小升初典型奥数：牛吃草问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册

牛吃草问题牛吃草问题【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！2024年8月编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！2024年8月目录导航资料说明第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。第一部分第一部分知识精讲知识清单方法技巧知识清单方法技巧【知识点归纳】牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化．解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量．显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量﹣﹣每天（每周）新长出的草的数量．基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量．基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量．基本公式：生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）；原有草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量；牛吃草问题常用到四个基本公式：牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的．典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天．由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化．解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数﹣相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数﹣吃的较少天数）；（2）原有草量＝牛头数×吃的天数﹣草的生长速度×吃的天数；（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数﹣草的生长速度）；（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数+草的生长速度．这四个公式是解决消长问题的基础．由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量．牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的．正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式．这类问题的基本数量关系是：1、（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）＝草地每天新长草量．2、牛的头数×吃草天数﹣每天新长量×吃草天数＝草地原有的草．第二部分第二部分典型例题例题1：内蒙古草原的一个牧场有一片青草，这片青草每天都在匀速生长。这片牧草可供24头牛吃12天，可供30头牛吃8天，问可供多少头牛吃4天？【答案】48头【分析】这类题难在牧场上的草的数量每天都在变化，我们要想办法从变化中找出不变的量，总草量可以分为牧场上原有的草和新长出的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天这片草地每天新长出的草的数量是相同的，即每天新长出的草量是不变的。有两个用草量的差可知（12-8）天的生长量，即可求出每天新长出的草的量。再将某一组的草总量减去若干天的生长量，即是原有的牧草量。抓住这两个量，解决问题就容易多了。【详解】解：设1头牛一天吃的草为1份。①24头牛12天吃草的总量：1×24×12﹦288（份）②30头牛8天吃草的总量：1×30×8﹦240（份）③每天新长出的草的量：（288－240）÷（12－8）﹦48÷4﹦12（份）④这片牧场原有的草量：288－12×12＝288-144＝144（份）或240－12×8=240-96＝144（份）⑤可供多少头牛吃4天？（144＋12×4）÷4＝（144+48）÷4＝192÷4＝48（头）答：这片牧场可供48头牛吃4天。【点睛】考查了牛吃草问题，解答这类问题的关键是想办法从变化中找到不变的量。例题2：一个牧场上长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，这片青草可供58头牛吃7周，或供48头牛吃9周，那么，可供多少头牛吃5周？【答案】76头【分析】总草量可以分为牧场上原有的草和新长出的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草因为是匀速生长，所以每天这片草地每天新长出的草的数量是相同的，即每天新长出的草量是不变的。由两个用草量的差可知（9-7）周的生长量，即可求出每周新长出的草的量。再将某一组的草总量减去若干周的生长量，即是原有的牧草量。抓住这两个量即可得解。【详解】解：设1头牛一周吃的草为1份。58头牛7天吃草：1×58×7﹦406（份）48头牛9周吃草：1×48×9﹦432（份）每周新长草的量：（432－406）÷（9－7）﹦26÷2﹦13（份）原有草量：406－13×7＝406-91＝315（份）5周可供牛的头数：（315＋13×5）÷5＝（315+65）÷5＝380÷5＝76（头）答：这片牧场可供76头牛吃5周。【点睛】考查了牛吃草问题，解答这类问题的关键是想办法从变化中找到不变的量。例题3：有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完．这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？如果桶没有裂缝由4个人来喝需要几天喝完？【答案】4人

