小升初典型奥数：最优化问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册

最优化问题最优化问题【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！2024年8月编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！2024年8月目录导航资料说明第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。第一部分第一部分知识精讲知识清单方法技巧知识清单方法技巧最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容．下面我们就最优化问题做出汇总分析．最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举．第二部分第二部分典型例题例题1：设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，……。如此下去，当只有两个水龙头时，如何巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少？最少的时间是多少？【答案】最少时间125分钟；见详解【分析】如果是1个水龙头，那么就按照所需时间多少进行排序即可，而两个水龙头，其实是一样的，也是按照各自所需时间的多少排序。【详解】第一个水龙头先安排1号，同时第二个水龙头先安排2号；那么1号先接完水，这样把3号安排给第一个水龙头，同理，哪个水龙头先空出来，就把时间较少的人排上去；第一个水龙头依次是1、3、5、7、9打水；第二个水龙头依次是2、4、6、8、10打水；总时间：＝3×5＋7×4＋11×3＋15×2＋19＝15＋28＋33＋30＋19＝125（分钟）答：最少时间是125分钟。【点睛】本题考查的是时间统筹优化的问题，始终遵循所需时间少的排在前面，所需时间多的排在后面。例题2：将一根长为374厘米的合金铝管截成36厘米和24厘米两种型号的短管(加工损耗忽略不计)．问剩余部分的铝管至少是多少厘米?【答案】2厘米【详解】设截成36厘米和24厘米两种型号的短管分别是x根和y根，则可以看方程36x+24y="374"是否有解．由于36、24均能被4整除，374被4除余2，所以此方程无整数解．若剩余部分最少是2厘米，则列方程36x+24y=372即3x+2y=31

当x=1时，y=14．因此可以截成1根36厘米和14根24厘米两种型号的铝管，此时剩余部分最少为2厘米．例题3：在一个漆黑的晚上，有甲、乙、丙、丁四人要经过一座桥，而他们只有一只手电筒，一次同时最多可以有两人一起过桥，而过桥的时候必须有手电，所以就要有人把手电筒带来带去，来回于桥的两端．手电筒不能用丢的方式来传递．四人步行的速度不同，若两人同行，则以较慢者的速度为准．已知甲、乙、丙、丁四人过桥的时间分别是2分钟，3分钟，7分钟，十分钟，你怎样安排他们在最短的时间内全部过桥？这个最短时间是多少分钟？【答案】甲和乙先过桥，乙留下，甲回来；丙丁一起过桥，让乙把手电送回；甲乙一起过桥，这样最短时间是21分钟．【详解】试题分析：根据要求出四个人过桥最少时间，即可得出应首先让用时最少的两人先过桥，让他们往返送手电筒会节省时间，进而分别分析得出即可．解：根据要求出四个人过桥最少时间，即可得出应首先让用时最少的两人先过桥，让他们往返送灯会节省时间，故：（1）2分钟的和3分钟的先过桥（此时耗时3分钟）．（2）2分钟的回来，（此时共耗时5分钟）．（3）7分钟的和10分钟的过桥（共耗时2+1+10=13分钟）．（4）3分钟的回来（共耗时3+2+10+3=18分钟）．（5）2分钟的和3分钟的过桥共耗时：3+2+10+3+3=21分钟）．此时全部过桥，共耗时21分钟．答：甲和乙先过桥，乙留下，甲回来；丙丁一起过桥，让乙把手电送回；甲乙一起过桥，这个最短时间是21分钟．【点评】此题主要考查了应用类问题，结合实际发现用时最少的两人先过桥往返送灯会节省时间是解题关键．例题4：冬冬中午要炒一个菜，煮一锅饭，烧一壶水．用煤气炉炒菜每道工序的时间如下：切菜4分钟，准备佐料4分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟．用煤气炉烧水每道工序的时间如下：洗水壶2分钟，用火烧水15分钟，把开水灌到热水瓶中需要2分钟．用电饭锅煮饭每道工序的时间如下：淘米4分钟，煮饭18分钟．冬冬家的煤气炉只有一个煤气灶．请问：冬冬做完这三件事情最短需要多少分钟？【答案】25分钟．