2024年高考考前押题密卷数学（新高考九省专用1）

2024年高考考前押题密卷01【新高考九省专用】

高三数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多

商场都在搞“618”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售

价X（单位：元）和销售量y（单位：百件）之间的一组数据（如表所示），用最小二乘法求得y关于X

的线性回归方程是9=0.25x+4,预测当售价为45元时，销售量件数大约为（）（单位：百件）

X2025303540

y578911

A.12B.12.5C.13D.11.75

2.已知耳（-1,0）,区（L0）是椭圆M的两个焦点，过点弱且垂直于无轴的直线交椭圆M于A,8两点，且

|旗|=3,则椭圆”的离心率为（）

A.1B.3C.-D.交

2232

3.设正项等比数列｛%｝的前〃项和为S“，％=1,且-%，%，%成等差数列，则邑024与%024的关系是（）

A.S2024=2的024一1B.,^2024=2a2024+1C.,^2024=4a2024一3D.152024=4a2024+1

4.设“、人是两条不同的直线，口、夕是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若aUb,alia,则B.若;_L，，a±a,bl/3,则<z_L万

C.若e_L£,a，［3,则q//aD.若a_L分，alia,贝！

5.第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行，是中国西部

第一次举办世界性综合运动会.该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18个大项，269个小项，其中，

篮球项目比赛、热身和训练在凤凰山体育公园等8个体育场馆举行.将5名志愿者分配到3个场馆，每个

场馆至少有1名志愿者，且每名志愿者只去一个场馆，则志愿者甲、乙到同一场馆的概率为（）

A.1B.c.』D.色

5102525

6.已知圆O：x2+y2=l,尸为直线/：元+y-4=0上的一个动点，过尸作圆。的切线，切点分别为A,B,

若直线抬、尸8关于直线/对称，贝。cosNAPB=（）

A.也D,且

B■----

7-134

且cos[a-：兀

7.已知=>/2cos2a,贝UsinCCH-----

4

A.一反B.—五「不D,巫

4444

22

8.已知双曲线C:]-2=1（“>0,6>0）的右焦点为EA是C的一条渐近线上位于第一象限内的一点，延长线

ab

段AF与C的另一条渐近线交于点3.若。为坐标原点，|AB|=2&|Q4|,|O@=3|Q4|,则C的渐近线方程

为（）

A.y=±3&xB.y=±-3XC.y=±及XD.y=±^-x

4"3"2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（）

A.若（l+i）z=-i,则回=1

B.对任意复数Z],z2,有|空2|=团匕|

C.对任意复数Z],Z2,有Z「Z2=Z「Z2

D.在复平面内，若加={2|2-2|<2},则集合M所构成区域的面积为6兀

10.已知函数/（x）=sin（8+?）（0>0,1勿<兀）满足-/（弓）=/停）=/（1），且/（X）在[上单调

递减，贝I（）

JTJT

A.<p=-B./（x-五）为奇函数

C./⑴的对称轴为片方+今，LeZD.在[0,可上有3个零点

11.已知定义在R上的奇函数连续，函数/(X)的导函数为尸(%).当x>0时，/(%)COS%>

/(x)siiu+e-/(%),其中e为自然对数的底数，贝I]()

A.y(x)在R上为减函数B.当尤>0时，/(%)<0

C.4]>/田D.仆)在R上有且只有1个零点

第H卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.的展开式中第2项的二项式系数为6,则其展开式中的常数项为.

3兀

13.在四棱锥尸—A3co中，已知平面PAD_L平面A2CDA3=B£>=20,AO=4,PA=P。，ZBCD=—,

4

若二面角尸-AB-。的正切值为如，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为.

3

14.1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角

形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120。时，所求的点为三角形的

正等角中心(即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120。)，该点称为费马点.已知.ABC中，其

中NA=60。，BC=1,尸为费马点，则P3+PC-外的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知函数/(x)=ov-lnx,aeR.

⑴若函数*x)=/(x)-f有两个极值点，求4的取值范围；

⑵若曲线y=/(x)在点化处的切线与V轴垂直，求证：f(x)<e+—.

16.(15分)近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了A,8两个健身

中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.