10天【详解】一桶酒相当于原有“草”，喝酒人相当于“牛”，漏掉酒相当于草在减少，设1人1天喝酒量为“1”

6人

4天

6×4＝24：原有酒－4天自然减少的酒

4人

5天

4×5＝20：原有酒－5天自然减少的酒从上面看出：1天减少的酒为（24－20）÷（5－4）＝4，可供4人喝一天．原有酒为：24＋4×4＝40，由4个人来喝需要：40÷4＝10（天）．例题4：有一个水池，池底有一个打开的出水口，用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完．如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完？【答案】45小时【分析】这道题表面上看好象和牛吃草没有什么关系，但是仔细想想，我们可以把抽水机当作牛，把水当作草，把出水口看成是来帮忙吃草的牛．牛吃草问题有一些变例，其中比较典型的就是＂抽水问题＂，我们只需要弄清楚它与牛吃草问题的联系，把里面的关系理顺，还是可以用牛吃草问题很容易的加以解决．【详解】解：设1台抽水机1小时抽出1单位的水，那么5台抽水机20小时抽出5×20=100单位的水，8台抽水机15小时抽出8×15=120单位的水，说明池底的出水口20-15=5小时漏出120-100=20单位的水，则出水口的出水速度是每小时20÷5=4单位，水池中原有100+4×20=180单位的水，如果仅靠出水口出水，需要180÷4=45小时．第三部分第三部分高频真题1．牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么可供多少头牛吃5天？2．一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天。如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？3．画展8：30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。4．一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？5．科学家研究表明，10000平方米的森林在生长季节每周可吸收6.3吨二氧化碳。城市森林公园有60000平方米森林，7月份这片森林一共可以吸收多少二氧化碳？6．广州火车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到检票队伍消失，若同时开5个检票口，则需要30分钟，若同时开6个检票口，则需20分钟。如果要使等候检票的队伍10分钟消失，需要同时开多少个检票口？7．某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加．为了防洪，需开闸泄洪．假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10小时水位降到安全线．现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？8．有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8公顷．每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．第三块草地可供19头牛吃多少天？9．把一片均匀生长的大草地分成三块，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷．如果第一块草地可以供10头牛吃30天，第二块草地可以供28头牛吃45天，那么第三块草地可以供多少头牛吃80天？10．某水库建有10个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按不变的速度流入。为了防洪，需调节泄洪速度。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开1个泄洪闸，30小时水位降至安全线；若打开2个泄洪闸，10小时水位降至安全线，现在抗洪指挥部队要求在2.5小时使水位降至安全线以下，至少要同时打开几个闸门？11．牧场上长满了牧草，可供27头牛吃一周，或可供23头牛吃9周，如果牧草每周匀速生长，问原来的草量可供几头牛吃1周？12．因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少．已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？13．小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，多少分钟能追上？14．早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站。