【详解】试题分析：因为只有一个煤气炉，所以可以先洗水壶，需要2分钟，然后烧水需要15分钟，在烧水的15分钟内，可以同时淘米4分钟，淘米后，烧水还需要15﹣4=11分钟，同时用电饭锅煮饭需要18分钟，与此同时，可以完成切菜、准备佐料，节约4+4=8分钟；水烧开后，把开水灌到热水瓶中需要2分钟，同时烧热锅节约2分钟，再烧热油，需要2分钟，最后炒菜需要4分钟，此时饭已经煮好，据此设计所用的时间最少．解：根据题干分析可得先洗水壶，需要2分钟→烧水需要15分钟（在烧水的15分钟内，可以同时淘米4分钟，淘米后，烧水还需要15﹣4=11分钟，同时用电饭锅煮饭需要18分钟，与此同时，可以完成切菜、准备佐料，节约4+4=8分钟）→水烧开后，把开水灌到热水瓶中需要2分钟（同时烧热锅节约2分钟）→再烧热油，需要2分钟→最后炒菜需要4分钟，此时饭已经煮好，2+15+2+2+4=25（分钟）答：最少需要25分钟．点评：本题主要考查了推理与论证，在解题时要注意统筹方法的应用．第三部分第三部分高频真题1．有1993名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？2．小明骑在牛背上赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁4头牛。甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？3．某加油站每次只能对一辆车进行加油．加满一辆大卡车的油需要7分钟；加满一辆三卡车的油需要5分钟；加满一辆小汽车的油需要4分钟．现在有一辆大卡车、一辆三轮卡车、一辆小汽车同时来到加油站加油．问加油站应该怎样安排这三辆车的加油顺序，才能使总共需要的时间（包括加油及等候的时间）最省？4．国庆节期间，华夏旅行社推出以下两种优惠方案．A方案：团体10人以上（含10人）每位100元．B方案：成人每位130元，儿童每位70元．（1）如果4个家长带6个孩子去旅游，那么选哪种方案合算？（2）如果8个家长带2个孩子去旅游，那么选哪种方案合算？优惠多少钱？5．在一条公路上，每隔10千米有一座仓库（如图），共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量。现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费元，那么集中到哪个仓库运费最少？6．车间内有5台机器同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次是15、8、29、7、10分钟．每台机器停产一分钟都将造成10元的经济损失．如何安排修复顺序，使经济损失最少？最少要损失多少元？7．理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟．怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发的等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？8．六一儿童节，四一班44名同学和李老师到游乐园去欢庆节日．买票时他们看到游乐园对团体票有优惠，原来每人每张票2元，现在购买一张15元的团体票就可以让10人进去．如果请你去买票，那么你认为怎样买票最合算？9．如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，为使五栋楼的居民到车站的距离之和最短，车站应立于何处？10．一个小型物流公司有6个货站A、B、C、D、E、F，每个货站需要的装卸工人数分别为6、4、8、5、3、4人．公司有4辆汽车在这6个货站间进行循环运输，为了节省人力，装卸工人可以随车到各货站去，也可以固定在各站．公司应如何安排工作，才能使装卸工最少？装卸工最少需多少人？11．小强、小明、小红和小蓉4个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥……直到4人都通过小木桥。已知，小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要分钟；小红单独过桥要2分钟；小蓉单独过桥要分钟。那么，4个人都通过小木桥，最少要多少分钟？12．有5位探险家计划横穿沙漠．他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶315千米的汽油．显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠．于是，他们计划在保证其余车安全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠．