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人教新版九年级下册《第27章相似三角形》单元测试卷一、选择题1.在相同时刻,物高与影长成正比.如果高为1.5米的标杆影长为2.5米,那么影长为30米的旗杆的高为()A.20米 B.18米 C.16米 D.15米2.通过一个3倍的放大镜看一个△ABC,下面说法正确的是()A.△ABC放大后,∠A是原来的3倍 B.△ABC放大后周长是原来的3倍 C.△ABC放大后,面积是原来的3倍 D.以上都不对3.如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是()A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C.= D.=4.若两个图形位似,则下列叙述不正确的是()A.每对对应点所在的直线相交于同一点 B.两个图形上的对应线段之比等于位似比 C.两个图形上的对应线段必平行 D.两个图形的面积比等于位似比的平方5.如图,在平行四边形ABCD中,E是CD上的一点,DE:EC=2:3,连接AE、BE、BD,且AE、BD交于点F,则S△DEF:S△EBF:S△ABF=()A.2:5:25 B.4:9:25 C.2:3:5 D.4:10:256.已知正方形ABCD,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件中不能推出△ABP与△ECP相似的是()A.∠APB=∠EPC B.∠APE=90° C.P是BC的中点 D.BP:BC=2:37.已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=()A. B. C. D.28.如图,在△ABC中,DE与BC不平行,那么下列条件中,不能判断△ADE∽△ACB的是()A.∠ADE=∠C B. C.∠AED=∠B D.9.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O为位似中心,在第三象限内得到与△OAB的位似比为的位似图形△OCD,则点C的坐标为()A.(﹣1,﹣1) B.(﹣,﹣1) C.(﹣1,﹣) D.(﹣2,﹣1)10.一个三角形三边的长分别为3,5,7,另一个与它相似的三角形的最长边是21,则其它两边的和是()A.19 B.17 C.24 D.21二、填空题11.两相似菱形的面积比为4:9,周长之差为13cm,则这两个菱形的周长分别为.12.如图,在四边形ABCD中,如果,要使△ADC∽△BAC,还需添加一个条件是(填一个即可).13.如图,在平面直角坐标系中,一个含有45°角的三角板的其中一个锐角顶点置于点A(﹣3,﹣3)处,将其绕点A旋转,这个45°角的两边所在的直线分别交x轴、y轴的正半轴于点B,C,连接BC,函数(x>0)的图象经过BC的中点D,则k=.14.如果两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm,那么最短边分别为5cm和cm.15.如图,直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F.若BC=2,则EF的长是.16.如图,Rt△ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB于D,AC=8,BC=6,则AD=.三、解答题17.如图,四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(2,6),B(4,2),C(6,2),D(6,4),在第一象限内,画出以原点为位似中心,相似比为的位似图形A1B1C1D1,并写出各点坐标.18.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于点D,过点D作⊙O的切线交BC于点E,连接OE.(1)求证:△DBE是等腰三角形;(2)求证:△COE∽△CAB.19.如图,△ABC中,点D在边AB上,满足∠ACD=∠B,若AC=2,AD=1.(1)求DB的长;(2)求△ACD与△ABC的面积的比.20.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6.若动点D从点B出发,沿线段BA运动到点A为止,运动速度为每秒2个单位长度.过点D作DE∥BC交AC于点E,设动点D运动的时间为x秒,AE的长为y.(1)求出y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)当x为何值时,△BDE的面积S有最大值,最大值为多少?21.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ACD沿AD折叠,使得点C落在斜边AB上的点E处.(1)求证:△BDE∽△BAC;(2)已知AC=6,BC=8,求线段AD的长度.