这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客。现要求5分钟放完，需设立几个检票口？15．有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3亩、10亩和24亩，12头牛4星期吃完第一片牧场的草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？16．22头牛吃33亩草地上的草，54天可以吃完．17头牛吃28亩同样草地上的草，84天可以吃完．问：同样的牧草40亩可供多少头牛食用24天（每亩草地原有草量相等，草生长速度相等）？17．画展9点开门，但早有人排队等候入场，从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个检票口，9点5分就没有人排队。那么第一个观众到达时间是8点多少分？18．现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘．若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干．问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？19．一片草地，每天都匀速长出青草，这片草地可供24头牛吃6天或20头牛吃10天，那么这片草地可供19头牛吃几天？20．一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可把水抽干．那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？21．一水库原有存水量一定，河水每天入库．5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？22．食品厂开工前运进一批面粉，开工后每天运进相同数量的面粉，如果派5个工人加工食品30天可以把面粉用完，如果派4个工人，40天可以把面粉用完，现在派4名工人加工了30天后，又增加了2名工人一起干，还需要几天加工完？23．一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供多少头牛吃12周？24．有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃多少天？25．现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车，5小时后能追上，如果甲车以现在速度的3倍去追乙车，3小时后能追上．那么甲车以现在的速度去追，几小时后能追上乙车？26．牧场上有一片牧草，可以供27头牛吃6天，供23头牛吃9天，如果每天牧草生长的速度相同，那么这片牧草可以供21头牛吃几天？27．4头牛28天可以吃完10公顷牧场上全部牧草，7头牛63天可以吃完30公顷牧场上全部牧草，那么60头牛多少天可以吃完40公顷牧场上全部牧草？（每公顷牧场上原有草量相等，且每公顷牧场上每天生长草量相等）28．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而在匀速地在减少，已知某块地上的草可供21头牛吃10天，或可供30头牛吃8天，照此计算，可供45头牛吃多少天。29．由于天气逐渐寒冷，牧场的草不仅不生长反而以固定的速度在减少．已知某块草地的草可供20头牛吃5天，可供15头牛吃6天，照这样计算，可以供几头牛吃10天？30．某牧场的牧草匀速生长，已知27头牛6天可以吃完牧草，23头牛9天可以吃完牧草。一群牛12天吃完这片牧草，这群牛有多少头？31．有一块牧场，牧草每天均匀生长，这片牧场可供10头牛吃20天，15头牛吃10天；则它可供多少头牛吃4天？32．有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可将草吃完。现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问有牛多少头（草每日匀速生长）？33．整片牧场上的草长得一样密，一样地快．已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就得60天．如果要在96天内把牧场的草吃完，那么有多少头牛？34．一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把一池水排空，如果同时打开进水阀和两个排水阀，则10分钟能把水池的水排空，问关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要几分钟能排空水池的水？35．假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此测算，地球上资源可供137.5亿人生活112.5年，或可供112.5亿人生活262.5年，为使人类能不断繁衍，那么地球上最多能养活多少亿人？36．仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？37．17头牛吃28公亩的草，84天可以吃完；22头牛吃同样牧场33公亩的草54天可吃完，几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃完？（假设每公亩牧草原草量相等，且匀速生长）38．