当然，实现这一计划需要几辆车相互借用汽油（但不允许将汽油放在途中）．问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多远的沙漠？13．甲，乙两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，那么其中一人最远可以深入沙漠多少千米（要求最后二人返回出发点）？14．芯片测试：有2k块芯片，已知好芯片比坏芯片多．请设计算法从其中找出一片好芯片，说明你所用的比较次数上限．其中：好芯片和其它芯片比较时，能正确给出另一块芯片是好还是坏．坏芯片和其它芯片比较时，会随机的给出好或是坏．15．如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？16．社办厂生产两种产品：制造一公斤甲种产品要花1个劳动日，用原料5公斤．制造1公斤乙种产品要花2个劳动日，用与甲同样的原料3公斤．假如甲种产品每公斤利润为700元，乙种产品每公斤利润600元，并且社办厂只有750公斤原料，生产两种产品只允许花220个劳动日，试问：甲、乙两种产品各生产多少公斤时，才能使社办厂获利最大？17．某天多多需要完成的作业：上网查资料（10分钟）、打印资料（5分钟）、读英语故事（4分钟）、练口算（3分钟），她应该如何合理安排完成各项作业呢？最少需要多长时间？18．下图是一个交通示意图，、、是产地（用●表示，旁边的数字表示产量，单位：吨），、、是销地（用○表示，旁边的数字表示销量，单位：吨），线段旁边有括号的数字表示两地每吨货物的运价，单位：百元（例如与两地，由到或由由到每吨货物运价元）。将产品由产地全部运往销地，怎样调运使运价最小？最小运价是多少？19．用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎1993个饼至少需要几分钟？问煎1994个饼至少需要几分钟？20．有一家五口人要在夜晚过一座独木桥。他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要12分钟；孩子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8分钟；母亲则一直坚持劳作，动作还算敏捷，过桥要6分钟；两个孩子中姐姐需要3分钟，弟弟只要1分钟。当时正是初一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指。所幸的是他们有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥。但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持30分钟了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？21．暑假到了，一个由3个大人和4个孩子组成的家庭去某地旅游．甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的75%优惠．这两家旅行社的原价是大人小孩均为全票，每人100元．如果你是这个家庭的一员，从所花费用的多少考虑，你建议选择哪家旅行社？为什么？22．国王准备了1000桶酒作庆祝他的生日，可惜在距离生日前十日，国王得知其中有一桶酒被人下毒，若毒服后则正好第10日发作。有人提议用死刑犯试毒，问至少需要多少个死刑犯才能保证检验出一桶有毒的酒桶？如何试毒？23．小明在家的一面墙上贴奖状，一共有32张，给一张奖状涂满胶水需要2分钟，涂完胶水后要过2分钟才能往墙上贴，贴的过程需要1分钟，但是如果等待超过6分钟的话胶水就会干掉不能再贴，问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状？24．新建的自来水厂要给沿公路的十个村庄供应自来水（如下图，距离单位为千米），要安装水管有粗细两种选择，粗管足够供应所有村庄使用，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用8000元，细管每千米要2000元，如果粗细管适当搭配，互相连接，可以降低费用，怎样安排才能使这项工程费用最低？费用是多少元？