(1)该校学生甲、乙、丙三人某周均从A,8两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲、乙、丙该周选择

1I2

A健身中心健身的概率分别为;求这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率；

(2)该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个,

其中周六选择A健身中心的概率为J.若丁周六选择A健身中心,则周日仍选择A健身中心的概率为!；

24

若周六选择8健身中心，则周日选择A健身中心的概率为5.求丁周日选择3健身中心健身的概率；

(3)现用健身指数左10])来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k值低于1分的

学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其左值低于1分的概率为0.02.

现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直

至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过〃.若抽取次数的期望值不超过23,求w

的最大值.

参考数据：0.9829~0.557,0.9830-0.545,0.9831~0.535.

17.(15分)如图所示，三棱柱ABC-A2G所有棱长都为2,NBiBC=6Q,。为中点，D为与AG

交占

八、、•

⑴证明：CD//平面AO4；

⑵证明：平面平面A片G；

(3)若直线DB,与平面AO4所成角的正弦值为2姮，求二面角A-Cq的平面角的余弦值.

13

18.(17分)已知椭圆E：]+胃=1伍＞。＞0)的离心率为A,3分别是E的左、右顶点，尸是E上

异于A,8的点，△APB的面积的最大值为20.

⑴求E的方程；

(2)设O为原点，点N在直线x=2上，N,尸分别在x轴的两侧，且ZWB与△阳尸的面积相等.

(i)求证：直线QV与直线AP的斜率之积为定值；

(ii)是否存在点尸使得二△NBP,若存在，求出点尸的坐标，若不存在，说明理由.

19.(17分)定义两个"维向量％=(工1，%,2,…,尤切)，%=(%，丐,2,…,尤的数量积

2

aJ%=xitlxji+xi2xJ＜2+•••+xinxjn(z,jeN+),a..a,=a,,记灯为生的第A个分量(左W〃且左eN+).

如三维向量卬=(2,1,5),其中q的第2分量％2=1.若由九维向量组成的集合A满足以下三个条件：①

集合中含有几个“维向量作为元素;②集合中每个元素的所有分量取。或1；③集合中任意两个元素可，

%,满足(T为常数)且q」勺=1.则称A为T的完美〃维向量集.

⑴求2的完美3维向量集；

(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；

(3)若存在A为T的完美“维向量集，求证：A的所有元素的第%分量和1=7.

2024年高考考前押题密卷01【新高考九省专用】

数学•全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多

商场都在搞“618”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x

（单位：元）和销售量y（单位：百件）之间的一组数据（如表所示），用最小二乘法求得V关于X的线性

回归方程是9=0.25X+&,预测当售价为45元时，销售量件数大约为（）（单位：百件）

X2025303540

y578911

A.12B.12.5C.13D.11.75

【答案】D

【分析】求出，亍，根据回归直线方程必过样本中心点求出从而得到回归直线方程，再代入x=45计

算可得.

-1—1

【详解】因为尤=^（20+25+30+35+40）=30,y=-（5+7+8+9+ll）=8,

所以回归直线过点（30,8）,故8=0.25x30+。，即6=0.5,所以R0.25x+0.5.

将x=45代入5>=0.25x+0.5中，得9=0.25x45+0.5=11.75.

故选：D.

2.己知耳（-1,0）,区（l,o）是椭圆M的两个焦点，过点K且垂直于X轴的直线交椭圆M于两点，且

\AB\=3,则椭圆”的离心率为（）

A.|B.且C.-D.—

【答案】A

【分析】设出椭圆方程，根据给定条件，列出方程组求出椭圆长半轴长即可得解.

22

【详解】依题意，设椭圆方程为1+与=1（。>6>0）,则/一/=1,

ab

x=l

A22h2

直线AB:x=l,由（fy2,解得|y|=一，则---=3,于是a=2,

=

-7H—T1aa

[a2b2

所以椭圆M的离心率为3.

故选：A

3.设正项等比数列｛%｝的前〃项和为S“，4=1,且-%，出，％成等差数列，则$2024与％。24的关系是（）

a

A.$2024=2a2024—1B.邑024=2a2024+1C.邑024=402024~D.邑024=^2024+1

【答案】A

【分析】先利用等比数列的通项公式列方程求公比，然后求出$2024和的3观察它们之间的关系即可.

【详解】设正项等比数列｛%｝的公比为9，q>0

因为-生，电，“4成等差数列，所以2a2=-4+%,

所以2g=-q2+g3,解得q=2,

所以s=一产）=22024-1,«=a/。”=22023,

2o24'I2024

1-4

贝11邑024=2。2024—.