有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干，原计划调来台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑，实际调来了台抽水机，这样比原计划节省了小时。工程师们测算出，如果最初调来台抽水机，将会比原计划节省小时。这样，将水池的水抽干后，为了保持池中始终没有水，还应该至少留下多少台抽水机？39．自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上．问：该扶梯共有多少级台阶？40．有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？41．一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水．如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完．求17人几小时可以淘完？42．自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走20级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上．该扶梯共有多少级台阶？43．由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，经过计算，现有牧场上的草可以供20头牛吃5天，或可以供16头牛吃6天．那么11头牛可以吃几天？44．现在有牛、羊、马吃一块地的草，草均匀生长，牛、马吃需要45天吃完，马、羊吃需要60天吃完，牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间？45．有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷，草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。问：第三块草地可供50头牛吃几周？46．一片匀速生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草两相当于3只羊每天的吃草量．请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？参考答案：1．25头【分析】设一头牛一天的吃草量为1份，则10头牛20天吃草的量为10×20=200（份）；15头牛10天吃草的量为15×10=150（份）从图上可以看出，10头牛20天吃草的量与15头牛10天吃草的量的差恰好是20－10=10（天）新生长的草量．【详解】解：每天新生的草量为：（10×20－15×10）÷（20－10）=5(份)牧场原有草量为：10×20－5×20=100（份）供吃5天的牛的头数：（100+5×5）÷5=25（头）答：可供25头牛吃5天．2．8天【分析】根据题意，如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量；假设一头羊一天吃一份草，那么一头牛一天吃5份草，可得16头牛吃了20天，共吃了1600份；100只羊吃12天，共吃了1200份，由此可求出草每天生长的份数；再根据“16头牛吃20天”，可以求出草地原有的草的份数；10头牛一天吃50份草，正好是草每天生成的量；剩下的75只羊来吃草地原有的600份草，可以吃8天，问题得解。【详解】假设一头羊一天吃一份草，那么一头牛一天吃5份；16头牛吃了20天，共吃了16×5×20＝1600（份）；100只羊吃12天，共吃了100×12＝1200（份）；草每天生产：（1600－1200）÷（20－12）＝50（份）；原来的草有：16×5×20－50×20＝600（份）；10头牛一天吃：10×5＝50（份），正好是草每天生成的量；75只羊吃的天数是：600÷75＝8（天）。答：这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天。【点睛】本题是典型的牛吃草问题，解题的关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数。3．7：30【分析】设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。8：30到9：00共30分钟3个入口共进入。8：30到8：45共15分钟5个入口共进入，15分钟到来的人数，每分钟到来。8：30以前原有人。所以应排了（分钟），即第一个来人在7：30。【详解】＝＝159：00－8：30＝30（分钟）8：45－8：30＝15（分钟）30－15＝15（分钟）15÷15＝1＝90－30＝60（分钟）8：30－60分＝7：30答：第一个观众到达的时间是7：30。【点睛】解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每分新来的人的数量，再求出原有观众的数量，进而解答题中所求的问题。4．12天【分析】设1匹马1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析：马和牛

15天

15天马和牛吃草量＝原有草量＋15天新长草量（1）马和羊

20天

20天马和羊吃草量＝原有草量＋20天新长草量（2）牛和羊（同马）

30天

