2024年中考数学复习：正方形相关模型结论归纳

正方形相关模型结论归纳

已知正方形ABCD,AB=6,点P在对角线BD上,AP交DC于G,PH1DC,PE1PA交BC于E,PF1BC,垂足为F点连接EG交P

F于N,连接AN交PE于M,EK_LBD于K,连接AE交BC与Q点。

结论1：△PAE是等腰直角三角形；（旋转全等）

分析:过P点作PI_LAB交AB于I点：

①四边形APEB为对角互补四边形，

得:ZPAI=ZPEF

②证：APAI^APEF（AAS）

得:PA=PE

③在RtAAPE中,PA=PE

得：△PAE是等腰直角三角形

结论2:EF=EC（对称性）

分析:连接PC

①正方形对称性,得PA=PC

②PC=PA=PE

③在等腰4PEC中，PE=PC,PF1EC

得EF=EC（三线合一）

结论3:PB-PD=(图形的切害(1)

分析：

①在等腰RtAPBF中,PB=V2(a+b)

②在等腰RtAPDH中,PD=V2b

③.■PB-PD=V2a=y/2BE

结论4:EG=EB+DG(半角模型)

分析:延长CB至点J,使得BJ=DG,连接AJ

©△ABJ^AADG(SAS),得AJ=AG

②半角,得NEAG=NEAJ=45。

③AAEJ当AAEG(SAS)得EG=EJ

EG=EJ=BE+BJ=BE+DG

结论5:BC+BE=&BP(图形的切割)

分析：

①BC=a+2b,BE=a,BP=《(a+b)

②BC+BE=2(a+b)=V2BP

结论6:GA平分/DGE（半角模型导角）

分析：半角模型图

ZDGA=ZBJA=ZEGA,得GA平分NDGE

同理可证:AE平分NBEG

结论7:A到EG的距离是定值（半角模型推平分，角平分线的性质）

分析:过A点作AL_LEG交EG于点L

：AG平分NDGE,AL1EG,AD1DG

.\AL=AD=6

AA点到EG的距离是定值，其值为6

结论8：△EFN的周长为定值（半角模型结论的推广）

分析：

①EG=BE+DG（结论4得到的）

©AEGC周长=EG+EC+CG=BC+CD=12

③FN为△ECG的中位线，

得^EFN的周长为八EGC周长的一半，定值为6

结论9:FH=AP（矩形的性质）

分析：

①四边形PFCH为矩形,得FH=PC

②正方形的对称性,得PC=PA

.\FH=AP

结论10:ZBAE=ZBPE（八字导角）

分析：

①结合△PAE为等腰直角三角形，得NAEP=45。

②NABD=NAEP=45°

③NBAE=NBPE（八字导角）

结论11:ZAPB=ZAEG（半角模型导角+八字导角）

分析：

①全等,得ZAEB=ZAEG

②导角，得ZAEB=ZAPB

③NAPB=/AEG

结论12:ZDGE=2ZAQD（半角模型导角+八字导角）

分析：

①全等,得:ZDGE=2ZAGD②导角，ZAGD=ZAQD

得：ZDGE=2ZAQD

结论13:PQ2=BQ2+PD2(半角模型)

分析：

过A点作AR_LAG,使得AR=AP,连接BR

①证：△ARB当APD(SAS)

