教师资格认定考试初级中学数学真题2021年上半年

教师资格认定考试初级中学数学真题2021年上半年一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的．)1.

在空间直角坐标系中，直线与平面3x-2y-z+15=0的位置关系是______A.相交且垂直B.相交不垂直C.平行D.直线在平面上正确答案：D[解析]过点(2，11，-1)，且一个方向向量为m=(3，4，1)；平面3x-2y-z+15=0的一个法向量为n=(3，-2，-1)．由于m·n=3×3+4×(-2)+1×(-1)=0，而3×2-2×11-(-1)+15=0，故直线在平面上．

2.

下列选项中，使得函数一致连续的x的取值范围是______

A．(0，1)

B．(0，1]

C．

D．(-∞，+∞)正确答案：C[解析]根据一致连续性定理，若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上一致连续．因为函数在(-∞，0)∪(0，+∞)上是连续的，故只有C项满足．

3.

方程x4-3x3+6x-4=0的整数解的个数是______A.0B.1C.2D.3正确答案：C[解析]因为多项式f(x)=x4-3x3+6x-4的首项系数1的因数只有±1，常数项-4的因数只有±1，±2，±4，所以方程x4-3x3+6x-4=0的整数解只能是：±1，±2，±4．容易验证，只有f(1)=0，f(2)=0，所以方程x4-3x3+6x-4=0共有2个整数解，分别是x=1和x=2．

4.

设函数y=f(x)在x0的自变量的改变量为Δx，相应的函数改变量为Δy．ο(Δx)表示Δx的高阶无穷小．若函数y=f(x)在x0可微，则下列表述不正确的是______A.Δy=f'(x0)dxB.dy=f'(x0)dxC.Δy=f'(x0)Δx+ο(Δx)D.Δy=dy+ο(Δx)正确答案：A[解析]若y=f(x)在x0可微，则有Δy=f'(x0)Δx+ο(Δx)，其中f'(x0)Δx=f'(x0)dx=dy．

5.

抛掷两粒正方体骰子(每个面上的点数分别为1，2，…，6)，假定每个面向上的可能性相同，观察向上面的点数，则点数之和等于5的概率为______

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]将两粒骰子向上面的点数组合记作(x，y)，则(x，y)所有可能的取值有6×6=36(种)，其中点数之和等于5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种．因此，所求概率为

6.

对于m×n矩阵A，存在n×s矩阵B(B≠O)，使得AB=O成立的充要条件是矩阵A的秩r(A)满足______A.r(A)＜nB.r(A)≤nC.r(A)＞nD.r(A)≥n正确答案：A[解析]“对于m×n矩阵A，存在n×s矩阵B(B≠O)，使得AB=O成立”等价于“n元齐次线性方程组Ax=0有非零解”等价于“系数矩阵A的秩小于未知量的个数n”，即“r(A)＜n”．

7.

以下关于一个五边形与其经过位似变换后的对应图形之间的关系的描述，不正确的是______A.对应线段成比例B.对应点连线共点C.对应角不相等D.面积的比等于对应线段的比的平方正确答案：C[解析]如果两个相似多边形任意一组对应点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP'=k·OP(k≠0)，那么这两个多边形叫做位似多边形．因此，五边形与其经过位似变换后的对应图形相似，从而它们对应角相等，对应线段成比例，面积的比等于对应线段的比的平方．

8.

试题“设，求当时，T的值．”主要考查学生的______A.空间观念B.运算能力C.数据分析观念D.应用意识正确答案：B[解析]《义务教育数学课程标准(2011年版)》关于运算能力的描述是“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力”，题干中的试题，需要学生根据运算法则和运算律对代数式进行适当的化简变形，再代入具体数值，计算求得正确的结果，这考查的是学生的运算能力．

二、简答题(每小题7分，共35分)1.

已知平面上一椭圆，长半轴长为a，短半轴长为b(0＜b＜a)，求该椭圆绕着长轴旋转一周得到的旋转体的体积．正确答案：以椭圆的长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(min)的概率密度函数为fX(x)=用变量Y表示顾客对银行服务质量的评价值，若顾客等待时间不超过5min，则评价值Y=1；否则，评价值Y=-1，即

求：2.

X的分布函数．正确答案：

3.

Y的分布律．正确答案：由上小题知，

已知方程组有唯一解，当且仅当行列式不等于零，请回答下列问题：4.

行列式②的几何意义是什么?正确答案：行列式②表示向量αi=(ai1，ai2，ai3)(i=1，2，3)的混合积，其值即为以α1，α2，α3为棱的平行六面体的定向体积(α1，α2，α3构成左手系时为负，构成右手系时为正)．

5.

