第二十七章图形的相似 专项练习 人教版九年级下册数学

图形的相似专项练习九年级下册数学人教版一．选择题（共10小题）1．如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则的值为（）A． B． C． D．2．已知线段a、b、c、d，如果ab＝cd，那么下列式子中一定正确的是（）A． B． C． D．3．已知＝，那么的值是（）A． B．﹣ C．5 D．﹣54．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的，得到△CDO，则点A（﹣4，2）的对应点C的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，1）或（2，﹣1） C．（﹣8，4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）5．如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，如果AB＝4，AC＝9，那么的值是（）A． B． C． D．6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D在BC边上，∠ADE＝∠B，CD＝4，若△ABD的面积等于9，则△CDE的面积为（）A．4 B．2 C．3 D．67．点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），且AB＝2，则AC的长为（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．3﹣8．若3x＝2y（y≠0），则下列比例式成立的是（）A． B． C． D．9．线段a，b，c，d是成比例线段，已知a＝2，b＝，则d＝（）A． B． C． D．10．若△ABC∽△A'B'C'，且相似比为2：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比为（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4二．填空题（共5小题）11．已知＝，那么＝．12．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论：①；②；③AD＝DF；④AD2＝BE•BF．其中正确的是（把正确结论的序号都填上）．13．非零实数x，y满足2x＝3y，则＝．14．已知，则＝．15．如图，AB∥CD∥EF，直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3，CE＝5，DF＝4，则BD的长为．三．解答题（共6小题）16．如图，已知正方形ABCD，点在边BC上，连接AE．（1）利用尺规在AE上求作一点F，使得△ABE∽△DFA．（不写作法，保留作图痕迹）（2）若AE＝4，AB＝3，求DF的长．17．如图，点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点，直线CF交线段BA的延长线于点E．（1）求证：△AEF∽△DCF；（2）若AF：DF＝1：2，AE＝，S△AEF＝．①求AB的长；②求△EBC的面积．18．如图，在矩形ABCD中，E为CD边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若，求EC的长．19．如图1，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，BC＝10．点D是边BC上一动点，过点D作DE⊥BC交射线CA于点E，把△CDE沿DE翻折，点C落在点G处，AD和GE相交于点F．（1）若点G和点B重合，请在图2中画出相应的图形，并求CE的长．（2）在（1）的条件下，求证：△AFB∽△EFD．（3）是否存在这样的点D，使得△ABG是等腰三角形？若存在，请直接写出这时∠CAD的正切值；若不存在，请说明理由．20．定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP'＝k⋅OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，（1）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．点P在AB上，点Q在AC上，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上且∠APQ＝120°，在△ABC及其内部，以点A为位似中心，请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N'，且使菱形P'Q'M'N'的面积最大（不要求尺规作图）；（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面积；（3）如图，四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形，CD、EF相交于点M，连接BG、CF．请用定义证明：△ABG与△MCF位似．21．如图，l1∥l2∥l3，AB＝7，DE＝6，EF＝12，求AC的长．

