小升初高频易错：乘法原理（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学苏教版

第1页（共1页）乘法原理(知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析)一、乘法原理的基本概念：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法…不管前面n﹣1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2…×mn种不同的方法．二、乘法原理的关键问题：确定工作的完成步骤．三、乘法原理的基本特征：每一步只能完成任务的一部分．四、解题思路1、认真分析问题，确定完成这件事需要的步骤。仔细思考整个过程可以如何划分成不同的阶段，每个阶段即为一个步骤。2、计算每个步骤的方法数。分别确定每个步骤有多少种不同的完成方法。3、运用乘法原理计算总的方法数。将各个步骤的方法数相乘，得到完成这件事的总方法数。【典例1】王玲要参加暑期独唱比赛，她衣橱内有2件上衣，4条裤子和3条裙子，王玲选择一件上衣和一条裤子搭配，或一件上衣与一条裙子搭配，一共有多少种不同的穿衣方法？【答案】见试题解答内容【分析】上衣有2件，选择1件，就有2种不同的选择方法，下衣有4+3＝7件，选择1件就有7种不同的选择方法，它们的积就是全部的选择方法．【解答】解：2×（4+3）＝2×7＝14（种）答：一共有14种不同的穿衣方法．【点评】本题需要用乘法原理去考虑问题即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法．【典例2】三年级一班要从2名男同学和3名女同学中各选出1人代表班级参加比赛，有多少种不同的组队方案？（请画图表示）【答案】见试题解答内容【分析】从2名男同学选1人有2种选法，从3名女同学中选出1人有3种选法，根据乘法原理可知，共有2×3＝6种不同的组队方案．【解答】解：2×3＝6（种）答：有6种不同的组队方案．【点评】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．【典例3】小朋友吃点心，先从水果糖、奶糖、巧克力中任选一种，再从面包、蛋糕中任选一种，有多少种不同的搭配？【答案】见试题解答内容【分析】从水果糖、奶糖、巧克力中任选一种有3种选法；从面包、蛋糕中任选一种有2种选法；根据乘法原理，可得共有：3×2＝6（种）；据此解答．【解答】解：3×2＝6（种）；答：有6种不同的搭配方法．【点评】本题考查了乘法原理即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法．【典例4】王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？【答案】见试题解答内容【分析】每个人都有4种选择，所以根据乘法原理可得，共有4×4×4种选择，据此解答即可．【解答】解：4×4×4＝64（种）答：报名的结果会出现64种不同的情形．【点评】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．【典例5】3.5个茶碗的价钱分别是9元、7元、6元、4元和2元；2个茶盘的价钱分别是8元和5元．如果一个茶碗搭配一个茶盘，一共可以搭配成多少种不同价钱的茶具？【答案】见试题解答内容【分析】由于茶碗的价格共有5种，茶盘的价格共有2种，则每种茶碗的价格都与茶盘的价格有2种不同的搭配方式，根据乘法原理可知，如果一个茶碗配一个茶盘，一共有5×2＝10种搭配方式，再去掉重复的即可得解．【解答】解：5×2＝10（种）由于9+5＝14，6+8＝14，7+5＝12，4+8＝12，所以去掉重复的，共有10﹣2＝8（种）不同价钱．答：一共可以搭配成8种不同价钱的茶具．【点评】本题要从乘法原理去考虑问题；即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法．1．一份快餐含一菜一汤，某快餐店星期一的菜谱是：鸡肉、排骨、紫菜汤、冬瓜汤．星期一有几种不同的配菜方法？