2024年中考数学压轴题突破二次函数与圆存在性问题（学生版）

专题10二次函数与圆存在性问题

方法揭秘,

二次函数是初中数学代数部分最重要的概念之一，是中考数学的重难点；而圆是初中几何中综合性

最强的知识内容，它与二次函数都在中考中占据及其重要的地位，两者经常作为压轴题综合考查，能够很

好的考查学生的数学综合素养以及分析问题、解决问题的能力.圆心与抛物线的关系、圆上的点和抛物线的

关系，其本质就是把位置关系向数量化关系转化.

二次函数与圆的综合要数形结合，在读题之前要想到圆中的相关概念、性质及定理，比如圆的定义、

垂径定理、圆周角、圆心角、内心、夕卜心、切线、四点共圆的、隐藏圆等；对于二次函数，要熟练掌握解

析式的求法和表达形式、顶点、最值、与方程之间的关系，线段长与点的坐标之间的数量转化等.

典例剖析.

[例1](2022•闵行区二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A(-

1,0),B(3,0),与y轴交于点C将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点。，交

线段8c于点瓦交抛物线于点孔过点歹作直线8。的垂线，垂足为点G.

(1)求抛物线的表达式；

(2)以点G为圆心，8G为半径画OG；以点£为圆心，所为半径画。区

当OG与内切时.

①试证明EF与EB的数量关系；

【例2】(2022•福建模拟)如图，已知抛物线y=af+fcv+c与x轴相交于4,3两点，点C(2,-4)在抛

物线上，且△N8C是等腰直角三角形.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点。(2,0)的直线与抛物线交于点M,N,试问：以线段为直径的圆是否过定点？证明你

的结论.

【例3】(2022•武汉模拟)已知抛物线片-2x2+bx+c(c>0).

(1)如图1,抛物线与直线I相交于点-1.0),N(2,6).

①求抛物线的解析式；

②过点N作跖V的垂线，交抛物线于点尸，求PN的长；

(2)如图2,已知抛物线y=-2x2+6x+c与x轴交于/、B两点,与y轴交于点C,点4B,C,D(0,

n)四点在同一圆上，求"的值.

【例4】(2022•上海模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-3ox+2(av0)交y轴于点A,抛物

线的对称轴交x轴于点尸，联结尸4

(1)求线段口的长；

(2)如果抛物线的顶点到直线PA的距离为3,求。的值;

(3)以点P为圆心、P/为半径的OP交y轴的负半轴于点B,第一象限内的点。在0P上，且劣弧AB=

2AQ如果抛物线经过点。，求。的值.

满分训练.

、一__________________________________

1.(2021•广元)如图1,在平面直角坐标系xQy中，抛物线尸ax2+bx+c与x轴分别相交于4、5两点，与

y轴相交于点C,下表给出了这条抛物线上部分点(x,y)的坐标值：

X-10123

y03430

(1)求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)P0是抛物线对称轴上长为1的一条动线段(点P在点。上方)，求AQ+QP+PC的最小值；

(3)如图2,点。是第四象限内抛物线上一动点，过点。作轴，垂足为尸，的外接圆与

DF相交于点区试问：线段所的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

图1图2

2.(2021•张家界)如图，已知二次函数yua/+bx+c的图象经过点C(2,-3),且与x轴交于原点及点3

(8,0).

(1)求二次函数的表达式；

(2)求顶点A的坐标及直线AB的表达式；

(3)判断△/5O的形状，试说明理由；

(4)若点尸为O。上的动点，且。。的半径为2加,一动点E从点/出发，以每秒2个单位长度的速

度沿线段/尸匀速运动到点尸，再以每秒1个单位长度的速度沿线段P8匀速运动到点8后停止运动，求

点E的运动时间t的最小值.

3.(2021•宜宾)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于/、8两点，与y轴交于点C(0.6),

抛物线的顶点坐标为E(2,8),连结3C、BE、CE.

(1)求抛物线的表达式；

(2)判断△3CE的形状，并说明理由；

(3)如图2,以C为圆心，我为半径作。C,在。C上是否存在点P,使得的值最小，若存

在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

4.(2020•雨花区校级一模)如图1,已知抛物线产苏-12ox+32a(a>0)与x轴交于/,2两点(/在3

的左侧)，与y轴交于点C

(1)连接8C,若乙4BC=30°,求。的值.

(2)如图2,已知“为△/2C的外心，试判断弦48的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值,

若没有，请说明理由；

(3)如图3,已知动点P(f,f)在第一象限，，为常数.

问：是否存在一点尸，使得乙/网达到最大，若存在，求出此时4/PB的正弦值，若不存在，也请说明

理由.

yy

图1图2图3

5.(2020•汇川区三模)如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y=oy2+6x+c(aWO)经过/(1,0)、B

(3,0)、C(0,3)三点，连接BC并延长.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点,过"作〃歹轴交抛物线于点N.

1°求线段的最大值；

2°当取最大值时，在线段右侧的抛物线上有一个动点P,连接PM、PN,当的外接圆

圆心。在的边上时，求点P的坐标.

图①图②

6.(2021•开福区模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-6x+c交x轴于点/,3,点8的坐标

为(4,0),与y轴于交于点C(0,-2).

（2）在抛物线上取点。，若点D的横坐标为5,求点。的坐标及4402的度数；

（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴/交x轴于点H,4ABD的外接圆圆心为M（如图1）,

①求点M的坐标及。M的半径；

②过点B作。”的切线交于点P（如图2）,设。为。M上一动点,则在点运动过程中器的值是否变化？

若不变，求出其值；若变化，请说明理由.

