专题03 分段函数-学霸养成.2024年新高考数学热点难点特色专题练（解析版）

专题03分段函数一、单选题1.（2024届肃省兰州市第五十中学高三上学期开学考试）函数，则（

）A．4 B．2 C．8 D．6【答案】B【解析】由于，所以.故选B2．（2024届辽宁省六校高三上学期期初考试）已知函数，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，所以可能有以下两种情形：情形一：若，则，所以，解得(不符题意，舍去).情形二：若，则，所以,解得.综上有.故.故选A.3．（2024届湖南省株洲市第三中学高三上学期8月月考）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于函数在上单调，由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意，故在R上单调递减，所以，解得.故选D.4．（2024届吉林省通化市辉南县高三上学期月考）已知函数有最大值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于当时，，要使有最大值，则时，函数值的范围不超过可得解得.故选A5．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研）设函数则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，则不成立；当时，，由，得，得，与冲突，舍去，当时，，由，得，则，得．综上，满足的的取值范围是．故选B．6．（2024届百师联盟高三上学期联考）已知函数，若关于的方程有5个不同的实根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】

当时，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，做出的图像，如图所示，，即与共5个不等实根，由图可知时，或，即有两个根，若使与共5个不等实根，只需满足.故选D.7．（2023届河南省开封市通许县高三冲刺）已知若函数有两个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，,则,当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以时，.当时，，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以时，.画出函数的图象如图所示：由于函数有两个零点，所以与的图象有两个交点，由图可知或.所以的取值范围为.故选C.8．（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】

由图可知当且仅当时，方程有四个不同的根，且，由题：，，设则，令，故在递增，在递减，.故选A.9．（2024届黑龙江省佳木斯市高三上学期其次次调研）已知函数是定义域上的单调减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得二次函数对称轴为，由于整个函数单调递减，则有，解之得.故选A10．（2024届辽宁省沈阳市其次十中学高三上学期第一次模拟）函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的全部零点之和为（

）A． B．32 C．16 D．8【答案】D【解析】∵函数是定义在上的奇函数，∴.又∵函数，∴∴函数是偶函数，∴函数的零点都是以相反数的形式成对消灭的.∴函数在上全部的零点的和为0，∴函数在上全部的零点的和，即函数在上全部的零点之和.即方程在上的全部实数解之和.由时，，故有，∴函数在上的值域为，当且仅当时，.又∵当时，，如图：

∴函数在上的值域为；函数在上的值域为；函数在上的值域为，当且仅当时，，即方程在上的有一个实数解，即有一个零点；综上，函数在上的全部零点之和为8.故选D.11.（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期第一次验收）已知函数的最大值为1，则实数的值为（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】当时，，当且仅当，即时取等号，依题意，，即，当时，，若，则当时，，解得，符合题意，若，则当时，，解得，冲突，所以实数的值为.故选A12.（2024届江西省宜春市宜丰中学高三上学期开学考试）已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于，可知其对称轴为，令，解得或；令，解得或；作出函数的图象，如图所示，

若方程有四个不同的实根，即与有四个不同的交点，交点横坐标依次为，对于，则，可得，所以；对于，则，可得；所以，由对勾函数可知在上单调递增，可得，所以的取值范围是.故选B.二、多选题13．（2024届广东省潮州市潮安区凤塘中学高三上学期统测）已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．函数有且仅有一个零点0 B．C．在上单调递增 D．在上单调递减【答案】BC【解析】由函数，可得有两个零点0、1，故A错误；由于，故B正确；当时，所以在上单调递增，故C正确；当时，所以在上单调递减，上单调递增，故D错误．故选BC．14．（2023届山西省三晋名校联盟高三下学期4月测试）已知函数，则（

）A．的最小值为B．在区间上单调递增C．若在区间上单调递增，则的最大值为D．有三个零点【答案】BD【解析】当时，单调递增，则，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，，故的最小值为，的单调递增区间为和，故A错误，B正确；若在上单调递增，依据分段函数不难推断出，故的最大值为，故C错误；依据题意，函数在上有一个零点，函数在上有两个零点和，故D正确，故选BD.15．（2024届福建省泉州市高三高中毕业班质量监测）已知函数，则下列结论正确的是（

）A． B．为增函数C．的值域为 D．方程最多有两个解【答案】ACD【解析】对于A，明显，，则，A正确；对于B，明显，，有，B错误；对于C，当时，，当时，，因此的值域为，C正确；对于D，如图，当时，方程无解；当时，方程有两个解；

当时，方程有一个解，因此方程最多有两个解，D正确.故选ACD16．（2023届辽宁省凌源市高三下学期开学抽测）已知函数则下列说法正确的是（

）A．B．当时，函数值域为C．当时，方程恰有6个实根D．若恒成立，则．【答案】ABD【解析】依题意，依据分段函数可得图象如图所示：由于，故A正确；由题知函数在上的值域为，在上函数值域为，故当时，函数值域为，故B正确；当时有5个实数根，当时有7个实数根，故C错误；当时，函数的图象与的图象交于点，结合图象，即，故D正确．故选ABD.17.（2024届安徽省六校教育争辩会高三上学期入学素养测试）高斯是德国有名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（

）A．是周期函数B．的值域是C．在上是增函数D．若方程有3个不同实根，则【答案】AB【解析】由题意，列出部分定义域函数，所以部分定义域的，如图：可得函数是周期为1的函数，且值域为，在上单调递减，

故选项A、B正确，C错误；对于选项D，若方程有3个不同实根，则的图象与直线有3个交点，又直线恒过点，结合图象知，或，故选项D错误.故选AB三、填空题18．（2024届宁夏银川一中高三上学期月考）已知，满足，则的取值范围是．【答案】【解析】若，则，故，由可得，当，则，故，由可得，当时，则不符合要求，综上可知：的取值范围为19．（2024届湖南省长沙市高三上学期入学考试）已知函数，若有四个解，则的取值范围是．【答案】【解析】当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，明显函数在上的图象关于直线对称，如图，方程的四个解是直线与曲线的四个交点横坐标为，明显，不妨令，则有，，有，因此，而对勾函数在上单调递增，则，即，所以的取值范围是.20．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知，函数，若存在三个互不相等的实数，使得成立，则a的取值范围是.【答案】【解析】若存在三个互不相等的实数，使得成立，则方程存在三个不相等的实根，当时，解得，所以当时，有两个不等的实根，即，设，，则，，令，解得，令，解得，令，解得，所以函数在区间单调递增，在区间单调递减，则，所以.21．（2023届四川省射洪中学校高三模拟猜测）已知函数，则下列命题中正确的有．①函数有两个极值点；②若关于x的方程恰有1个解，则；③函数的图像与直线有且仅有一个交点；④若，且，则无最值．【答案】①③【解析】由函数可得，函数的图像如下图所示：

对于①，由图可知，和是函数的两个极值点，故①正确；对于②，若函数恰有1个零点，即函数与的图像仅有一个交点，可得或，故②不正确；对于③，由于函数，在点处切线斜率，在点处的切线为，函数，在处的切线斜率为，在处切线为，如图中虚线所示，易知当，即时，的图像与直线恰有一个交点；当，即时，令，得，令，则，，由二次函数的图像及零点存在定理可知，方程有且只有一个实数根；当，即时，令，设，则（仅当时取等号），即函数在上单调递增，由于，设单调递增，单调递减，，，所以函数有且仅有一个实数根；故③正确；对于④，由，则，，，则，设，则，设，明显在上单调递增，且，，所以存在，使，且当时，，单调递减，当时，，单调递增