25．玩具加工厂要把小正方体形状积木的六个面染色，两个面染红色，两个面染蓝色，另两个面染黄色．厂里的机器可以同时给6个小正方体的一面染上相同的颜色，每次需要5分钟．现在有8个积木要加工，那么用这种机器至少需要多少分钟才能完成？26．一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼的距离都是50米。第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班……，第5号楼有5名职工在A厂上班。A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？27．烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？28．学校举行乒乓球团体比赛,每班派出了3名运动员参赛．规定三场比赛至少两场获胜方为最终胜者．四(1)班按运动员的成绩好坏派出前三名甲、乙、丙,四(2)班按成绩好坏派出前3名A、B、C．两个班同一层次的同学水平比较接近．四(2)班想赢下这次比赛,应该怎样排兵布阵呢?29．用一只平底锅煎饼，每次只能放两张饼，煎熟一只饼需要2分钟（煎熟正面反面各需要1分钟）．那么煎三只饼至少要几分钟？煎n（n≥2）只饼至少要几分钟？30．某学校资金存款的年利息为10%，积压资金100元，相当于损失了10元．现在学校决定在初秋时购买冬季取暖用的煤．根据以往经验，在正常的冬季气温下要消耗煤15吨，但如果冬季比较暖和，只要用煤10吨；若冬季比较寒冷，就要用煤20吨．而煤的价格是根据天气的寒冷程度而变化的，在比较暖和、正常和寒冷的天气下，每吨煤的价钱分别是100元，150元，200元，而在初秋时每吨煤100元，在没有当年冬季气温的长期预测下，该校在初秋时应购进多少吨煤最好？31．有大、中、小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克．现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水.32．用10尺长的竹竿做原材料，来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎么截法最合算？33．烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙2007块饼，至少需要多少分钟？34．国际象棋比赛的奖金总数为10000元，发给前五名。每一名次的奖金都不一样，名次在前的钱数是比名次在后的钱数多，每份奖金钱数都是100元的整数倍。现在规定，第一名的钱数是第二、三名两人之和，第二名的钱数是第四、五名两人之和，那么第三名最多能得多少元？35．早餐店炸油饼，油锅一次最多能炸2张饼，炸熟一张饼要4分钟（正反面各2分钟）．如果一个客人要9张饼，早餐店老板最快多少分钟可以把油饼给他？参考答案：1．第997个岗位处【分析】1993名少先队员，要确定集合地点的话，比较麻烦，可以先考虑2名少先队员、3名少先队员这些较少的情况，寻找规律，然后再考虑1993名少先队员的情况。【详解】当只有2个人时，设2人宣传岗位分别为A1和A2（如上图），显然集合地点选在A1点或A2点或者A1A2之间的任何一个地点都可以。因为由A1、A2出发的人走过的路程总和都等于A1A2。当有3个人时，则集合地点应该选在A2点（如上图）。因为若集合地点选在A1A2之间的B点，那时3个人所走的路程总和是A1B＋A2B＋A3B＝（A1B＋A3B）＋A2B＝A1A3＋A2B；若集合地点选在A2A3之间的C点，那时3个人所走的路程总和是：A1C＋A2C＋A3C＝（A1C＋A3C）＋A2C＝A1A3＋A2C；而集合地点选在A2点时，3个人所走路程总和仅是A1A3。当然A1A3比A1A3＋A2B及A1A3＋A2C都小。当有4个人时，由于集合地点无论选在A1A4之间的任何位置，对A1、A4岗位上的人来说，这2人走的路程和都是A1A4（如上图）。因此，集合地点的选取只影响A2、A3岗位上的人所走的路程，这就是说，问题转化为“2个人站在A2和A3岗位的情形”。根据上面已讨论的结论可知，集合地点应选在A2或A3或者A2A3之间任何地点。当有5个人时，类似地可把问题转化为“3个人站在A2、A3、A4岗位的情形”（如下图）根据已讨论的结论可知，集合地点应选在A3点。依此递推下去，我们就得到一个规律：当有偶数（2n）个人时，集合地点应选在中间一段AnAn＋1之间的任何地点（包括An和An＋1点）；当有奇数（2n＋1）个人时，集合地点应选在正中间岗位An＋1点。本题有1993＝2×996＋1（奇数）个人，因此集合地点应选在从某一端数起第997个岗位处。答：集合地点应选在从某一端数起第997个岗位处。【点睛】本题考查的是位置统筹优化的问题，可以通过归纳法求解，归纳法实质上就是发现并总结规律，然后应用规律求解问题。2．分钟【分析】首先要确定赶牛的顺序，小明把牛赶到对岸还要回来，所以要选跑得快的牛来回走。