图形的相似专项练习参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则的值为（）A． B． C． D．【分析】直接利用位似图形的性质，进而得出＝，求出答案即可．解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，∴△BOA∽△DOC，∴＝，∵OA＝2，AC＝3，∴＝．故选：D．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出相似三角形是解题关键．2．已知线段a、b、c、d，如果ab＝cd，那么下列式子中一定正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据内项之积等于外项之积即可判断．解：∵ab＝cd，∴＝，故选：C．【点评】本题考查比例线段，解题的关键是灵活运用内项之积等于外项之积解决问题，属于中考基础题．3．已知＝，那么的值是（）A． B．﹣ C．5 D．﹣5【分析】根据已知条件得出a＝5b，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案．解：∵＝，∴3a﹣3b＝2a+2b，∴a＝5b，∴＝＝5．故选：C．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积．4．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的，得到△CDO，则点A（﹣4，2）的对应点C的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，1）或（2，﹣1） C．（﹣8，4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）【分析】根据位似变换的性质计算，即可解答．解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的得到△CDO，点A的坐标为（﹣4，2），则点A的对应点C的坐标为（﹣4×，2×）或（4×，﹣2×），即（﹣2，1）或（2，﹣1），故选：B．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，解题关键是在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．5．如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，如果AB＝4，AC＝9，那么的值是（）A． B． C． D．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．解：∵AD∥BE∥FC，AB＝4，AC＝9，∴＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、准对应关系是解题的关键．6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D在BC边上，∠ADE＝∠B，CD＝4，若△ABD的面积等于9，则△CDE的面积为（）A．4 B．2 C．3 D．6【分析】过点D作DM⊥AB于M，过点E作EN⊥BC于N，根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠C，再由三角形的外角定理推出∠DAB＝∠EDC，从而得出△ABD∽△DCE，根据相似三角形的性质求出EN，即可求解．解：过点D作DM⊥AB于M，过点E作EN⊥BC于N，∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE．∴，∵△ABD的面积等于9，∴AB•DM＝×6×DM＝9，∴DM＝3，∴，∴EN＝2．∴△CDE的面积为CD•EN＝×4×2＝4，故选：A．【点评】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用等腰三角的性质及相似三角形的判定和性质求解是解题的关键．7．点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），且AB＝2，则AC的长为（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．3﹣【分析】根据黄金分割的定义可得到AC＝AB，然后把AB＝2代入计算即可．解：根据题意得AC＝AB＝×2＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．8．若3x＝2y（y≠0），则下列比例式成立的是（）A． B． C． D．【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．解：A、由＝得，xy＝6，故本选项比例式不成立；B、由＝得，3x＝2y，故本选项比例式成立；C、由＝得，2x＝3y，故本选项比例式不成立；D、由＝得，xy＝6，故本选项比例式不成立．故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．9．线段a，b，c，d是成比例线段，已知a＝2，b＝，则d＝（）A． B． C． D．【分析】根据成比例线段的概念，可得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，即可求得d的值．解：∵a：b＝c：d，∴ad＝bc，∵a＝2，b＝，c＝2，∴2d＝×2，∴d＝．故选：D．【点评】此题考查了成比例线段，解题时一定要严格按照顺序写出比例式，再根据比例的基本性质进行求解．10．若△ABC∽△A'B'C'，且相似比为2：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比为（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4【分析】根据相似三角形的性质：面积的比等于相似比的平方，解答即可．解：∵△ADE∽△ABC，相似比为2：3，∴△ADE与△ABC的面积比为（2：3）2＝4：9．故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．二．填空题（共5小题）11．已知＝，那么＝﹣．【分析】根据已知条件得出＝，再把化成1﹣，然后进行计算即可．解：∵＝，∴＝，∴＝1﹣＝1﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了比例的性质．题目比较简单，解题的关键是掌握比例的性质与比例变形．12．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论：①；②；③AD＝DF；④AD2＝BE•BF．其中正确的是①③④（把正确结论的序号都填上）．