30天马（牛和羊）吃＝原有草量＋30天新长草量（3）由（1）×2－（3）可得：30天牛吃草量＝原有草量÷牛每天吃草量＝原有草量÷30；由（3）分析知道：30天羊吃草量＝30天新长草量，羊每天吃草量＝每天新长草量；将分析的结果带入（2）得：原有草量＝20，带入（3）30天牛吃草量＝20，得牛每天吃草量＝。这样如果马、牛和羊一起吃，可以让羊去吃新生草，马和牛吃原有草可以吃：20÷（1＋）＝12（天）。【详解】20÷30＝20÷（1＋）＝20÷1＝12（天）答：现在让马、牛、羊一起去吃草，12天可以将这片牧草吃尽。【点睛】此题属于典型的牛吃草问题，解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量——一定时间内新长出的草的数量。5．167.4吨【详解】60000÷10000×6.3×＝6×6×＝6×27.9＝167.4（吨）答：7月份这片森林一共可以吸收167.4吨二氧化碳。6．9个【分析】等候检票的旅客人数在变化，旅客相当于草，检票口相当于牛，可以用牛吃草的问题的解法求解。旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。【详解】解：设一个检票口1分钟检票人数为1份。每分钟新来的旅客：（5×30-20×6）÷（30－20）=（150-120）÷10=30÷10=3（份）原有旅客数：5×30-3×30=150-90=60（份）③要使等候的队伍10分钟消失需要的检票口数：（60+10×3）÷10=9（个）答：需要同时开9个检票口。【点睛】此题重点要理清题中的数量关系，弄清旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。7．4个【详解】设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份．（1）水库中每小时增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）（2）水库中原有的超过安全线的水量为：1×30-0.5×30＝15（份）（3）在5.5小时内共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份）（4）至少要开的闸门个数为：17.75÷5.5≈4（个）（采用“进1”法取值）8．8天【详解】略9．42头【详解】试题分析：这是一道比较复杂的牛吃草问题．把每头牛每天吃的草看作1份，因为第一块草地5公顷面积原有草量+5公顷面积30天长的草=10×30=300份，所以每公顷面积原有草量和每公顷面积30天长的草是300÷5=60份；因为第二块草地15公顷面积原有草量+15公顷面积45天长的草=28×45=1260份，所以每公顷面积原有草量和每公顷面积45天长的草是1260÷15=84份，所以45﹣30=15天，每公顷面积长84﹣60=24份；则每公顷面积每天长24÷15=1.6份．所以，每公顷原有草量60﹣30×1.6=12份，第三块地面积是24公顷，所以每天要长1.6×24=38.4份，原有草就有24×12=288份，新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80=3.6头牛所以，一共需要38.4+3.6=42头牛来吃．解：设每头牛每天的吃草量为1，则每公顷30天的总草量为：10×30÷5=60；每公顷45天的总草量为：28×45÷15=84；那么每公顷每天的新生长草量为（84﹣60）÷（45﹣30）=1.6；每公顷原有草量为：60﹣1.6×30=12；那么24公顷原有草量为：12×24=288；24公顷80天新长草量为24×1.6×80=3072；24公顷80天共有草量3072+288=3360；所以有3360÷80=42（头）．答：第三块地可供42头牛吃80天．点评：本题为典型的牛吃草问题，要根据“牛吃的草量﹣生长的草量=消耗原有草量”这个关系式认真分析解决．10．7个【分析】设每个泄洪闸每小时泄洪1份，先求上游的河水的增加速度为：（30×1－10×2）÷（30－10）＝0.5（份）；再求安全线以上的原有的水量为：30×1－0.5×30＝15（份）；至少要同时打开个闸门个数为：（15＋0.5×2.5）÷2.5＝6.5个，为了确保在2.5个小时内使水位降至安全线以下，需要用“进一法”求出得数。【详解】解：设每个泄洪闸每小时泄洪1份，（30×1－10×2）÷（30－10）＝10÷20＝0.5（份）30×1－0.5×30＝30－15＝15（份）（15＋0.5×2.5）÷2.5＝16.25÷2.5≈7（个）答：要求在2.5个小时内使水位降至安全线以下，至少要同时打开7个。【点睛】本题是牛吃草问题，关键是求出草的生长速度（本题相当于每小时的泄洪量）和草地原有的份数（本题相当于安全线以上的原有的水量）。11．4头【分析】设1头牛1周吃1份草，先根据题目给出的两种情况求出原草量，然后确定原来的草量可供几头牛吃1周。【详解】（份/周）（份）4.5份草可供4头牛吃1周。答：原来的草量可供4头牛吃1周。【点睛】本题考查的是牛吃草问题，注意牛的头数是整数，所以要采用去尾法取近似值。12．6头【分析】根据题意，设每头牛每天吃草量为1份。33头牛5天的吃草量为（33×5）份，24头牛6天的吃草量为（24×6）份，两种方式相差（33×5－24×6）份，再除以相差的天数（6－5）天，求出牧场上的草每天减少的量；再用33头牛5天的吃草量加上草5天减少的量，求出牧场上原有的草量；最后用原有的草量减去10天减少的草量，再除以10天，即可求出这个牧场可供几多少头牛吃10天。【详解】设每头牛每天吃草量为1份。每天草的减少量：（33×5－24×6）÷（6－5）＝（165－144）÷1＝21÷1＝21（份）原有草量：33×5＋21×5＝165＋105＝270（份）可供吃10天的牛有：（270－21×10）÷10＝（270－210）÷10＝60÷10＝6（头）答：这个牧场可供6头牛吃10天。