【详解】要想用最少的时间，4头牛都能过河，保证时间最短：第一步：甲与乙一起过河，并由小明骑甲牛返回，共用：（分钟）；第二步：返回原地的小明再骑丙与丁过河后再骑乙牛返回，共用了（分钟）；第三步：最后小明骑甲与乙一起过河用了2分钟；所以，小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用（分钟）。答：最小要用13分钟。【点睛】本题考查的是统筹优化的问题，确定过河顺序是求解问题的关键。3．为了节省时间，这三辆车加油的顺序应该是：小汽车、三轮卡车、大卡车．最节省的时间是29分钟．【分析】由于这个加油站一次只能对一辆车进行加油，因此当三辆车一起来的时候，就会发生两辆车要等候的情况．由于各辆车加油的时间是固定的，因此要尽量节省时间，只有尽量减少等候的时间．如果安排大卡车先加油，那未其他两辆车都必须等候7分钟；而如果安排小汽车先加油，那未其他两辆车都只须等4分钟．显然，小汽车先加油可节省等候时间．同样道理，第二辆加油的应该是三轮卡车，最后才给大卡车加油．【详解】为了节省时间，这三辆车加油的顺序应该是：小汽车、三轮卡车、大卡车，这是最佳的策略．当小汽车加油时，其他两辆车各等候4分钟，当三轮卡车加油时，大卡车等候5分钟；直到大卡车加完油，总共用时间为4+（4+5）+（4+5+7）=4+9+16=29（分钟）．答：最节省的时间是29分钟．4．（1）选B方案合算

（2）选A方案合算，优惠180元【详解】（1）A方案：（4+6)×100=1000(元)B方案：130×4+70×6=940(元）940＜1000选B方案合算．(2)A方案：（8+2）×100=1000(元）B方案：130×8+70×2=1180(元）1180-1000=180(元）1000＜1180选A方案合算，优惠180元．5．D点【分析】按照“小往大处靠”的原则，E点60吨，存的货物最多，那么先处理小势力，A往E那个方向集中，集中到B，B变成40吨，判断仍是E的势力最大，所以继续向E方向集中，B点集中到C点，C点变成60吨；此时C点和E点都是60吨，那么C、E谁看成大势力都可以，例如把E点集中到D点，D点是70吨，所以C点也要集中到D点。【详解】确定D点为集中地点，运费为：（10×30＋30×20＋20×10＋60×10）×0.9＝1700×0.9＝1530（元）答：以D点为集中地点，费用最少，运费最少为1530元。【点睛】本题考查的是地点统筹优化的问题，一般遵循“小往大处靠”，“往中间靠”的原则。6．先修复修复时间短的．最少的经济损失为1560元【分析】如果先修所需修复时间长的机器，而让修复时间短的机器等待无疑将造成较大的经济损失．【详解】最佳方案是先修复修复时间短的，让其尽快投入生产，减少经济损失．这样总的修复时间为7×5+8×4+10×3+15×2+29=35+32+30+30+29=156（分），而最少的经济损失为10×156=1560（元）．7．甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的．

128分【详解】甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（10×3）分；然后，甲给需15分钟的人理发，有1人等待，占用两人的时间和为（15×2）分；最后，甲给需24分钟的人理发，无人等待．甲理发的三个人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙理发的两个人，共用（12×2＋20）分．总的占用时间为（10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分）8．购买4张团体票和5张个人票最合算【详解】方案一：购买团体票．（44+1）÷10=4（张）……5（人）4+1=5（张）

15×5=75（元）方案二：购买团体票和个人票．（44+1）÷10=4（张）……5（人）4×15=60（元）5×2=10（元）

10+60=70（元）70＜75购买4张团体票和5张个人票最合算．9．C点【分析】条件中只有五个楼的名字和排列顺序，楼与楼的距离也不确定。那么我们先来分析一下A、E两个点，不论这个车站放在AE之间的那一点，A到车站的距离加上E到车站的距离就是AE的长度，也就是说车站放在哪儿不会影响这两个点到车站的距离之和；然后再考虑B、C、D到车站的距离。【详解】车站在AE之间的任何位置，AE到车站的距离之和是不变的，始终是AE的长度；那么我们就使其他的3个点到车站的距离之和最短，再看为了使B、D两个到车站的距离之和小，应把车站放在BD之间；同理，只要是在BD之间，B、D到车站的距离之和也是不变的，等于BD；最后，只需要考虑C点到车站的距离最近就行了。