参考答案与试题解析一、选择题1.【分析】在同一时刻物高和影长成正比,即在同一时刻的两个物体,影子,经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.【解答】根据题意解:=,即,∴旗杆的高==18米.故选:B.【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中,利用相似三角形的相似比,列出方程,求解即可得出旗杆的高.2.【分析】根据相似三角形的性质,相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方来判断.【解答】解:用一个能放大3倍的放大镜看△ABC,则看到的三角形与△ABC相似,相似比是3:1,A、两个相似三角形的对应角相等,故A错;B、周长的比等于相似比,即△ABC放大后,周长是原来的3倍,故B正确;C、面积的比是相似比的平方,即9:1,△ABC放大后,面积是原来的9倍,故C错;D、A选项错误,故D错.故选:B.【点评】本题考查对相似三角形性质的理解.(1)相似三角形周长的比等于相似比.(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方.(3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.3.【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可.【解答】解:A、当∠ABP=∠C时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项不符合题意;B、当∠APB=∠ABC时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项不符合题意;C、当=时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项不符合题意;D、无法得到△ABP∽△ACB,故此选项符合题意.故选:D.【点评】此题主要考查了相似三角形的判定,正确把握判定方法是解题关键.4.【分析】根据位似图形的性质,对各选项依次分析可得答案.【解答】解:根据位似图形的性质,A、每对对应点所在的直线相交于同一点,A正确;B、根据相似的性质,两个位似的图形上的对应线段之比等于位似比,B正确;C、两个图形上的对应线段可能平行,也可能共线,C错误;D、根据相似的性质,两个图形的面积比等于位似比的平方,D正确;故选:C.【点评】本题考查了位似的相关知识,位似是相似的特殊形式.5.【分析】根据平行四边形的性质求出DC=AB,DC∥AB,求出DE:AB=2:5,根据相似三角形的判定推出△DEF∽△BAF,求出△DEF和△ABF的面积比,根据三角形的面积公式求出△DEF和△EBF的面积比,即可求出答案.【解答】解:根据图形知:△DEF的边DF和△BFE的边BF上的高相等,并设这个高为h,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC=AB,DC∥AB,∵DE:EC=2:3,∴DE:AB=2:5,∵DC∥AB,∴△DEF∽△BAF,∴==,==,∴====∴S△DEF:S△EBF:S△ABF=4:10:25,故选:D.【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定,三角形的面积,平行四边形的性质的应用,关键是求出和的值,注意:相似三角形的面积比等于相似比的平方,若两三角形不相似,求面积比应根据三角形的面积公式求.6.【分析】A、根据已知条件∠APB=∠EPC,∠B=∠C=90°,可判断三角形相似即可;B、利用∠APB与∠EPC互余,可推出∠APB=∠PEC,进而证明两三角形相似即可;C、P为BC中点,各边对应不成比例,从而不能判断三角形相似;D、根据给出的比例,可推出对应边成比例,从而三角形相似.【解答】解:根据题意可画出如下示意图:∵∠APB=∠EPC,∠B=∠C=90°,∴△ABP∽△EPC,故A不符合题意;∵∠APE=90°,∴∠APB+∠CPE=90°,∵∠BAP+∠APB=90°,∴∠BAP=∠CPE,∴△ABP∽△PCE,故B不符合题意;∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°,AB=CD=BC.∵E是CD的中点,∴CE:CD=1:2,即CE:AB=1:2.∵P是BC中点,∴BP=PC=BC,没办法判定:△ABP与△ECP中各边成比例,故C符合题意;∵BP:BC=2:3,∴PC:BP=1:2,∴PC:BP=CE:AB=1:2,∴△ABP∽△PCE,故D不符合题意.故选:C.【点评】本题考查了三角形相似,解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法.7.【分析】可设AD=x,根据四边形EFDC与矩形ABCD相似,可得比例式,求解即可.【解答】解:∵沿AE将△ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,∴四边形ABEF是正方形,∵AB=1,设AD=x,则FD=x﹣1,FE=1,∵四边形EFDC与矩形ABCD相似,∴=,=,解得x1=,x2=(负值舍去),经检验x1=是原方程的解.故选:B.【点评】考查了翻折变换(折叠问题),相似多边形的性质,本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式.8.【分析】根据相似三角形的判定方法,一一判断即可.【解答】解:A、因为∠A=∠A,∠ADE=∠C,所以△ADE∽△ACB,故本选项不符合题意;B、由=,推不出△ADE∽△ACB,本选项符合题意;C、因为∠A=∠A,∠AED=∠B,所以△ADE∽△ACB,本选项不符合题意;D、因为=,∠A=∠A,所以△ADE∽△ACB,本选项不符合题意.故选:B.【点评】本题考查相似三角形的判定,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法,属于中考常考题型.9.【分析】作AH⊥x轴于H,CG⊥x轴于G,由△OCG∽△OAH,得,从而得出OG,CG的长.【解答】解:作AH⊥x轴于H,CG⊥x轴于G,∴△OCG∽△OAH,∴,∵A(4,3),∴OH=4,AH=3,∵△BOA∽△DOC,且OA:OC=3,∴OG=,CG=1,∴C(﹣,﹣1),故选:B.