上述结论的几何意义是什么?正确答案：方程组①有唯一解表示平面πi：ai1x+ai2y+ai3z=bi(i=1，2，3)相交于一点．行列式②不等于零表示向量αi=(ai1，ai2，ai3)(i=1，2，3)的混合积不等于零，即向量αi=(ai1，ai2，ai3)(i=1，2，3)不共面．因此，题中结论的几何意义是：平面πi：ai1x+ai2y+ai3z=6i(i=1，2，3)相交于一点当且仅当它们的法向量αi=(ai1，ai2，ai3)(i=1，2，3)不共面．

6.

某教师在引领学生探究“圆周角定理”时，首先进行画图、测量等探究活动，获得对圆周角和圆心角大小关系的猜想；进一步寻找证明猜想的思路并进行严格证明；最后，教师又通过几何软件对两类角的大小关系进行验证，从推理的角度，请谈谈你对教师这样处理的看法．正确答案：在初中数学中，经常使用的两种推理是合情推理和演绎推理．合情推理是从已有的事实和正确的结论出发，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳和类比，然后提出猜想的推理．演绎推理是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)出发，按照规定的法则(包括逻辑和运算)证明结论．

该教师首先进行画图、测量等探究活动，获得对圆周角和圆心角大小关系的猜想，就是引导学生经历合情推理提出猜想的过程，提高学生发现问题和提出问题的能力．在学生给出猜想后，进一步引导学生寻找证明猜想的思路．进行严格证明就是引导学生经历演绎推理，严谨地证明提出的猜想的过程，提高学生分析问题和解决问题的能力．在整体解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论．两种推理方法相辅相成，更有利于学生掌握“圆周角定理”．

7.

数学课堂教学中，为了鼓励学生独立思考，深入理解问题，教师常常在呈现任务后，不是立刻讲解，而是留给学生足够的思考时间，这种教学方式可称之为“课堂留白”，请你谈谈课堂留白的必要性及意义．正确答案：(1)必要性：数学教学活动中，要求以学生为主体，学生是课堂的主人，教师是引导者，倡导积极主动、勇于探索、动手实践、合作交流的学习方式，学生的数学学习活动不应限于接受、记忆、模仿和练习．

(2)意义：①有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，学生被动接受变为主动探索．②课堂上长时间的“满堂灌”不利于学生接受和理解所学知识，适时留出一点思考时间，反而能舒缓学生的紧张心理，集中学生的注意力，提高思维的质量．③能极大地发挥学生主观能动性，激发学生积极探索、自主学习数学的兴趣，激发学生的求知欲，启迪学生的思维．

三、解答题(本大题10分)已知非齐次线性方程组1.

a为何值时，其对应的齐次线性方程组的解空间的维数为2?正确答案：题中非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组为Ax=0，其中A=；x=(x1，x2，x3，x4)T．若Ax=0的解空间的维数为2，则有4-r(A)=2，即r(A)=2．为方便第2小题求非齐次线性方程组Ax=b(b=(-6，-2，-14，-8)T)的通解，这里对其增广矩阵(A，b)作初等行变换，化成行阶梯形矩阵：(A，b)=

显然，要使r(A)=2，需令a+7=0，即a=-7．

2.

对于上小题中确定的a的值，求该非齐次线性方程组的通解．正确答案：根据上小题可知，当a=-7时，将增广矩阵(A，b)化成行最简阶梯形矩阵：

四、论述题(本大题15分)1.

数学运算能力是中学数学教学需要培养的基本能力．学生的数学运算能力具体表现在哪些方面?请以整式运算为例予以说明．正确答案：数学运算能力主要表现在：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果．

例如，化简(3x+2y)(2x+5)-(3x+2y)(x+5)．一般的步骤是先去括号，然后合并同类项，即(3x+2y)(2x+5)-(3x+2y)(x+5)=(6x2+15x+4xy+10y)-(3x2+15x+2xy+10y)=3x2+2xy．

在运算过程中，学生首先要理解运算对象．在上例中，3x是单项式，3x+2y是多项式，理解运算对象是进行数学运算的起点，是正确进行运算的基础．

在理解运算对象的基础上正确运用运算法则进行计算是计算出结果的关键．在上例中，整式运算法则包括加、减、乘、除、去括号和合并同类项．学生只有在深刻理解并记忆这些法则的基础上才能进行正确的运算．

运算时根据实际问题合理利用运算法则，拓展运算思路是运算能力较高级的体现．在上例中，通过分析发现(3x+2y)(2x+5)和(3x+2y)(x+5)有公因式3x+2y，可以将其提取出来，简化运算过程，节省运算时间．

运算以结果为导向，正确计算出结果是优秀运算能力的最终体现．在上例中无论是使用一般步骤的解法还是提取公因式的简便算法，在运算法则的指导下正确计算出结果才是最终目的．

五、案例分析题(本大题20分)下面是初中“三角形的内角和定理”的教学案例片段．

教师请学生回忆小学学过的三角形内角和是多少度，并让学生用提前准备好的三角形纸片进行剪拼并演示．下面是部分学生演示的图形(如图1、图2所示)：

图1

图2

在图1中，三角形的三个内角拼在一起后，B，C，D三点在一条直线上，看似构成一个平角，教师质疑，看上去是平角就是平角了吗?学生的回答是“不一定”．接着，教师利用图1启发学生思考：

①既然不能判定B，C，D是否一定在同一条直线上(即组成平角)，可以换个角度，先构造一个平角，引导学生结合图1思考如何作辅助线——构造平角．学生想到了作BC的延长线BD，如图3所示．

②图1中，∠1与∠A是什么关系?启发学生在∠ACD内作∠1=∠A，或过点C作CE∥AB，如图4所示．

图3

图4

③现在只要证明什么?(证明∠2=∠B)

问题：1.