【点睛】本题考查牛吃草问题，关键是求出草每天减少的数量和原有的草量。13．45分钟【详解】本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合．小明在小时内走了千米，那么小明的速度为(千米/时)，追及距离为(千米)．汽车去追的话需要：(小时)(分钟)．14．11个【详解】设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客。①1分钟新来多少个单位的旅客＝4÷8＝②检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候，4×15－×15＝60－＝52③5分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客52＋×5＝52＋＝55④设立几个检票口（个）15．36头【分析】吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位.为了计算简便，不妨假定牧场面积用3亩作“单位”来计算，注意10=3×3，21=7×3，因此题目中第二个条件，可以改变为7头牛9星期吃完3亩草地上原有草和新长出来的草．【详解】对3亩草地来说，原有草+4星期新长的草=12×4.原有草+9星期新长的草=7×9.由此可得出，每星期新长的草是（7×9-12×4）÷（9-4）=3.那么原有草是7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是（36+3×18）×（24÷3）=90×7.2这些草能让90×7.2÷18=36（头）牛吃18个星期.答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草.16．35头【详解】解：设每头牛每天吃草量为1份，每亩原有草量为x份，每天每亩新长草量为y份，54×（22-33y）=33x，①84×（17-28y）=28x，②把方程①②联立，解得：y=0.5，x=9那么：（40×9+0.5×40×24）÷24=360÷24+20=35（头）；答：40亩草地可供35头牛食用24天．【点睛】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草的每天生长的速度（份数）和草地原有的草的份数；知识点：（牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数）=草地每天新长草的量；牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草量．17．8点15分【分析】设每个入场口每分钟进1份人，开3个入场口，9分钟就不再有人排队，开5个入场口，5分钟就不再有人排队，根据这两种情况求出原有的人和每分钟来多少人，然后确定第一个人来的时间。【详解】（份/分）（份）（分）9点－45分＝8点15分答：第一个观众到达时间是8点15分。【点睛】需要注意的是，人数不可以是小数，但这里表示的是份数，是可以是小数的。18．12台【详解】解：设1台抽水机1天的抽水量为1单位，则池塘每天的进水速度为：（6×20-8×10）÷（20-10）=4单位，池塘中原有水量：6×20-4×20=40单位．若要5天内抽干水，需要抽水机40÷5+4=12台．19．12天【详解】假设每头牛每天吃青草1份，先求出青草的生长速度；然后求出草地原有的草的份数；再让一部分牛吃生长的草，剩下的牛吃草地原有的草，据此得解。解：假设每头牛每天吃青草1份．青草的生长速度：（20×10-24×6）÷（10-6）=56÷4=14（份）草地原有的草的份数：24×6-14×6=144-84=60（份）每天生长的14份草可供14头牛去吃，那么剩下的19-14=5头牛吃60份草：60÷（19-14）=60÷5=12（天）答：这片草地可供19头牛吃12天．20．5小时【详解】设一台抽水机一小时抽水一份．则每小时涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份，池内原有的水是：（10-5）×20=100份.所以,用25部抽水机需要:100÷(25-5)=5小时21．12台【详解】水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台).水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台).每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台).原有的水可供多少台抽水机抽1天？(台).若6天抽完，共需抽水机多少台？(台).22．6天【分析】开工前运进的面粉相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的面粉相当于“新生长的草”，工人加工食品相当于“牛在吃草”。设1名工人1天用掉面粉的量为“1”，那么每天运来的面粉量为：（4×40－5×30）÷（40－30）＝1，原有面粉量为：（5－1）×30＝120。如果4名工人干30天，那么将会加工掉30天新运来的面粉量以及90原有的面粉量，原有还剩[120－30×（4－1）]，即30，未加工，而后变成6名工人，还需要[30÷（6－1）]天可以加工完。