故选：A.

4.设。、人是两条不同的直线，口、夕是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若a//b,alia,则6//arB.若aJ_b，a±ar,b1（3,则tzJ■尸

C.若a_L£,aVp,则q//aD.若a_L〃，alia,贝

【答案】B

【分析】利用空间直线与平面，平面与平面的位置关系判断ACD,利用空间向量判断线面位置关系，从而

判断B,由此得解.

【详解】对于A,若a//b,alia,则有可能6ua,故A错误；

对于B,若“，c,b，0,则直线。的方向向量a,6分别为平面％力法向量，

又。_!_♦，即a_L6，所以。，尸，故B正确;

对于C,若cJ•尸，aY/3,则有可能aua,故C错误；

对于D,若C6,alia,则有可能au£,故D错误.

故选：B.

5.第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行，是中国西部

第一次举办世界性综合运动会.该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18个大项，269个小项，其中，篮

球项目比赛、热身和训练在凤凰山体育公园等8个体育场馆举行.将5名志愿者分配到3个场馆，每个场馆

至少有1名志愿者，且每名志愿者只去一个场馆，则志愿者甲、乙到同一场馆的概率为（）

A.1B.Ac.AD.A

5102525

【答案】D

【分析】按不同的分组情形分类讨论，利用排列、组合数求出所有分配方法，再利用捆绑法求出甲、乙到

同一场馆的情况，代入古典概型的概率公式计算即可.

【详解】5名志愿者分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为3,1,1或2,2,1,

当分为3,1,1时，有C；A；=60（种）分配方法，

C2c2

当分为2,2,1时，有（种）分配方法，即共有60+90=150（种）分配方法，

其中志愿者甲、乙到同一场馆，将甲、乙看作一个整体，情况有C；A；+C；A；=36（种）分配方法，

故志愿者甲、乙到同一场馆的概率为霁=微，

故选：D

6.已知圆O：x2+/=l,尸为直线/：尤+y-4=0上的一个动点，过P作圆。的切线，切点分别为A、B,

若直线B4、尸8关于直线/对称，贝lJcosNAP3=（）

B.-C.也D.a

A旦

7434

【答案】B

【分析】由题意可得OP，/,ZAPO=NBPO,求出|。尸|,再结合二倍角公式即可得解.

【详解】由题知B4、尸8关于直线/：x+>-4=0对称，知。尸

|0+0-4|

则|。尸|==2"网=1,

记ZAP3=2a,贝iJZAPO=N2PO=6z,

OA

贝ljsina==,所以cosZAPB=cos2a=1-2sin2a=—.

OP44

7.已知且cos|a-：71兀

=拒cos2a,贝UsinCCH-----

44

A.一巫B.一走「不D,巫

x_-.--------

4444

【答案】D

【分析】利用两角差的余弦公式和二倍角的余弦公式化简求出cosC+；J,然后利用同角三角函数基本关

求解即可.

71

【详解】因为cos(a-：=V2cos2cr,所以COSCOS—+sincrs.m7—1=^2(cos2a-si/a),

44

所以cosa+sina=2(cosa-sina)(coso+sina),

>0,所以cosa—sina=',所以J5cos71

又ael0,^-1,所以cosa+sina(XH-----

242

713兀>/14

即cos|a+(一7112兀

一_V1,又a+1£,所以sina1-cosa+—

44,4I44

故选：D

8.已知双曲线C:=1(a>0*>0)的右焦点为£A是C的一条渐近线上位于第一象限内的一点，延长线

段”与。的另一条渐近线交于点瓦若。为坐标原点，\AB\=2y/2\OA\]OB\=3\OA\,则。的渐近线方程为

)

A.y=±逑XB.二土逑XDy=±x

C.y=±y/2x-4

43

【答案】D

【分析】由题意，可求得OA_LA氏tanZAO8=2四，进而计算tanNAOF=@,即可求得结果.