配配看．2．我校选了4个学生和2位老师进行乒乓球单打比赛，如果每个学生和每个老师都打1局，一共要打多少局？3．服装店里适合王强穿的上衣有三种价格，分别是46元，50元和34元，适合王强穿的裤子有两种价格，分别是54元和38元．（1）搭配一套衣服最少要多少元？买这样的4套要多少元钱？（2）搭配一套衣服最多要多少元？买这样的3套多少元钱？4．从扬州到南京有两条路可走，从南京到上海有三条路可走，那么从扬州经南京到上海有几条路可以走？5．星期天，小明到小亮家约他一起去博物馆。从小明家到小亮家有3条路可以走，从小亮家到博物馆有4条路可以走。小明去博物馆一共有多少种不同的走法？6．学校食堂供应的午餐中荤菜有3种，素菜有3种。按一荤两素的搭配，一共有多少种搭配方法？荤菜：①小炒牛肉②红烧肉③红烧鱼块素菜：④酸辣土豆丝⑤茄子豆角⑥地三鲜7．从学校到少年宫有两条路，从少年宫到公园也有两条路．小明从学校经过少年宫去公园，共有几种不同的走法？8．王叔叔准备穿一套西装，再配上一条领带．他一共有12种搭配的方法．你能猜出他有几套西装、几条领带吗？9．实验小学学生的学号由三位数字组成，每一位上都可以出现0～9这十个数字．由于扩招学生，学校管理人员就在原来的学号前增加了一个字母，这样比原来增加多少个学号？10．小车正在教元宝认识数学，一共有四张卡片．卡片上分别写着1、2、3、4，请你帮元宝算一下，一共可以组成多少个不同的三位数？11．王老师和李老师带领植物小组的4名学生到南湖公元观察植物．为了留影纪念，四名学生每人都想单独与王老师和李老师分别合一张影，一共要照多少张？12．将“NBA”这三个字母写成3种不同的颜色，现共有4种不同颜色的笔，那么共能写出多少种不同颜色搭配的“NBA”？13．小白兔从家出发，先要跳到一座山的山下，有3条路可走；然后过一座山，有2条路可走，下山后要坐船，河边有两条船，下了船就到姥姥家了．小白兔从家出发到姥姥家，有多少种不同的走法？14．4位女生和2位男生进行羽毛球单打比赛，如果每个女生和每个男生都进行一场比赛，一共要打多少场比赛？15．妈妈有1件毛衣，1件大衣，一条裤子，一条裙子，要配成一套衣服有多少种不同的搭配方法？请写出来．16．书架上放有3本不同的英语书、8本不同的数学书，小红要从书架上任取1本英语书和一本数学书，一共有多少种不同的取法？17．老师家到商场有3条路，从商场再到学校也有3条路，请你帮老师数一数，我从家到学校一共有几条路？18．从甲地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，那么由甲地到丙地共有多少条路可走？19．玲玲有5顶不同的帽子，3件不同的上衣和2条不同的裤子，从中选一顶帽子，一件上衣和一条裤子配成一套，有多少种不同的方法？20．小明的妈妈有三件不同款式的上衣，5条不同颜色的裤子，2顶不同样式的帽子，如果一件上衣、一条裤子和一顶帽子配成一套衣服，小明的妈妈可能有多少套衣服样式不同？21．王阿姨明天中午要出席宴席，衣柜只有一件黄色的丝质衬衫、一件深绿色T恤衫、一件咖啡色的裤子，和一条黑色短裙比较中意．王阿姨可以有几种搭配方法？22．马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋．问：小丑的帽子和鞋共有多少种不同搭配？23．爸爸有三件不同的衬衫和三条不同的领带，如果一件衬衫搭配一条领带，共有几种不同的搭配？24．军军有三套运动服、四双运动鞋，不同的运动服可以和不同的运动鞋搭配，军军运动时能有多少种不同的装束？25．吴老师要从甲城到乙城和丙城两个城市去参观学习，他了解到从甲城到乙城可乘火车、汽车、轮船；从乙城到丙城可乘火车、汽车、轮船、飞机．如果吴老师从甲城到乙城再到丙城一共有多少种不同的走法？26．从学校到公园有3条路可以走，从公园到展览馆有4条路可以走，从学校经公园到展览馆有多少种不同的走法？27．从A地到B地有4条直达铁路，从B地到C地有3条直达铁路，那么从A地到C地．有多少种不同的走法？28．今天小明“当家”，全家的午饭由他安排．家里有两种肉，分别是猪肉和鸡肉；有三种蔬菜，分别是青椒、芹菜和蒜苔．炒菜时要一种肉和一种蔬菜一起炒，小明有几种配菜方式可以选择？你最喜欢吃的是哪一种？29．看一看课前准备中你统计的上衣和裤子，找出三件你最喜欢的上衣和三条你最喜欢的裤子搭配一下，看能搭配出几套衣服？30．小明家到学校共有5条路可走，从学校到少年宫共有3条路可走．小明从家出发，经过学校然后到少年宫，共有多少种不同的走法？