该教师让学生回忆并用拼图的方法感知三角形的内角和，请简述其教学意图．正确答案：从学生已有的知识经验出发，符合学生的认知规律，便于建立起新旧知识之间的联系．引导学生通过观察实验操作，直观地感受并发现实验操作的局限性，进而了解证明的必要性，在丰富的拼图活动中发展学生思维的灵活性、创造性，为下一步证明三角形内角和定理提供思路和方法．这样的教学设计符合课程标准的基本要求，体现了学生的主体性和教师的引导性，使学生体验到数学源于实践生活，同时还能激发学生对新知识的好奇心．

2.

利用图2设计问题串，使得这些问题能够引导学生发现三角形内角和定理的证法．正确答案：如图1所示，在原图的基础上标记点M，N，标记∠3，∠4．

问题1：如图1所示，我们把三个角拼在一起，看起来像平角，是不是就一定是平角呢?(不一定)

问题2：看起来像平角，我们是不是可以大胆猜想它是平角呢?(是)数学中很多结论和直观认识是一致的，但需要严格证明．

问题3：∠3和∠B有什么关系?(相等)

问题4：它们还有什么关系?联系一下我们前面学过的知识．(它们是内错角)

问题5：那可以得到什么结论?(AM与BC平行)

问题6：∠4和∠C有什么关系?(相等、内错角)

问题7：那可以得到什么结论?(AN与BC平行)

问题8：AM与BC平行、AN与BC平行，那我们可以得到什么结论?(M，A，N在一条直线上)过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

问题9：这是不是就可以说明∠MAN是平角呢?(是)

图1

3.

请再给出其他两种三角形纸片的拼法，并画图表示．正确答案：拼法一：如图2所示，将△ABC中的∠B剪下来，与∠A拼到一起．

拼法二：如图3所示，在△ABC中取AB，AC的中点，分别记为D，E，将∠A沿DE向下翻折，∠B沿过D点垂直BC的直线向右翻折，∠C沿过E点垂直BC的直线向左翻折，则翻折后点A，B，C会落到BC上的同一点，记为点F．

图2

图3

六、教学设计题(本大题30分)“平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2”是初中乘法公式的内容之一．某教师教学时，将引导学生归纳猜想平方差公式作为教学过程的环节之一，设计思路如下：

假定b=1，问题简化为(a+1)(a-1)=?

当a=2，(2+1)(2-1)=3=22-1；①

当a=3，(3+1)(3-1)=8=32-1；②

当a=4，(4+1)(4-1)=15=42-1．③

观察上面式子：

猜测：(a+1)(a-1)=a2-1．

取b=2，3，4，…，仿照上面，猜测等式左右两边的数之间的关系，进而猜想一般规律：

(a+b)(a-b)=a2-b2．(证明过程略)

请你完成下列任务：1.

简述该教师在该环节的教学设计意图．正确答案：教师引导学生经历从简单到复杂，从特殊到一般猜想得出平方差公式，并组织验证．这样的教学设计使得学生经历“特例—归纳—猜想—验证”这一数学活动过程，符合学生的认知规律，能够积累数学活动经验，进一步发展学生的符号意识、推理能力，同时也能使学生体会到数学的简洁美．

2.

简述平方差公式在初中数学中的地位．正确答案：平方差公式是在学生掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例．对它的学习和研究，不仅了解了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为学习完全平方公式提供了方法．平方差公式作为初中阶段的第一个公式，同时也是最基本、用途最广泛的公式之一，在初中数学中具有很重要的地位，起着承上启下的作用．

3.

请给出平方差公式的教学目标，并设计教学过程．正确答案：教学目标：

知识与技能目标：了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，会正确运用平方差公式简化计算和解决问题．

过程与方法目标：经历探索平方差公式的过程，进一步提升符号意识和运算能力、推理能力．

情感态度与价值观目标：感受数学活动的探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验．

教学过程：

一、创设情境，导入新课

问题：小明去商店买水果，橘子是5.3元每斤，他买了4.7斤，在结账的时候，售货员刚拿出计算器，小明马上说出应付24.91元，结果与售货员用计算器算出的一致，售货员惊讶地问：“你是怎么算这么快的?”小明说：“我利用了数学课上学过的一个数学公式，”同学们，你们想知道是什么数学公式吗?学习完本节课之后，你就知道了．

二、探索新知

探索规