2

【详解】Efe|AB|=2V2|ft4|,|OB|=3|ft4],<|OA|2+|A5|2=|OB|2,

所以OA_LAB,tanAAOB=272,

由NAO3=2NAOF,得2tan/?f=2叵,解得tanNAOF=变或tanNAO尸=一后(舍去),

1-tan-ZAOF2

所以9=1,从而C的渐近线方程为丫=±受工.

a22

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有()

A.若(l+i)z=-i,则目=1

B.对任意复数Z],z2,有|斗2|=|21Hz21

C.对任意复数ZI,Z2,有Z「Z2=Z「Z2

D.在复平面内，若"={z||z-2区2},则集合M所构成区域的面积为6兀

【答案】BC

【分析】借助复数的运算、共朝复数、复数的模及复数的几何意义逐项判断即可得.

—i—ix(l—i)—1—i

【详解】对A：由(l+i)z=-i,故z

-i+i-(l+i)(l-i)2

故A错误;

对B：设4=〃+历(a,Z?£R)、z2=c+di(^c,dGR),

贝I2囚=|(〃+/)(0+片)|=\ac-bd+(^ad+bc^='(〃。一切丁+(〃d+Z?c『

=Va2c2—2abcd+b2d2+a2d2+2abcd+Z72c2=V(22c2+&2rf2+c^d1+Z72c2,

2222>

14HZ21=J/+J2.&2+d?=^a+b^c+dj=，〃2。2+/储+〃2/+/。2,

故卬2|=闾忆|,故B正确;

对C：设4=。+历(a,Z?£R)、z2=c+di(c,deR),

有Zj-z2={a+bi）{c+di）=ac-bd+{ad+bc）i,则21a=ac-bd-^ad+bc）i,

Zj-z2-^a-bi）（c-di）-ac-bd-^ad+bc^\,故4乌=z1-z2,故C正确；

对D：g;z=x+yi（x,yeR）,则有（x-2j+944,

集合M所构成区域为以（2,0）为圆心，半径为2的圆，

故S=兀产=4兀，故D错误.

故选：BC.

10.己知函数/（x）=sin（ox+?）（°>0,101<兀）满足=/（2，且/（X）在已鼻上单调

递减，则（）

7TJI

A.（p=-B./（尤-3）为奇函数

C.〃尤）的对称轴为犬=三+容keZD.〃尤）在［0,可上有3个零点

【答案】AC

【分析】先通过条件推知［，。］是“尤）的对称中心，以及x=A是〃尤）的的对称轴，然后结合〃尤）在

］，鼻上单调递减得出/111=1，/（x）在］上单调递减，再推知〃x）=si“2x+。，至此可直接验

证A正确，而验证是否为0即可判断B,分别解方程sin（2x+5）=1和sin］2x+1|=0即可判断C

和D.

【详解】由于〃x）在59上单调递减，=故3］+今］=:对应的点与°）是〃尤）的对

称中心，即/⑶=0.

同样地由于在仁仁71兀2兀

上单调递减，故最小正周期T22

263

同时，由于对任意的实数〃，方程=a在一个形如［",〃+7）的区间上至多有两个根，且在有两个根的情

712兀

况下，这两个根的平均值/对应的直线x=%一定是“力的的对称轴，而/

3

2兀717171271Tl十，，一兀2兀兀兀1对应的直线无=£一定是/（元）

一=-+-<-+一<-+T,从而,故/=5工+a

32623223223

的的对称轴.

现在，由于R,。］是“X）的对称中心，X=V是〃x）的的对称轴，故》="是“X）的对称轴.而“X）在

K7T7t兀7171,T兀7171

上单调递减,——=---<—V—，故/1,“X)在上单调递减.

61261212321212,2

再由仁，。］是“力的对称中心，就知道J=所以』，故0咛=2.

\—J।D1.乙I

717T]JTJT

此时得到〃尤）=sin（2x+0）,代入/=1得sin―+^1=1,即^+9=5+2kn(kGZ).

1262

从而夕=m+2E（%cZ）,由烟＜兀知左=0,所以/="|,即/（x）=sin（2x+|J.

经验证，/（x）=sin（2x+：J满足条件.

然后逐一验证各个选项:

JT

我们已经推出夕=,，故A正确；

由/1危］=sin〔-尹知函数小哈］在x=。处有定义但不过原点，从而不可能是奇函数,

B错误;

由于，（刈=1当且仅当sin（2x+g］=1,即+T=伏eZ）,即龙="+，（％eZ）,故〃x）的对称轴

是x=展+今（左eZ）,C正确;

由于〃x)=0当且仅当sin12x+；J=0,即2x+1=E(Z:eZ),即x=-F+"WeZ),故〃尤)在[0,可上的

62

全部零点是gIT,579r,只有2个，D错误.