1．【答案】见试题解答内容【分析】一份快餐含一菜一汤，从两份菜中选一份有2种选法、从两份汤中选一份有2种选法，根据乘法原理可知共有2×2＝4种不同的配菜方法．【解答】解：2×2＝4（种）①鸡肉、紫菜汤②排骨、冬瓜汤③鸡肉、冬瓜汤④排骨、紫菜汤答：星期三有4种不同的配菜方法．【点评】本题需要用乘法原理去考虑问题即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法．2．【答案】见试题解答内容【分析】从4个学生中选一人有4种选法，从2位老师中选1人有2种选法，根据乘法原理，所以一共要比赛4×2＝8局．【解答】解：4×2＝8（局）答：一共要打8局．【点评】本题考查了简单的乘法原理，这种类型的题关键是弄清楚怎么分步骤去完成这件事，每一步有多少种选法．3．【答案】见试题解答内容【分析】由题意知，上衣有不同的3件，裤子有不同的两条，根据乘法原理得出一共能搭配成2×3＝6套衣服，（1）价格最低的上衣和裤子搭配在一起，花钱最少，即最少要34+38＝72元，要求买这样的4套要多少元钱，用一套的价格乘4即可；（2）用价格最贵的上衣和裤子搭配在一起，花钱最多，即最多要50+54＝104元，要求买这样的3套要多少元钱，用一套的价格乘3即可．【解答】解：（1）34+38＝72（元）72×4＝288（元）答：买这样的4套要288元钱．（2）50+54＝104（元）104×3＝312（元）答：买这样的3套要312元钱．【点评】解答此题要明确共能搭配成2×3＝6套衣服，价格最低的上衣和裤子搭配在一起价格就最少，反之就最多．4．【答案】见试题解答内容【分析】扬州到南京有两条路可走，从南京到上海有三条路可走，则每一条从扬州到南京的路再到上海都有三种走法．根据乘法原理可知，从扬州经南京到上海共有2×3＝6条路可走．【解答】解：2×3＝6（条）．答：从扬州经南京到上海有6条路可走．【点评】做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1m2…mn种不同的方法．5．【答案】12种。【分析】小明去博物馆的不同走法＝小明家到小亮家的走法×小亮家到博物馆的走法。【解答】解：小明家到小亮家有3条路可以走，从小亮家到博物馆有4条路可以走，所以：3×4＝12（种）答：小明去博物馆一共有12种不同的走法。【点评】本题是一道有关乘法原理（排列组合）的题目。6．【答案】9种。【分析】学校食堂供应的午餐中荤菜有3种，素菜有3种。按一荤两素的搭配，选一荤有3种选法，选两素有3种选法，分别列举出一荤两素的搭配组合即可得解。【解答】解：荤菜：①小炒牛肉，②红烧肉，③红烧鱼块；素菜：④酸辣土豆丝，⑤茄子豆角，⑥地三鲜；按一荤两素来搭配：搭配一：①④⑤；搭配二：①④⑥；搭配三：①⑤⑥；搭配四：②④⑤；搭配五：②④⑥；搭配六：②⑤⑥；搭配七：③④⑤；搭配八：③④⑥；搭配九：③⑤⑥；答一共有9种搭配方法。【点评】此题考查了搭配问题，也可以按乘法原理问题解答，即做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×……×mn种不同的方法。7．【答案】4.【分析】分两步：先看从学校到少年宫有2条路可以走；再看从少年宫到公园也有2条路可以走；根据乘法原理，一共有2×2＝4（种）不同的走法．据此解答即可．【解答】解：2×2＝4（种）答：小明从学校经过少年宫去公园，共有4种不同的走法．【点评】乘法原理为：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，…，做第n步有mn不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1m2…mn种不同的方法．8．【答案】1套、12条，或2套、6条，或3套、4条，或4套、3条，或6套、2条，或12套、1条.