②NRBD=90。,在RtABRQ中,RQ2=BR2+BQ2

@AAQP^AAQR(SAS).得PQ=RQ

PQ2=BR2+BQ2=BQ2+PD2

结论14:AB=V^PK（图形的切害（］）

分析：

①AB=a+2b

②BP=V2（a+b）,BK=yd

贝（JPK=PB-BK=^a+y[2b

（3）\f2PK=a+2b=AB

结论15:若BE=2,则求PF=?（图形的切割）

分析：

①BE=a=2,BC=a+2b=6,得b=2

②PF=BF=a+b=4

结论16:若/EPF=22.5。,求PF（角平分线定理）

分析：

①在等腰直角△PFB中,PE平分NBPF

得：”企

②BC=a+2b=6,易得PF=3V2

结论17：若4PEC为等边三角形，求PD的长（等边三角形线段比）

分析：

①在RtAPEF中，ZEPF=30°

得：PF=V3EF

（2）a+b=逐仇得a=（V3—l）b

③BC=a+2b=（遮+l）b=6

b=3（V3-1）,PD=V2h=3V6-3V2

结论18:若SAABE=6,求SAECG的面积（半角模型）

分析：

①由面积可得:BE=2,EC=4

②设DG=a,则EG=a+2,CG=6-a在RtAECG中,16+（6-a）2=（a+2产得a=3

ASAECG=6

结论19:若AN±EG,求PD的长;（轴对称）

①AN垂直平分EG,得AE=AG

②RtAABE义RtAADG（HL）,得：ZDPG=ZDGP=67.5°

得PD=DG

③在RtAADC中,PD=DG=60-6（角平分线线段比）

结论20:若AN_LEG,求证:NA-NE=V5NP（轴对称）

分析：

①NA=AD=DC

②可证四边形NGDP为菱形

故NA-NE=DC-DG=GC,

③在△GNC中，有GC=V2GW=V2NP

NA-NE=GC=y/2NP

结论21:若AN1EG,求需和鬟的值：（轴对称+勾股定理）

DlVlctr

分析：

①由结论19得到:PD=PG=-6

②对称性得BM=DM,△POM^APHG

③CM:CH'=CG:DG=V2:1

④在△ABE中，需=正守

PQ_AO_yf2

EG-AN-2

结论22:若AN_LEG,求证:AM=2PN（旋转全等+斜边中线）

分析：

①△APM之EPG

②N为EG的中点，

得AM=EG=2PN（斜边中线）

结论23:GE-GC=2GH（图形的切割）

分析：

GE-GC=BE+DG-GC

=a+GH+b-（a+2b-GH-b）

=2GH

结论24:GE+GC=2CH(图形的切割)

分析：

GE+GC=a+DG+GC=a+(a+2b)=2(a+b)=2CH

结论25:PE2-PG2=EG-GC;(图形的切割+勾股定理)

分析：

①PE?-PG2=PC2-PG2=CH2-GH2=(CH+GH)(CH-GH,

②GH=DG-DH=DG-FC,CH=PF=BF

，CH+GH=BF+DG-FC=BE+DG=EG

@PE2-PG2=EG•GC

结论26:若NBAE=15。,则GP+GC=GE;(半角模型导角+等边三角形线段比)

分析：

®ZGEC=ZHPE=ZDAG=30°,得:GP=2GH

②由结论23得:GE-GC=2GH

.•.GP+GC=GE

结论27:若AN_LEG,求PQ+PN的值:（结论应用）

分析：

由结论19和21,得GE=V2GC=V2PQ

又PN=DG,；.PQ+PN=DC=6

结论28:若AN1EG,求证:EN2=AN-MN;（九年级母子相似）

分析：

导角可证:△NAESNEM

EN2=AN-MN

结论29:若AN_LEG,求AGPG的值;（九年级四点共圆+射影定理）

分析：

①A、E、N、P四点共圆

AGPG=EGNG=GC2,

circle2GC=12—6V2

AGPG=216-144V2

结论30:若AN±EG,求AM-AN+EMEP的直（面积法）

分析：

①由（22）得至!J:AM=EG,AM-AN=EG-AN

有AM•AN=2AD-DG=72&-72

②EM=MG,EM*EP=^2PG-EP=AG-PG=216-144或

③AM-AN+EM-EP=144-72V2

结论31:若AN_LEG,求证:AE-AP+PN.EN=36;（等积变形）

分析：

①由（19）、（20）得到:

AE=AG,PN=NG,故AE-AP=2SAAEG,

PN-EN=EN-NC=SAECG

②AE.AP+PN.EN=S正方形ABCD=36

B

EFC

结论32:0是BD上动点,若SABE=6,求OG+OC的最小值:（轴对称）

分析：

①由（18）得G为DC的中点,取AD中点G,

②OG+OC=OG+OC>CG'=3V5

结论33:求BPDQ的值【设BP=x,DQ=y,求y=f（x）】;（半角模型）

分析：

①由(13)得PQ2=BQ2+PD2

②设BP=x,口(>丫代入得：

(久+y—6)2=(6—X)2+(6-y)2

(日5x4-18

结论34:点X在BC上，点Y在AB上,若SAABE=6,求折线GX+XY+YG的最小值;（轴对如D

分析：

①由（18）得:G为DC的中点G2

②分别将点G关于BC、AB轴对称至Gi,G2根据对称性得：

GX+XY+YG

=GiX+XY+YG2>GIG2=6V5

结论35:若AN1EG,

求证:PN平分NANG,PC平分NEPG（四点共圆）

分析：

①A、P、N、E四点共圆；

E、C、G、P四点共圆

②PN平分NANG,PC平分NEPG

结论36:若AN_LEG,求证：甯£=（结论延伸）

分析：

①由（19）、（20）得BP=BA=6

②对称性BE=DG=6V2-6

结论37:若BF=FC,求差的值；（结论延伸）

分析：

①由⑵得EF=FC,得E与B重合

②得落=1

结论38:设DP=x,求S四边形PHCF=f（x）;（图形的切割）

分析：

①由⑸得:PD=V2PW,CH=6-PH

②Se、…=f（x）=—xx（6——%）=--x2+3y/2x