC=90°,/.Zl+Z3=90°,E,R分别在

AD,BC上,将四边形ABEE沿所翻折，使A的对称点P落在。C上，

ZEPH=NA=90°,Zl+Z2=90°,二Z3=Z2,/.△EDPs&CH；

四边形ABCD是矩形，:.CD=AB=2,AD^BC=3,ZA=ZD=ZC=90°,P

为CO中点，DP=CP=-x2=l,^EP=AP=x,ED^AD-x=3-x,在

2222

入△EOP中，EP=EDr+DP,BPx=(3-x)+1,解得x=；,

54FDFP

EP=AP=x=-,ED=AD-AE=~,Z\EDP^Z\PCH,——=——，

33PCPH

45

,3=2,解得p“=9,PG=AB=2,GH=PG-PH=~；

1PH44

(3)如图：延长AB,PG交于一点M,连接AP,E,歹分别在A£>,BC上,将四

边形ABFE沿跖翻折，使A的对称点P落在CD上，.•.”，川,8GL直线E尸，

BG//AP,AE=EP,:.ZEAP=ZEPA,:.ZBAPZGPA,二△MAP是等腰三角

形，MA=MP,P为中点，.•.设DP=CP=y,:.AB=PG=CD=2y,H为

中点，BH=CH,ZBHM=NCHP,ZCBM=ZPCH,

：.AMBH^APCH(ASA),

M

i3

：.BM=CP=y,HM=HP,:.MP=MA=MB+AB^3yHP=-PM=-y,在

RtZiPCH中，CH=dPH2-PC?=¥「，:.BC=2CH=0,AD=BC=45y,

在RtAAPD中，AP=^JAD2+PD2=寂y,BG//AP,△BMG^/XMAP,

世=也<：.BG=0,.

嗡瓜’‘ABMBG.

APAM33'=a=

Ty

12.答案：（1）画图见解析，90

（2）见解析

2T8

（3）一或一

33

解析：（1）如图，PC即为所求,

ZAOB90°,PA±OA,PCLOB,

二四边形Q4PC是矩形，

NAPC=90。，

故答案为：90；

(2)证明：过尸作PCL05于C,

由(1)知：四边形Q4PC是矩形，

点尸在NAOB的平分线上，PALOA,PC±OB,

PA=PC,

二矩形Q4PC是正方形，

OA=AP=PC^OC,ZAPC=90°,

PNLPM,

ZAPM=Z.CPN=90°-ZMPC,

又ZA=/PC7V=90°,AP=CP,

AAPM^AC/W,

AM=CN,

OM+ON=OM+CN+OC

=OM+AM+AP

^OA+AP

=2AP；

(3)①当M在线段AO上时，如图，延长NM、相交于点G,

由(2)知QW+ON=2Q4,

设OAf=x,贝1JON=3x,AO^PA=2x,

AM=AO-OM=x=OM,

ZAOB^ZMAG^90°,ZAMG=ZOMN,

/\AMG^Z\OMN（ASA）,

AG—ON=3x，

ZA（9B=90°,PA1OA,

AP//OB,

△ONFS/XPGF,

.OFON3x_3

"~PF~~PG~3x+2x-丁

PF5

----——,

OF3

.OP5+38

一而一亍-3；

②当/在AO的延长线上时，如图，过尸作尸CLOfi于C,并延长交MN于G

由（2）知：四边形Q4PC是正方形，

OA=AP=PC=OC,ZAPC^90°,PC//AO,

PN±PM,

ZAPM=Z.CPN=90°-ZMPC,

又ZA=NPCN=9Q。,AP=CP,

AAPM^ACP/V,

AM=CN,

ON-OM

=OC+CN-OM

=AO+AM-OM

=AO+AO

=2AO,

ON=3OM=3x

AO=x,CN=AM=2x,

PC//AO,

Z\CGN^Z\OMN,

CGCNRnCG2x

OMONx3x

...C”G=­2x,

3

PC//AO,

△OMFS/\PGF,

.OF_0M_X_3

"~PF~~PG-J-5'

x+—x

3

PF5

•----=-9

OF3

,OP5-32

一而一亍-

综上，”的值为2或号.

OF33

13.答案：(1)证明见解析

(2)CD=242

(3)A/21

解析：

14.答案：(1)见解析

(2)6-26秒或2秒

(3)4cm2

解析：(1)证明：四边形ABCD是正方形,

:.NPAE=NQCE=45。.

CE=2AE,AP=t,CQ—2t,

.AEAP1

"'CE~'CQ^2,

:./\AEP^/\CEQ.

(2)过点E作石于点M,过点E作ENLBC于点N.

由题意知AC==6&,

CE=2AE,

AE=2V2,

ZPAE=45°,

AM=ME=2,EN=CN=4,

由已知，

AP=t,CQ=2t,BQ=6—2t,MP=\t-?\,BP=6-t,QN=\BN-B^=\2t-4\.

EP?=EM2+MP2,即ED?=2?+(2—=产—4/+8,

PQ?=BP?+BQ2,gpPg2=(6-02+(6-202=5r-36z+72,

EQ2=EN2+NQ2,即EQ2=4?+(2t-4)2=4z2-16?+32.

①当NEPQ=90。时，WEQ1=EP~+PQ2.

即4/一16f+32=/_4f+8+5〃-36f+72,整理得「一12f+24=0.

解得「6-2百，^=6+2百(不合题意，舍去).

②当NPEQ=90。时，＜PQ1=EP-+EQ2.

即5产一36。+72=/―4Z+8+4/—16。+32,整理得f—2=0,解得y2.

③当NPQE=90。时，＜EP2=PQ2+EQ2.

即产—4/+8=5»—36/+72+4产一16/+32,整理得产-6/+12=0,该方程无实数解.

综上所述，当△EPQ是直角三角形时，/的值为6-2百秒或2秒.

(3)过点A作交CB的延长线于点E连接FE交AQ于点G.

AF±AC,ZACF=45°,

:.AF=AC.

AEAE_1

~AC~~AF~3,

,tanNAFE=—.

3

tanNAQE=—,

,ZAFE=ZAQE,

ZAGF=ZEGQ,

AAGFS/\EGQ,

AGGF

~EG~~G