【详解】设1名工人1天用掉面粉的量为“1”，（4×40－5×30）÷（40－30）＝（160－150）÷10＝10÷10＝1（5－1）×30＝4×30＝120120－30×（4－1）＝120－30×3＝120－90＝3030÷（6－1）＝30÷5＝6（天）答：还需要6天加工完。【点睛】本题主要考查了“牛吃草问题”，解答本题的关键是：求出开工后每天运进的面粉量和开工前运进的面粉量。23．21头【分析】设1头牛1周吃1份草，先根据题目给出的两种情况求出草速和原草量，再考虑这片草地可供多少头牛吃12周。【详解】（份/周）（份）（头）答：可供21头牛吃12周。【点睛】本题考查的是牛吃草问题，牛吃草问题也可以通过方程组来求解。24．天【分析】根据题目给出的两种情况，可以求出1200平方米的牧场的原草量和草的增长速度，然后可以求出3600平方米的牧场的原草量和草的增长速度，然后再考虑3600平方米的牧场可供75头牛吃多少天。【详解】设一头牛一天吃1份草；10头牛20天，10×20＝200，原有草量＋20天生长的草量，15头牛10天，15×10＝150，原有草量＋10天生长的草量，从上易发现：1200平方米牧场上20－10＝10天生长草量＝200－150＝50，即1天生长草量＝50÷10＝5；那么1200平方米牧场上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。则3600平方米的牧场1天生长草量＝5×（3600÷1200）＝15；原有草量：100×（3600÷1200）＝300。75头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下60头牛需要300÷60＝5（天）可将原有草吃完。答：可供75头牛吃5天。【点睛】本题考查的是牛吃草问题，求出原草量和草的增长速度是求解问题的关键。25．15小时【详解】设甲车现在的速度为每小时行单位“1”，那么乙车的速度为：（2×5-3×3）÷（5-3）=0.5乙车原来与甲车的距离为：2×5-0.5×5＝7.5所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：7.5÷（1-0.5）=15（小时）26．12天【详解】根据题意，设每头牛每天吃“1”份草，先求出牧场每天的长草量，再求出牧场原有的草量，由此即可算出这片牧草可供21头牛吃的天数．解：设每头牛每天吃“1”份草．每天新生草量为：（23×9-27×6）÷（9-6）=（207-162）÷3=45÷3=15（份）原有草量为：27×6-15×6=72（份）21头牛吃的天数：72÷（21-15）=72÷6=12（天）答：这片牧草可供21头牛吃12天．27．天【分析】题中是3块面积不同的草地，要解决这个问题，可以将3块草地的面积统一起来；10、30、40的最小公倍数是120，所以统一为120公顷，然后再按照一般的牛吃草问题求解。【详解】将3块草地的面积统一为120公顷；设1头牛1天的吃草量为“1”，原条件可转化为：120公顷牧场48头牛28天吃完；120公顷牧场28头牛63天吃完；那么120公顷牧场每天新生长的草量为：120公顷牧场原有草量为：则40公顷牧场每天新生长的草量为，40公顷牧场原有草量为；在60头牛里先分出4头牛来吃新生长的草，剩余的56头牛来吃原有的草，可以吃：（天）答：60头牛6天可以吃完40公顷牧场上全部牧草。【点睛】本题考查的是复杂的牛吃草问题，当有多块草地的时候，可以设法将草地面积转化成一样的。28．6天【分析】总草量可以分为牧场上原有的草和每天减少的草两部分。牧场上原有的草是不变的，每天减少的草因为是匀速减少，所以每天这片草地每天减少的草数量是相同的，即每天减少的草量是不变的。由两个用草量的差可知（10-8）天的减少量，即可求出每天减少的草的量。抓住这两个量即可得解。【详解】解：设1头牛1天吃草1份。每天减少的草量：（30×8－21×10）÷（10－8）=（240－210）÷2=30÷2=15（份）原有草量：210+15×10=210+150=360（份）可供45头牛吃的天数：360÷（45×1+15）=360÷（45+15）=360÷60=6（天）答：可供45头牛吃6天。【点睛】此题属于牛吃草问题，这类题目有一定难度。对于本题而言，关键的是要求出青草每天减少的数量和原有的草量。29．5头【详解】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：，原有草量为：；10天吃完需要牛的头数是：(头)．30．21头【分析】牛的头数×吃的天数＝原有牧草和相应天数生长的牧草，因此（23×9－27×6）表示（9－6）天生长的牧草，用除法求出每天生长出来的牧草，牛的头数×吃的天数－每天生长的牧草×吃的天数＝原有牧草，原有的牧草加12天新增的牧草，最后再除以12，就可以求出一共有牛的头数。【详解】（23×9－27×6）÷（9－6）＝（207－162）÷3＝45÷3＝15（份）27×6－15×6＝（27－15）×6＝12×6＝72（份）（72＋12×15）÷12＝（72＋180）÷12＝252÷12＝21（头）答：这群牛有21头。【点睛】解决“牛吃草”问题的关键是要求出牧场上的“老草”有多少，“新长出的草”是多少。31．30头【详解】每天新生的草量为：（10×20－15×10）÷（20－10）=5(份)牧场原有草量为：10×20－5×20=100（份）供吃4天的牛的头数：（100+5×4）÷4=30（头）答：可供30头牛吃5天．32．40头【分析】牛吃草问题的一个变化就是牛的数量的改变，对于牛减少了或者增加了，我们应该假设牛没有减少或增加，相应的增加或减少一部分草的总量，然后就可以按照基本的牛吃草问题来处理了。【详解】设1头牛1天吃1份草，则牧草每天的生长量：份；原有草量：份。