空间中点、直线和平面的向量表示课件-2024-2025学年高二上数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系1.空间中点、直线和平面的向量表示教学目标学习目标数学素养1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量．1.数学抽象素养和空间直观素养.2.掌握平面法向量的求法．2.空间直观素养和数学运算素养.复习提问用空间向量解决立体几何问题新知引入

我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题，我们发现建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键.本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题.几何中点线面向量中？？？

我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．1.点的位置向量

思考1►►►如何用向量表示空间中的一个点的位置？OP

新知探究2.空间直线的向量表示式思考2►►►空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量来表示这条直线l?

用向量表示直线l，就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点．PaAB

点P在直线l上充要条件

新知探究新知探究进一步，如图，取定空间中的任意一点O，PaAB可以得到：点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①或②O①②式称为空间直线l的向量表示.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.

你能证明这个结论吗？新知探究3.空间平面的向量表示式思考3►►►一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如何用向量表示这个平面？新知探究我们知道，平面α可以由α内两条相交直线确定.

OPab

知新探究

进一步地，如图，取定空间中的任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使

abBCPAO

你能证明这个结论吗？我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．

新知探究知新探究

我们知道，给定空间一点A和一条直线l，则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的．由此得到启发，我们可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面．

注意：①一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行；②法向量一定是非零向量;③平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量;

新知探究1.空间中点、直线和平面的向量表示点→点+位置向量线→点+方向向量平面→点+法向量典例分析【例1】在空间直角坐标系中，已知A(3，0，0)，B(0，4，0)，C(0，0，2)，试求平面ABC的一个法向量.解：

归纳提升求平面法向量的步骤

【例2】已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M为AB中点.以D为原点，DA,

DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

⑴求平面BCC1B1的一个法向量；

⑵求平面MCA1的一个法向量．分析：⑴平面BCC1B1与y轴垂直，其法向量可以直接写出；yxzDABCD1A1B1C1M

⑴∵平面BCC1B1与y轴垂直，解：

典例分析【例2】已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M为AB中点.以D为原点，DA,

DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

⑴求平面BCC1B1的一个法向量；

⑵求平面MCA1的一个法向量．yxzDABCD1A1B1C1M⑵∵AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，∴M，C，A1的坐标分别(3,2,0)、(0,4,0)、(3,0,2)，

求平面的法向量，通常只需要求出平面的一个法向量．求直线的方向向量也是如此.

典例分析课堂小结1.空间中点、直线和平面的向量表示2.求平面法向量的步骤：点→点+位置向量线→