【分析】根据乘法原理可知，12种穿法是西装数和领带数的乘积，所以把12拆成两个数的积，即可得解．【解答】解：12＝1×12＝2×6＝3×4，所以西装和领带可能有：1套、12条，或2套、6条，或3套、4条，或4套、3条，或6套、2条，或12套、1条.【点评】本题需要用乘法原理去考虑问题即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法．9．【答案】见试题解答内容【分析】原来学号由三位数字组成，百位、十位和个位都有10种选择；根据乘法原理可得共有10×10×10＝1000个数；在原来的学号前增加了一个字母，即千位有26种选择；即是原来个数的26倍，增加的相当于原来的25倍；据此解答即可．【解答】解：10×10×10×（26﹣1）＝1000×25＝25000（个）答：这样比原来增加25000个学号．【点评】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法；本题有三种衣物，所以需要分三步完成不同的穿衣搭配．10．【答案】见试题解答内容【分析】百位上有4种选法；十位上有3种选法；个位上有2种选法；所以共有：4×3×2＝24个，据此解答即可．【解答】解：4×3×2＝24（个）答：一共可以组成24个不同的三位数．【点评】这种分步骤完成任务的计数问题可归纳为乘法原理：如果完成某项任务要分r个不同的步骤，第一步有n1种不同的方法完成任务，第二步有n2种不同的方法完成任务…，第r步有nr种不同的方法完成任务．那么完成这个任务就有n1•n2…nr种不同的方法．11．【答案】见试题解答内容【分析】先从4个学生中选择1人，有4种不同的方法，再用2个老师中选择1人，有2种不同的方法，根据乘法原理，它们的积就是全部的张数．【解答】解：4×2＝8（张）；答：一共要照8张．【点评】本题用乘法原理去考虑问题；即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法．12．【答案】见试题解答内容【分析】完成这件事分三步，每步写一个字母，方法数依次为4种、3种和2种，根据分步乘法原理，共4×3×2＝24（种）不同的写法；据此解答．【解答】解：根据分析可得：4×3×2＝24（种）答：共能写出24种不同颜色搭配的“NBA”．【点评】本题考查了乘法原理即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法．13．【答案】见试题解答内容【分析】先要跳到一座山的山下，有3条路可走，就有3种选择；然后过一座山，有2条路可走，就有2种选择；下山后要坐船，河边有两条船，就有2种选择；共有3×2×2＝12种不同的走法．【解答】解：3×2×2＝12（种）答：共有12种不同的走法．【点评】本题考查了乘法原理，即：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，…，做第n步有mn不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1m2…mn种不同的方法．14．【答案】见试题解答内容【分析】可以分2个步骤来进行：先从2个男生中选出1位男生有2种不同的选法，再从4个女生中选出4位女生有4种不同的选法，由此再用乘法原理就可解决了．【解答】解：2×4＝8（场）答：一共打8场比赛．【点评】如果完成一件工作，要分几步完成，每一步又各有不同的方法，那么完成这件工作的方法的总数就等于完成各步的方法的乘积．15．【答案】见试题解答内容【分析】从2件上衣中选一件有3种选法；从2条下装中选一条有2种选法；要配成一套衣服，根据乘法原理可得，共有：2×2＝4种不同的搭配方法．【解答】解：2×2＝4（种）毛衣+裤子毛衣+裙子大衣+裤子大衣+裙子答：配成一套衣服一共有4种不同的配法．【点评】本题考查了乘法原理，即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法．16．【答案】见试题解答内容【分析】从3本不同的英语书中取一本有3种取法、从8本不同的数学书中取一本有8种取法，根据乘法原理可知共有3×8＝24种不同的取法．