那么当然也就是把车站放在C点了；答：车站应立于C点【点睛】本题考查的是位置统筹优化问题，这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”。10．23是所需的最少装卸工人数．具体安排如下：在C、A、D站分别安排4、2、1个固定工人，每车再安排4个工人随车流动到各站.【详解】当方案有限时，枚举是找到最优方案的有效途径．枚举也要进行必要的分析，在尽可能小的范围内枚举，少做无用功．11．分钟【分析】要想用最少的时间，4人都通过小木桥，可采用让过桥最快的小强往返走，将手电筒送回，这样就能保证时间最短了。【详解】第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用：（分钟）；第二步：返回原地的小强与小红过桥后再返回，共用了（分钟）；第三步：最后小强与小蓉一起过桥用了分钟；所以，4个人都通过小木桥，最少用（分钟）答：最少要8分钟。【点睛】本题考查的是时间的统筹优化问题，对于这种需要一个人往返接送的问题，这个人尽量选消耗时间短的一个人。12．525千米【详解】如下图所示，5辆车从A点一起出发，到B点时第1辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余4辆车，注意，B点的最佳选择应满足刚好使这4辆车全部加满汽油；剩下的4辆车继续前进，到C点时第2辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余3辆车，使它们刚好加满汽油；剩下的3辆车继续前进……到E点时，第4辆车留下返回A点的汽油，剩下的汽油转给第5辆车．此时，第5辆车是加满汽油的，还能向前行驶315千米．5辆车到达B点时，第1辆车要把另外4辆车消耗掉的汽油补上，加上自己往返AB的汽油，所以应把行驶315千米的汽油分成6份，2份供自己往返AB，4份给另外4辆车每辆加1份，刚好使这4辆车都加满汽油．AB长为：315÷6=52.5（千米）；4辆车从B点继续前进，到达C点时，4辆车共消耗掉4份（BC）汽油，再加上第2辆车从C经B返回A，所以第2辆车是把汽油分成：5份BC+1份AB=315（千米），由上可知6份AB=315（千米），所以AB=BC，也就是说第2辆车仍是把汽油分成6份，3份供自己从B到C，再从C返回A，3份给另外3辆车加满汽油，由此知BC长也是52.5千米．同理，CD=DE=52.5（千米）．所以第5辆车最远能行驶52.5×4+315=525（千米）．13．320千米【分析】题目的要求是要其中一人走的更远，假设这个人是甲，他必须获得乙的帮助，也就是说乙的食物和水当中的一部分得分给甲，由此，我们可以设计出如下的一个方案：由线段图可知，两人先从A走到C地，然后乙将自己的一部分水和食物给甲，将甲的补给加满，只留下够自己回去的食物和水就行，然后甲继续往前走到B地然后返回A．现在问题的关键是C地究竟在什么位置？我们来分析一下乙的食物和水分成了几个部分，他自己用去了两个部分（A到C，C回A），还把甲给加满了，也就是甲从A到C耗费的那部分，总共三部分，而且还是相等的．24÷3=8，即从A到C用去了8天，那么甲总共用去了24+8=32天的水和食物，因为是往返，所以从A到B总共用去了32÷2=16天，每天走20千米，所以A，B两地相距20×16=320（千米）．【详解】24÷3=8（天）24+8=32（天）32÷2=16（天）20×16=320（千米）答:其中一人最远可以深入沙漠320千米14．把第一块芯片与其它逐一对比，看看其它芯片对第一块芯片给出的是好是坏，如果给出是好的过半，那么说明这是好芯片，完毕．如果给出的是坏的过半，说明第一块芯片是坏的，那么就要在那些在给出第一块芯片是坏的芯片中，重复上述步骤，直到找到好的芯片为止．【详解】把第一块芯片与其它逐一对比，看看其它芯片对第一块芯片给出的是好是坏，如果给出是好的过半，那么说明这是好芯片，完毕．如果给出的是坏的过半，说明第一块芯片是坏的，那么就要在那些在给出第一块芯片是坏的芯片中，重复上述步骤，直到找到好的芯片为止．15．C点【分析】如果不考虑楼里坐车的人数，应该把车站设在中间的位置，而现在每栋楼的人数相同，所以不影响，还是要把车站放在中间位置。【详解】要使得居民到达车站的距离之和最短，车站应该设在中间位置，也就是C点；答：车站应该设在C点。【点睛】本题考查的是地点统筹优化的问题，如果每个居民楼的人数不一样，那么就要具体考虑人数的影响了。16．甲生产120公斤，乙生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是114000元．【详解】假设生产甲种产品x公斤，为了获得最大的利润，必须充分利用劳动日和原料，从而乙种产品必定生产公斤．