36

故选：AC.

11.已知定义在R上的奇函数连续，函数/（尤）的导函数为尸（x）.当x＞0时,

f（x）cosx＞/（X）sinx+e-（x）,其中e为自然对数的底数，则（）

A.〃x）在R上为减函数B.当尤＞0时，/（x）＜0

C.D.在R上有且只有1个零点

【答案】BCD

[分析]根据题意，令g(x)=/(耳(cosx-e),利用导数求得g(无)在(0,+“)上单调递增，结合g["<g(爸，

得到可判定C正确；再由x>0时，g(x)>g(O),可判定B正确；根据“力是定义在R上

的奇函数，结合单调性和零点的定义，可判定D正确.根据/(尤)的单调性无法判断，可判定A错误.

【详解】由r(x)cosx>/(x)sinx+e-/''(x),可得解(xXcosx-e)-/(x)sinx>0.

令g(x)=/(»(cosx-e),

则当x>0时，(x)=f'(x)(cosx-e)-/(x)sinx>0,所以g(x)在(0,+s)上单调递增，

所以g0<g用，即后卜。(樗卜什一ej,

可得d3(-e)<m(-e),所以>/(g)所以C正确；

因为g(O)=/(O)(l-e)=O,所以当x>。时，g(x)>g(O)=O,

又因为cosx-e<0,所以当x>0时，/(x)<0,所以B正确；

由是定义在R上的奇函数，故当无<0时，/(%)=-/(-%)>0,

又因为/(。)=0,所以/(无)在R上有且只有1个零点，所以D正确.

因为/(力的单调性无法判断，所以A错误.

故选：BCD.

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.的展开式中第2项的二项式系数为6,则其展开式中的常数项为.

【答案】15

【分析】由题意先求出〃=6,再求出1的展开式的通项公式，令3r-6=0代入即可得出答案.

【详解】因为-尤2]"的展开式中第2项的二项式系数为6,所以C：=6,n=6,

X

Q-X2J的展开式的通项公式为&=晨(£|6'•(-/)，=(_iyqa-6,

令3r-6=0,得r=2,故展开式中的常数项为C，x(-1)2=15.

故答案为：15.

3兀

13.在四棱锥P—ABCD中，已知平面B4Z)_L平面ABCZ),AB=BZ)=20,AZ)=4,PA=PZ),ZBCD=一,

4

若二面角F-AB-。的正切值为逅，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为.

3

■田今工、64»,64

【答案】―

【分析】分别取AD、A3的中点Q、R,连接PQ,PR,QK,即可证明尸。1平面ABCD,从而得到PQSA8,

再由即可得到平面PQR,从而得到乙次。为二面角尸-AB-。的平面角，即可求出PQ,

又三棱锥尸-丽外接球的球心。在直线尸。上，求出三棱锥尸-4犯外接球的半径，即可得到外接球的表

面积，再由A、B、C、D四点共圆，即可得到三棱锥P-ABD的外接球即为四棱锥P-ABCD的外接球,

从而得解.

【详解】分别取AD、AB的中点Q、R,连接R2,m,QR.

因为上4=即，所以

因为平面PAD_L平面A3CD,平面RlDc平面ABCD=AD,PQu平面PAD,

所以尸。1平面ABCD,RQu平面ABCD,ABU平面ABCD,所以尸Q，QR,PQ^AB,

因为A8=3D=2A/2,AD=4,

所以钻2+即2=AO?,所以会工.，

因为Q,R分别为"》，回的中点，所以QR〃B£>,所以ABLQR,

又PQQR=Q,「。,。氏(=平面尸。尺，所以平面尸QR,

又PRu平面尸。尺，所以

所以ZPRQ为二面角P-AB-D的平面角，所以tan/PR。="=1,

RQ3

因为RQ=：3£>=及，所以尸。=空，

23

所以三棱锥P-ABD外接球的球心。在直线尸。上，由之叵<2知。在线段PQ的延长线上.