我们可以假设这4头牛没卖，要保证这4头牛在最后两天有草吃，我们必须增加4×2＝8份的草。这样就相当于所有的牛都吃了8天的草。假设牛的数量保持不变，连续吃6＋2＝8天，共需要牧草240＋9×8＋4×2＝320份，因此有牛320÷8＝40头。【点睛】先假设牛没有变化，进而草的总量也相应改变，就转变成常规的牛吃草问题来解决。33．20头【分析】本题中牧场原有草量是多少？每天能生长草量多少？每头牛一天吃草量多少？若这三个量用参数a，b，c表示，再设所求牛的头数为x，则可列出三个方程．若能消去a，b，c，便可解决问题．【详解】解：设整片牧场的原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛一天吃草量为c，x头牛在96天内能把牧场上的草吃完，则有②-①，得36b=120C．④③-②，得96xc=1800c＋36b．⑤将④代入⑤，得96xc＝1800c+120c．解得x=20．答：有20头牛．34．5分钟【分析】本题所给条件中只给出了每次所开进水阀、出水阀的数量及排完水所需时间，没有给出进水、出水具体的数量，所以可设水池容量为１，每个排水阀每分钟排水量为x，进水阀每分钟进水量为y，两次排水量是一样的为１，由此可列式为，由此求出一个进水阀和一个出水阀的效率，再据已知条件求出同时打开三个排水阀，需多少分钟才能排完水池的水。【详解】解：设进水阀和排水阀的效率分别为x和y；将第二个算式乘3；则30（y＋y）－30x＝330x＝60y－3；将第二个算式代入第一个算式中；30y－（60y－3）＝130y＝2；＝1÷＝5（分）答：单开3个排水阀5分钟能排完水池的水。【点睛】解答本题的关键是抓住前两次的排水量一致，分别设出排水和进水的效率，列出两个等量关系式，进而求出排水量。35．93.75亿人【详解】要求地球上最多能养活多少人？就是使人类不断繁衍增长的人口的速度等于地球上新生成的资源的增长速度，所以要求出地球上一年新生的能源是多少？因为地球上新生成的资源的增长速度是一定的，所以可用（137.5亿人生活112.5年的总份数-112.5亿人生活262.5年的总份数）÷（两者的年数差）=一年新生的能源总份数．解：设一亿人一年消耗的能源是1份．那么一年新生的能源是：（262.5×112.5-137.5×112.5）÷（262.5-112.5）=112.5×（262.5-137.5）÷（262.5-112.5）=14062.5÷150=93.75（份）要想使得人类不断生存下去，则每年消耗的能源最多就是每年新生的能源，那么最多的人口是：93.75÷1=93.75（亿人）．答：地球上最多能养活93.75亿人．36．18天【分析】假设每辆汽车每天能运走的货物为1份，4辆9天能运4×9＝36份，5辆6天能运5×6＝30份，相差36－30＝6份，这6份就是仓库在9－6＝3天内进仓的，每天进仓6÷3＝2份，算出仓库原来有的份数，有多少份，若用1辆汽车运，就需要多少天运完。【详解】设1辆汽车1天运货为“1”，进货速度为：（9×4－5×6）÷（9－6）＝6÷3＝2原有存货为：（4－2）×9＝2×9＝18仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要：18÷1＝18（天）答：仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要18天运完。【点睛】本题考查了牛吃草问题，要理解第一种运法比第二种运法多用的3天中，还在运进货物，每天运进来的货物恰好就是两辆车运进来的货物之和。本题关键是得出仓库原来有的份数。37．头【分析】由于三种情况下草地的大小是不一样的，那么原草量和草的增长量都是不同的，这里需要进行转化，求出每公亩牧场每天的牧草生长量，以及每公亩牧场的原草量，然后再考虑多少头牛吃40公亩的草，24天可吃完。【详解】设1头牛1天吃1份牧草，22头牛54天吃掉份，说明每公亩牧场54天提供份牧草；17头牛84天吃掉份，说明每公亩牧场84天提供份牧草。每公亩牧场天多提供份牧草，说明每公亩牧场每天的牧草生长量为份，原有草量为份。如果是40公亩的牧场，原有草量为份，每天新长出份，24天共提供牧草份，可供头牛吃24天。答：35头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃完。【点睛】本题考查的是复杂的牛吃草问题，当多块草地的面积不一样时，需要求出单位面积的增长量及单位面积的原草量。38．6台【分析】此题用方程解答，把每小时涌出的水量看作单位“1”，抽水机每小时的抽水量为x，原计划为y小时，根据题意列出方程，再解方程，即可解答。【详解】设每小时涌出的水量为单位“1”，抽水机每小时的抽水量为x，原计划为y小时，得方程：（8x－1）y＝（9x－1）×（y－8）8xy－y＝9xy－72x－y＋8xy＝72x－8把xy＝72x－8代入（10x－1）（y－12）＝（8x－1）y10xy－120x－y＋12＝8xy－y10（72x－8）－120x＋12＝8（73x－8）720x－80－120x＋12＝576x－6424x＝4＝6（台）答：还应该至少留下6台抽水机。【点睛】此题解答的关键在于把每小时涌出的水量看作单位“1”，通过设未知数，列出方程解答。39．150级【分析】上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度．男孩5分钟走了20×5=100（级），女孩6分钟走了15×6=90（级），女孩比男孩少走了100-90=10（级），多用了6-5=1（分），说明电梯1分钟走10级．由男孩5分钟到达楼上，他