由于劳动日为220天，从而有，解这个方程可得x=120（公斤），从而；即甲产品要生产120公斤，乙产品要生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是700×120+600×50=84000+3000=114000（元）．17．在打印资料的这段时间内，可进行4分钟的读英语故事及1分钟的练口算，然后再用2分钟练口算；最短需要17分钟．【分析】由于打印资料（5分钟），读英语故事（4分钟），练口算（3分钟），所以在打印资料的这段时间内，可进行4分钟的读英语故事及1分钟的练口算，然后再用2分钟练口算．所以最短需要10+5+（3﹣1）分钟．【详解】5=4+1在打印资料的这段时间内，可进行4分钟的读英语故事及1分钟的练口算．所以最短需要：10+5+（3﹣1）=15+2=17（分钟）答：在打印资料的这段时间内，可进行4分钟的读英语故事及1分钟的练口算，然后再用2分钟练口算；最短需要17分钟．18．按照如图方式调运，最小运价5900元【分析】B地的5吨货物，必然要运往D，A处的8吨货物，运往D、F的运费相等，可以给D4吨，这样A还剩下4吨；现在的问题是C的6吨和A的4吨如何给F运5吨，然后剩下的运往E点。【详解】C运往E的运费比运往F的运费要贵很多，所以把C处的货物尽可能运往F处，A处还能给F运1吨，剩下的3吨运往E处，这样运费最少；如图所示：（元）答：最小运价是5900元。【点睛】本题考查的是地点统筹优化的问题，这里不仅要考虑运费，还要考虑销售地的销量。19．1993分钟

1994分钟【详解】关键是1993个饼该怎么分拆，应该拆成一个2的倍数和一个3的倍数．1993=1990+3，前1990张饼两张为一组，每组用2分钟，后三张饼为一组，用三分钟，因此总共用1990÷2×2+3=1993分钟，1994张饼每两个一组，每组用两分钟，共用1994÷2×2=1994分钟.20．最少需要29分钟；见详解【分析】要保证30分钟内安全过桥，那么姐姐和弟弟就要来回跑，送油灯，并且安排所需时间较长的爷爷和爸爸一起过桥，这样节约时间。【详解】首先姐姐跟弟弟一起过，用时3分钟，姐姐再回去送油灯，用时3分钟；老爷爷跟爸爸一起过河，用时12分钟，弟弟将灯送回去，用时1分钟；弟弟和母亲一起过，用时6分钟，弟弟送灯过河，用时1分钟；最后与姐姐一起过河，用时3分钟；一共用时：3＋3＋12＋1＋6＋1＋3＝29（分钟），最后能够安全全部过河。答：最少需要29分钟。【点睛】对于此类“安全过桥”的问题，安排所需时间最少的两人送灯，且所需时间最少的一人往返的次数多，所需时间第二少的人只往返一次，并且要安排所需时间最多的两人一起过。21．解：（1）甲旅行社：4×100+3×100×50%=400+150，=550（元）；乙旅行社：（4+3）×100×75%=7×100×75%，=525（元）；525元＜550元，所以选择乙旅行社花费较少．答：这个家庭选择乙旅行社所花的费用少．【详解】最优化问题根据这个家庭的人数按照两家旅行社的优惠方案分别进行计算即能得出去哪家旅行社花费最少：甲旅行社：如果买4张全票，则其余人按半价优惠．4×100+3×100×50%=550元；乙旅行社：家庭旅游算团体票，按原价的75%优惠．（7+3）×100×75%=525元；525元＜550元，所以应去乙旅行社．22．10个人；见详解【分析】可以将酒桶编号1~1000全部改为二进制，对应0000000001~1111101000，让一号犯人喝末位数字是1的毒酒，二号犯人喝倒数第二位数字是1的毒酒……十号犯人喝第一位编号是1的毒酒，然后根据犯人是否死亡进行判断。【详解】如果某一号犯人死亡就说明相应的某一位数字是1，如果没有死亡那就说明相应位上的数字是零；比如一号犯人死亡，二号到九号犯人存活……十号犯人死亡，那么毒酒的编号就是1000000001，再转化成十进制，也就是第513桶有毒。答：至少需要10个死刑犯。【点睛】本题考查的是最值问题，这里巧妙地应用了二进制来求解问题。23．96分钟【分析】如果不想浪费时间，那就需要充分利用时间，如果涂一张，等2分钟，再往墙上贴，再涂，再等待，再贴在墙上，这样肯定是浪费时间的；我们完全可以在涂完胶水后的2分钟时间里继续涂，但不能超过6分钟，注意可以等于6分钟。【详解】先涂第一张然后涂，然后涂，这时候等待了4分钟马上贴上；再涂一张马上贴上已经等待了5分钟的；再涂一张贴上已经等待6分钟的；这样一直下去，会使每一张奖状花费的时间就只有涂的2分钟和贴的1分钟，也就是完成一张需要3分钟；那么总时间是96分钟；答：小明最快用96分钟能贴完所有的奖状。【点睛】本题考查的是时间的统筹优化问题，要使得所用时间最短，首先就要保证不能浪费时间。24．