【点评】本题主要考查了位似变换,熟练掌握位似变换的性质是解题的关键.10.【分析】根据相似三角形的性质三边对应成比例作答即.【解答】解:设另一个三角形的最短边为x,第二短边为y,根据相似三角形的三边对应成比例,知,∴x=9,y=15,∴x+y=24.故选:C.【点评】本题主要考查了相似三角形的性质:相似三角形的三边对应成比例.运用此性质时,关键是对应边要找准.寻找对应边的一半方法有:最长边是对应边,最短边是对应边;对应角所对的边是对应边.二、填空题11.【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方,周长之比等于相似比,设出未知数,根据题意列出方程,解方程得到答案.【解答】解:∵两相似菱形的面积比为4:9,∴两相似菱形的相似比为2:3,∴两相似菱形的周长之比为2:3,设一个菱形的周长为2x,则另一个菱形的周长为3x,由题意得,3x﹣2x=13,解得,x=13,2x=26,3x=39,则这两个菱形的周长分别为26cm和39cm.故答案为:26cm和39cm.【点评】本题考查的是相似多边形的性质,掌握相似多边形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键.12.【分析】由相似三角形的判定可求解.【解答】解:添加∠BAC=∠ADC,且,∴△ADC∽△BAC,故答案为:∠BAC=∠ADC.【点评】本题考查了相似三角形的判定,掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.13.【分析】过A点作AM⊥x轴,AN⊥y轴,连接AO,根据A点坐标可知OA长度,再证明△AOC∽△BOA,根据得到的比例式计算出OB•OC;过D点作DE⊥x轴,DF⊥y轴,根据D为BC中点可以计算出DE•DF,从而确定了k值.【解答】解:过A点作AM⊥x轴,AN⊥y轴,则四边形AMON是正方形,连接AO.由A(﹣3,﹣3),可得OA=3.则∠AOC=∠BOA=135°.∴∠CAO+∠ACO=45°,∵∠CAO+∠BAO=45°,∴∠ACO=∠BAO.∴△AOC∽△BOA.∴=,即OA2=OB•OC=18.∴△OBC面积=×18=9.过D点作DE⊥x轴,DF⊥y轴,∵D为BC中点,∴DE=OD,DF=OB.k=DE•OF=OB•OC=.故答案为.【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义、相似三角形的判定和性质.14.【分析】利用相似多边形的对应边比相等即可得.【解答】解:两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm,则两个多边形的相似比是35:14,设第二个多边形最短边长是xcm,则35:14=5:x,解得x=2cm,最短边分别为5cm和2cm.【点评】本题主要考查了相似多边形的性质,对应边的比相等.15.【分析】由直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线,得到△ABC∽△AEF,推出比例式求得结果.【解答】解:∵l3∥l6,∴BC∥EF,∴△ABC∽△AEF,∴=,∵BC=2,∴EF=5.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,平行线等分线段定理,熟记定理是解题的关键.16.【分析】由于AC⊥BC,CD⊥AB,可得一组对应角相等,再加上一对公共角,可证△ACD∽△ABC,利用比例线段可求AD.(可先利用勾股定理求出AB)【解答】解:∵AC⊥BC,CD⊥AB,∴∠ACB=90°,∠ADC=90°,∠A=∠A,∴△ADC∽△ACB,∴=,又∵在Rt△ABC中,AB===10,∴=,AD=6.4.【点评】解答此题不仅用到相似三角形的性质,还要结合勾股定理求出相应的边长,方可进行计算.三、解答题17.【分析】利用位似的性质分别求出对应点的坐标,连接各点即可解决.【解答】解:如图可知:A1(1,3),B1(2,1),C1(3,1),D1(3,2).【点评】此题主要考查了位似图形的画法,应注意找到对应点正确的坐标.18.【分析】(1)连接OD,由DE是⊙O的切线,得出∠ODE=90°,∠ADO+∠BDE=90°,由∠ACB=90°,得出∠CAB+∠CBA=90°,证出∠CAB=∠ADO,得出∠BDE=∠CBA,即可得出结论;(2)证出CB是⊙O的切线,得出DE=EC,推出EC=EB,再由OA=OC,得出OE∥AB,即可得出结论.【解答】证明:(1)连接OD,如图所示:∵DE是⊙O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠ADO+∠BDE=90°,∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°,∵OA=OD,∴∠CAB=∠ADO,∴∠BDE=∠CBA,∴EB=ED,∴△DBE是等腰三角形;(2)∵∠ACB=90°,AC是⊙O的直径,∴CB是⊙O的切线,∵DE是⊙O的切线,∴DE=EC,∵EB=ED,∴EC=EB,∵OA=OC,∴OE∥AB,∴△COE∽△CAB.【点评】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识,熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键.19.【分析】(1)由两组对应角相等直接证△ACD∽△ABC,由相似三角形对应边的比相等可求出AB的长,由AB和AD的长即可直接求出BD的长;(2)由相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接求出△ACD与△ABC的面积的比.【解答】解:(1)∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,∴,又∵AC=2,AD=1,∴AB=4,∴DB=AB﹣AD=3;(2)∵△ACD∽△ABC且=,∴△ACD与△ABC的面积的比为1:4.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,灵活运用相似三角形的性质是解题的关键.20.【分析】(1)根据已知条件DE∥BC可以判定
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