【分析】根据E是CD边的中点，得到CE：AB＝1：2，根据矩形的性质得到CE∥AB，推出△CEF∽△ABF，求得＝（）2＝，故选①选项正确；根据相似三角形的性质得到＝，设CE＝a，AD＝b，则CD＝2a，于是得到＝，故②选项错误；如图，过D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，根据平行四边形的判定定理得到四边形BMDE是平行四边形，求得BM＝DE＝DC，得到DM垂直平分AF，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DF，故③选项正确；根据射影定理和矩形的性质得到AD2＝BE•BF．故④正确．解：∵E是CD边的中点，∴CE：AB＝1：2，∵四边形ABCD是矩形，∴CE∥AB，∴△CEF∽△ABF，∴＝（）2＝，故选①选项正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCF，∵BE⊥AC，∴∠CFB＝90°，∴∠ADC＝∠CFB，∴△ADC∽△CFB，∴＝，设CE＝a，AD＝b，则CD＝2a，∴＝，即b＝a，∴＝，∴＝，故②选项错误；如图，过D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝DC，∴BM＝AM，∴AN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥AF，∴DM垂直平分AF，∴AD＝DF，故③选项正确；∵∠BCE＝90°，BE⊥AC，∴BC2＝BF•BE，∵AD＝BC，∴AD2＝BE•BF．故④正确；故答案为：①③④．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，射影定理，正确地作出辅助线是解题的关键．13．非零实数x，y满足2x＝3y，则＝．【分析】根据比例的性质解决此题．解：∵2x＝3y，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．14．已知，则＝．【分析】根据比例的性质，由，得5x＝2（x+y），即3x＝2y，即可求出答案．解：∵，∴5x＝2（x+y），∴3x＝2y，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．15．如图，AB∥CD∥EF，直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3，CE＝5，DF＝4，则BD的长为．【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后利用比例性质得到BD的长．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，解得BD＝．故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．三．解答题（共6小题）16．如图，已知正方形ABCD，点在边BC上，连接AE．（1）利用尺规在AE上求作一点F，使得△ABE∽△DFA．（不写作法，保留作图痕迹）（2）若AE＝4，AB＝3，求DF的长．【分析】（1）过点D作DF⊥AE于点F，点F即为所求；（2）利用勾股定理全等三角形的性质求解．解：（1）如图，点F即为所求．（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝3，∵△ABE∽△DFA，∴＝，∴＝，∴DF＝．【点评】本题考查作图﹣相似变换，正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．如图，点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点，直线CF交线段BA的延长线于点E．（1）求证：△AEF∽△DCF；（2）若AF：DF＝1：2，AE＝，S△AEF＝．①求AB的长；②求△EBC的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到BA∥CD，然后即可得到∠E＝∠FCD，∠EAF＝∠CDF，从而可以得到结论成立；（2）①根据相似三角形的性质和题目中的数据，平行四边形的性质，可以计算出AB的长；②根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可以计算出△EBC的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠E＝∠FCD，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF；（2）解：①由（1）知△AEF∽△DCF，∴，∵AF：DF＝1：2，AE＝，∴，∴DC＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴AB＝2；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴＝（）2，∵S△AEF＝，AB＝2，AE＝，∴EB＝EA+AB＝3，∴＝＝，∴，解得S△EBC＝6，即△EBC的面积是6．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．如图，在矩形ABCD中，E为CD边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若，求EC的长．【分析】（1）利用同角的余角相等，先说明∠BAF＝∠EFC，再利用相似三角形的判定得结论；（2）先利用勾股定理求出BF，再利用相似三角形的性质得方程，求解即可．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴∠D＝∠AFE＝90°．∵∠BAF+∠AFB＝180°，∠AFB+∠EFC＝90°，∴∠BAF＝∠EFC．又∵∠B＝∠C，∴△ABF∽△FCE．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3．∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴AD＝AF＝6，DE＝EF．