3

设OQ=",则尸。+4=，屋+。。2,即手+d=J/+22,所以1=竿，

所以三棱锥尸-W外接球的半径为尸Q+d=¥，表面积为47r=?兀，

TT37r

因为/BAZ)=—,ZBCD=—,即NS4D+N3C£>=7I,

44

所以A、B、C、£>四点共圆，

所以三棱锥尸-的。的外接球即为四棱锥P-ABCD的外接球，

故四棱锥P-ABCD外接球的表面积为方64兀.

、,64

故答案为：可兀

P

A

14.1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角

形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120。时，所求的点为三角形的正等

角中心(即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120。)，该点称为费马点.已知中，其中NA=60。,

BC=1,P为费马点、,则F6+PC—上4的取值范围是.

【答案】

_)

【分析】设尸A=»7,尸b=〃,PC=f,ZR4C=a(00<a<60。)，进而得到NPBA,NR4B,NPC4,然后在PBC

中通过余弦定理得到的关系式，在4上4c和，月钻中通过正弦定理得到4加的关系式和私”的关系式，

然后借助三角函数的性质和函数的性质求得答案.

【详解】如图，根据题意，设PA=m,PB=n,PC=t,Z7^4C=a(0°<<z<60°),则NP3A=<z,

+产_11/

ZPAB^ZPCA^60°-a,在』PBC中，由余弦定理有cosl2(T=------------=--na+ujrf+l…①

2nt2

C

AB

tm

在中，由正弦定理有—=sin（60。“）,

mn

在一尸4?中,由正弦定理有—=sin（60。-a）'

msina

t=---；--------r

sin（60°-a）

故〈,则加=二，由①，n+t=d府+1…②,

/nsin（60°-a）

n二-----；-------

、sina

且msin（60°-6Z）msina二厢不=,「工=而（60。-a）sina

H-----7--------r,

sinasin（60。-a）ntsinasin（60。一a）

设x=sin（6O°0,则_#cosa_；sina2/C1

21，由题意，tanae（0,j3）n-------e,+00,所

sinax=:----------\'tana

smatana27

以xe（0,+oo）,|fi]Jl+^y=x+-,由对勾函数的性质可知,『^^e［2,+co）=>0</〃4且

VmxVm3

11在（0,g］上单调递减，于是

由②，PB+PC—PA=Vm^TT—m=/2,一,易知函数=二I21一

+1+m7m+1+m

PB+PC-PAG[—,1）.

故答案为：［咛J）.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知函数"x）=ar-lnx,Q£R.

⑴若函数尸（%）=/（%）-f有两个极值点，求〃的取值范围;

⑵若曲线y=/（x）在点处的切线与y轴垂直，求证：〃x）<e，+:.

【答案】⑴仅立+00）（2）证明见解析

【分析】（1）根据条件知，/（X）有两个正的变号零点，即方程-2犬+6-1=0有两个不相等的正实根，有

A>0及韦达定理得到不等式，解出后验证即可；

（2）根据条件=可求得a=e,不等式转化为ex-e，<lnx+,，利用导数考察不等式左右两边函

<eJex

数的最值即可证明.

【详解】（1）由题，F（x）^ax-lwc-x2,

函数的定义域为（0,+e）,

Ff(x)=a---2x=-2r+-—(x＞0),....................................2分

因为尸(x)有两个极值点，

所以方程-2/+内_1=。有两个不相等的正实根，

设为，*2，且玉＜%2，得玉+%2=万＞。，

且△=。2_8＞0,得々＞20................................................4分

当0＜工＜为时，/'(%)＜0,产(%)单调递减；

当玉vxv%2时，尸单调递增；

当x>%时‘尸'(x)<0,F(x)单调递减.

所以尸(x)在兀=芭处有极小值，在尢=尢2处有极大值，

因此。的取值范围是(2近,+8)..............................................6分

(2)因为/(x)=ox—lnx,贝I]广(x)=,xl(x>0),

由题意知==得a=e,.....................................7分

故/(x)=ex-lnx,所以〃x)<e*+1，

§Pex—lux<eAH---,

ex

即ex-e*<lnx+—........................................................8分

ex

令g(x)=ex-e”(x>0),则g[x)=e-e*,

当x>l时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

当0<x<l时,g'(x)>0,g(x)单调递增,

所以g㈤侬=g(l)=e-e=°...............................................10分

1PY—1

令〃(x)=lnx+——,贝=—