最少需要414000元；见详解【分析】由于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管，那么从自来水厂到J村要铺设10根细管，自来水厂到I村要铺设9根细管，依次下去；因为粗管是细管价格的4倍，如果用细管代替粗管重叠数超过4条费用更大，仅在3条或3条以下才会节约，而细管只能供应一村用水，所以粗管从水厂一直接到G村为止，再用三条细管连接H、I、J三个村，这样费用最低。【详解】A、B、C、D、E、F、G用粗管供水，从G接细管为H、I、J供水；＝8000×48＋2000×15＝384000＋30000＝414000（元）答：至少需要414000元。【点睛】本题考查的是统筹优化的问题，要保证细管重叠数不超过3条，且尽可能让粗管覆盖更多的村子。25．45分钟.【详解】试题分析：为了便于说明问题，用1～8来标号表示8个正方体，第一次先染1～6号的一面用5分钟；第二次染1～4号的另一面和7、8号的一面用5分钟；然后再把5～8号换面染成红色，又用了5分钟；这样1～8的两面都有红色，共用5×3=15分钟；同理，两个面染蓝色，两个面染黄色的时间都是15分钟，据此计算总时间即可．解：用1～8来标号表示8个正方体，第一次先染1～6号的一面用5分钟；第二次染1～4号的另一面和7、8号的一面用5分钟；第三次再把5～8号换面染成红色，又用了5分钟；这样1～8的两面都有红色，共用5×3=15（分钟）；同理，两个面染蓝色，两个面染黄色的时间都是15分钟，共用：15×3=45（分钟）答：用这种机器至少需要45分钟才能完成．点评：本题考查了染色问题，关键是统筹安排第一次染色后剩下的两个正方体，与第一次染色后的六个交换两个染色．26．150米【分析】如图，画出示意图，按照“小往大处靠”的原则来解决，第5号楼的人数最多，大方向向第5号楼靠，把1号楼、2号楼的3个人集中到3号楼，一共6人，然后3号楼的6人和5号楼的5人都往4号楼靠。【详解】如图所示：车站应建在4号楼，此时职工到通勤车站所走的路程之和最小；答：车站应建在距1号楼150米处。【点睛】对于集中货物的问题，涉及到了重量，而集中到何处起决定作用的是货物的重量，而至于距离，仅仅只是为了计算所以对于这类问题老师要强调“小往大处靠”的原则。27．63分钟【分析】前3分钟，第一块饼的正面，第二块饼的正面；4~6分钟，第一块饼的反面，第三块饼的正面；7~9分钟，第二块饼的反面，第三块饼的反面；也就是每9分钟可以烙3张饼。【详解】每9分钟可以烙3张饼；所以烙21块饼，至少用（分钟）答：至少需要63分钟。【点睛】本题考查的是时间统筹优化的问题，关于烙饼问题，关键是不能浪费时间。28．A—乙,B—丙,C—甲【详解】略29．煎三只饼至少要3分钟，煎n（n≥2）只饼至少要n分钟【分析】煎三只饼若是一只一只地煎，要6分钟；但是每次可以放两只饼，可以同时煎熟两种饼，现煎第三只饼，这样共需要4分钟，但是这两种策略都不是最佳策略．【详解】煎三只饼至少需要三分钟．因为，第一次煎两个饼，一分钟后两个饼都熟了一面，此时将第二只取出，第一只翻个面，再放入第三只．又煎了一分钟，第一只煎好取出，第三只翻个面，再将第二只放入，再煎一分钟，全部煎熟了。煎n只饼，需要n分钟．因为，当n是偶数时，每煎两个需要2分钟，可以两只两只地煎；当n是奇数时，也可以两只两只地煎，直到最后剩下三只饼时采用上面的方法就可以了．30．花2000元购进20吨的煤最好．【分析】注意到在初秋时若少买了煤在冬天要花更多的钱去买煤，而买多了煤，则烧不完有积压资金，会造成损失．因而买多少煤是一个策略问题．根据题意，学校现在有三个策略：购买10吨、15吨、20吨．我们比较这三具策略，选择出最佳策略．【详解】（1）如果学校在初秋时购买了10吨煤，则当天天气正常时要再购进5吨煤，总共花费了100×10+150×5=1750（元）；当天气转寒时要再购进10吨煤，总共花费了100×10+200×10=3000（元）．（2）如果学校在初秋时购买了15吨煤，则当天天气转暖时，积压资金为5吨煤的钱100×5=500（元），而当天气转寒的时候，需要再购进5吨煤，共花费100×15+200×5=2500（元）．（3）如果学校在初秋时购买了20吨煤，则当天气正常时积压资金为100×5=500（元）；天气转暖时积压资金为：100×10=1000（元）．比较上面三种策略，第一种策略的最大损失是在天气冷的时候，比预先买20吨煤损失了（200－100）×10=100×10=1000（元）．第二种策略最大的损失是在天气冷的时候，比预先买20吨煤损失了（150－100）×5=50×5=250（元）．第三种策略最大的损失是在天气转暖的时候，此时积压资金为1000元，而学校资金存款的年利息为10%，相当于损失了2年的利息，即损失了1000×10%×2=200（元）．所以最佳策略是花2000