在Rt△ABF中，BF＝＝3．设CE的长为x，则DE＝EF＝3﹣x．∵△ABF∽△FCE，∴＝．∴CE•AF＝BF•EF，即x×6＝3×（3﹣x）．∴x＝，即EC＝．【点评】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，掌握“矩形的四个角都是直角、矩形的对边相等”、“折叠前后的两个图形全等”、“两角对应相等的两个三角形相似”及“相似三角形的对应边的比相等”是解决本题的关键．19．如图1，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，BC＝10．点D是边BC上一动点，过点D作DE⊥BC交射线CA于点E，把△CDE沿DE翻折，点C落在点G处，AD和GE相交于点F．（1）若点G和点B重合，请在图2中画出相应的图形，并求CE的长．（2）在（1）的条件下，求证：△AFB∽△EFD．（3）是否存在这样的点D，使得△ABG是等腰三角形？若存在，请直接写出这时∠CAD的正切值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，再证明△CDE∽△CAB，得＝，则CE＝＝；（2）由DE垂直平分BC，得BE＝CE，则∠DEF＝∠DEC，由△CDE∽△CAB，得∠DEC＝∠ABC，由AD＝BD＝BC，得∠ABC＝∠BAF，则∠BAF＝∠DEF，而∠AFB＝∠EFD，即可证明△AFB∽△EFD；（3）作DI⊥AC于点I，先由△DIC∽△BAC，求得ID：IC：DC＝3：4：5，再分四种情况分别求出DC的长，并且求出相应的ID和AI的长，即可由tan∠CAD＝，求出∠CAD的正切值，一是△ABG是等腰三角形，且AG＝AB＝6，作AH⊥BC于点H，由×10AH＝×6×8＝S△ABC，求得AH＝，再由勾股定理求得GH＝BH＝，则CD＝；二是△ABG是等腰三角形，且BG＝AB＝6，则CD＝×（10﹣6）＝2；三是△ABG是等腰三角形，且BG＝AG，则CG＝AG＝BG＝BC＝5，所以CD＝CG＝；四是△ABG是等腰三角形，点G在CB的延长线上，且BG＝AB＝6，DC＝×（10+6）＝8．（1）解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AB2+AC2＝BC2＝100，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，由翻折得DG＝DC，∵DE⊥BC，∴∠GDE＝∠CDE＝∠BDE＝90°，∴点G在射线CB上，如图2，点G和点B重合，则DB＝DC＝BC＝5，∵∠CDE＝∠CAB＝90°，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴＝，∴CE＝＝＝，∴CE的长是．（2）证明：如图2，∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE，∴∠DEF＝∠DEC，∵△CDE∽△CAB，∴∠DEC＝∠ABC，∴AD＝BD＝BC，∴∠ABC＝∠BAF，∴∠BAF＝∠ABC＝∠DEC＝∠DEF，∵∠AFB＝∠EFD，∴△AFB∽△EFD．（3）解：存在，作DI⊥AC于点I，则∠DIC＝∠AID＝∠BAC＝90°，∵∠C＝∠C，∴△DIC∽△BAC，∴＝＝，∴＝＝＝，＝＝＝，∴ID：IC：DC＝3：4：5，如图3，△ABG是等腰三角形，且AG＝AB＝6，作AH⊥BC于点H，则∠AHB＝90°，∵×10AH＝×6×8＝S△ABC，∴AH＝，∴GH＝BH＝＝，∴DC＝CG＝×（10﹣2×）＝，∴ID＝DC＝×＝，IC＝DC＝×＝，∴AI＝8﹣＝，∴tan∠CAD＝＝＝；如图4，△ABG是等腰三角形，且BG＝AB＝6，∴CD＝×（10﹣6）＝2，∴ID＝×2＝，IC＝×2＝，∴AI＝8﹣＝，∴tan∠CAD＝＝＝；如图5，△ABG是等腰三角形，且BG＝AG，则∠GAB＝∠B，∵∠GAC+∠GAB＝90°，∠C+∠B＝90°，∴∠GAC＝∠C，∴CG＝AG＝BG＝BC＝5，∴CD＝CG＝，∴ID＝×＝，IC＝×＝2，∴AI＝8﹣2＝6，∴tan∠CAD＝＝＝；如图6，△ABG是等腰三角形，点G在CB的延长线上，且BG＝AB＝6，∴DC＝×（10+6）＝8，∴ID＝×8＝，IC＝×8＝，∴AI＝8﹣＝，∴tan∠CAD＝＝＝3，综上所述，∠CAD的正切值为或或或3．【点评】此题重点考查勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、线段的垂直平分线的性质、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．20．定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP'＝k⋅OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，（1）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．点P在AB上，点Q在AC上，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上且∠APQ＝120°，在△ABC及其内部，以点A为位似中心，请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N'，且使菱形P'Q'M'N'的面积最大（不要求尺规作图）；（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面积；（3）如图，四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形，CD、EF相交于点M，连接BG、CF．请用定义证明：△ABG与△MCF位似．【分析】（1）根据定义画出图形即可；（2）当M'点在BC上时，菱形P'Q'M'N'的面积最大，判定出△M'BN'是等边三角形，在Rt△CM'Q'中求出BM'的长，再求菱形的面积即可；（3）延长GF、BC交于O点，连接AO，先求出OF＝OC，OG＝BO，连接OM，通过证明△MOF≌△MO