【解答】解：3×8＝24（种），答：一共有24种不同的取法．【点评】本题需要用乘法原理去考虑问题即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法．17．【答案】见试题解答内容【分析】老师从家到学校分两个步骤完成，第一步从家到商场有3条路线，第二步从商场到学校有3条路线，根据乘法原理，即可得解．【解答】解：3×3＝9（条）；答：老师从家到学校一共有9条路．【点评】此题考查了简单的排列组合，分步完成用乘法原理．18．【答案】见试题解答内容【分析】由题意可知：由甲地到丙地要分两步完成：①从甲地到乙地；②从乙地到丙地；又因每一步的方法已知，直接利用乘法原理解决问题．【解答】解：3×2＝6（种），答：从甲地经乙地到丙地共有6种走法．【点评】做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1m2…mn种不同的方法．19．【答案】见试题解答内容【分析】三件不同款式的上衣件有3种选法、2条不同的裤子有2种选法、5顶不同的帽子有5种选法，根据乘法原理，共有3×2×5＝30套不同穿法．【解答】解：3×2×5＝30（套）答：有30套不同的穿法．【点评】本题需要用乘法原理去考虑问题即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法．20．【答案】见试题解答内容【分析】三件不同款式的上衣件有3种选法、5条不同颜色的裤子有5种选法、2顶不同样式的帽子有2种选法，根据乘法原理，共有3×2＝6套不同穿法．【解答】解：3×5×2＝30（套）答：小明的妈妈可能有30套衣服样式不同．故选：B．【点评】本题需要用乘法原理去考虑问题即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法．21．【答案】见试题解答内容【分析】由题意，从一件咖啡色的裤子和一条黑色短裙中选一件有2种选法，从两件上衣中选一件有2种选法，共有2×2＝4种不同穿法．【解答】解：2×2＝4（种），答：王阿姨可以有4种搭配方法．【点评】本题需要用乘法原理去考虑问题即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法．22．【答案】见试题解答内容【分析】第一步戴帽子，有3种方法；第二步穿鞋，有2种方法．对第一步的每种方法，第二步都有两种方法，所以不同的搭配共有3×2＝6（种）．【解答】解：3×2＝6（种）答：帽子和鞋共有6种搭配．【点评】本题考查了乘法原理，还可画图解答：23．【答案】见试题解答内容【分析】从3件衬衫中选一件有3种选法；从三条不同的领带中选一条有3种选法；根据乘法原理，可得共有：3×3＝9（种）；据此解答．【解答】解：3×3＝9（种）答：共有9种不同的搭配．【点评】本题考查了简单的乘法原理，由于情况数较少可以用枚举法解答，注意要按顺序写出，防止遗漏；这种类型的题关键是弄清楚怎么分步骤去完成这件事，每一步有多少种选法．24．【答案】见试题解答内容【分析】从三套运动服中选一种有3种选法；从四双运动鞋中选一种有4种选法；根据乘法原理，可得共有：3×4＝12（种）；据此解答．【解答】解：根据分析可得：3×4＝12（种）答：军军运动时能有12种不同的装束．【点评】本题考查了乘法原理即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法．25．【答案】见试题解答内容【分析】由题意，从甲城到乙城可乘火车、汽车、轮船，即有3种选择；从乙城到丙城可乘火车、汽车、轮船、飞机，即有4中选择；如果吴老师从甲城到乙城再到丙城，要求一共有多少种不同的走法，根据乘法原理，则有3×4＝12种不同的走法．【解答】解：3×4＝12（种）答：一共有12种不同的走法．【点评】此题属于加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法，…，第N类方式有M（N）种方法，那么完成这件事情共有M1+M2…Mn种方法．26．【答案】见试题解答内容【分析】由图可知，从学校到公园有3种走法，从公园