7.（2020•天桥区二模）如图，抛物线y=ax2+6x+c（。片0）,与x轴交于N（4,0）、。两点，点。（2,-2）

为抛物线的顶点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点£为的中点，以点£为圆心、以1为半径作交x轴于8、C两点，点M为。E上一点.

①射线交抛物线于点P,设点P的横坐标为m,当tan乙MBC=2时，求〃?的值；

②如图2,连接。取。M的中点N,连接DN,则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，

请求出DN的最值；若不存在，请说明理由.

图1图2

8.(2020•百色)如图，抛物线的顶点为N(0,2),且经过点8(2,0).以坐标原点。为圆心的圆的半径

r=y[2,0c_LAB于点C.

(1)求抛物线的函数解析式.

(2)求证：直线与。。相切.

(3)已知P为抛物线上一动点，线段尸。交。。于点M当以M,O,A,C为顶点的四边形是平行四

边形时，求尸河的长.

备用图

9.(2020•西藏)在平面直角坐标系中，二次函数>=//+阮+。的图象与x轴交于/(-2,0),B(4,0)

两点，交y轴于点C,点P是第四象限内抛物线上的一个动点.

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图甲，连接/C,PA,PC,若=号，求点P的坐标；

(3)如图乙，过/,B,P三点作。河，过点尸作PELx轴，垂足为。，交于点E.点尸在运动过

程中线段的长是否变化，若有变化，求出。£的取值范围；若不变，求的长.

10.(2020•宜宾)如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点(2,1)在二次函数的图象上，过点尸(0,

1)作X轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点.

(1)求二次函数的表达式；

(2)P为平面内一点，当△尸跖V是等边三角形时，求点P的坐标；

(3)在二次函数的图象上是否存在一点E,使得以点£为圆心的圆过点尸和点N,且与直线y=-1相

切.若存在，求出点E的坐标，并求的半径；若不存在，说明理由.

11.(2021•嘉兴二模)定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函

数的坐标圆.

(1)已知点尸(2,2),以尸为圆心，遥为半径作圆.请判断。尸是不是二次函数y=/-4x+3的坐标

圆，并说明理由；

(2)已知二次函数y=x2-4x+4图象的顶点为N,坐标圆的圆心为尸，如图1,求△尸。/周长的最小值;

(3)已知二次函数y=-4x+4(0<。<1)图象交x轴于点B,交y轴于点C,与坐标圆的第四个

交点为。，连结尸C,PD,如图2.若乙CPZ)=120。，求。的值.

12.(2021•常州二模)如图1：抛物线y=-f+fcc+c过点/(-1,0),点8(3,0),与y轴交于点C.动

点£(%,0)(0<///<3),过点£作直线以x轴，交抛物线于点M

(1)求抛物线的解析式及。点坐标；

(2)连接期并延长交y轴于点N,连接AN,OM,若AN//OM,求m的值.

(3)如图2.当/=1时，P是直线/上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线/于另一点尸(点尸

在x轴上方)，若线段/C上最多存在一个点0使得乙FQE=90°,求点P纵坐标的取值范围.

13.(2021•乐山模拟)如图，抛物线yuaf+fcr+Z与直线48相交于/(-1,0),3(3,2),与x轴交于另

"■点C

(1)求抛物线的解析式；

(2)在y上是否存在一点E,使四边形/8CE为矩形，若存在，请求出点£的坐标；若不存在，请说明

理由；

(3)以C为圆心，1为半径作。O,D为。。上一动点，求D4+正D8的最小值

5

14.(2021•河北区二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-」京2+加+3的对称轴是直线x=2,与x

4

轴相交于48两点(点/在点2的左侧)，与y轴交于点C

(I)求抛物线的解析式及顶点坐标；

(II)M为第一象限内抛物线上的一个点，过点“作轴于点N,交8。于点。，连接。公当线

段CW=CD时，求点M的坐标；

(m)以原点。为圆心，长为半径作。。，点尸为上的一点，连接CP,求2尸C+3尸3的最

小值.

15.(2021•长沙模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线》=办2+乐+<?(a>0)的顶点为“，经过C(l,

1),且与x轴正半轴交于4,3两点.

(1)如图1,连接。。，将线段。。绕点。顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长;

(2)如图2,延长线段OC至N,使得ON=愿，若乙OBN=LONA,>tanZ求抛物线

的解析式；

(3)如图3,抛物线yX+fcv+c的对称轴为直线苣，与y轴交于(0,5),经过点C的直线/：尸

fcc+加(左>0)与抛物线交于点C、。，若在x轴上存在尸1、尸2,使乙。尸0=乙。产力=90°,求左的取值

范围.

16.(2021秋•上城区校级期中)如图，已知抛物线y=-/+6x+c与x轴交于/、2两点(点/在点3左边),

与〉轴交于点C,0M是△48C的外接圆.若抛物线的顶点。的坐标为(1,4).

(1)求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；

(2)求。M的半径和圆心M的坐标；

(3)如图2,在x轴上有点尸(7,0),试在直线2。上找点0,使2、0、尸三点构成的三角形与△NBC

相似.若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由.

17.（2021秋•西湖区校级期中）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”.如图所示,

点/、B、C、。分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点。的坐标为（0,-3）,48为半圆的直径，半

圆圆心M的坐标为（1,0）,半圆半径为2.

（1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长；

（2）已知点E是“蛋圆”上的一点（不与点，，点3重合），点£关于x轴的对称点是点孔若点/也

在“蛋圆”上，求点E坐标；

（3）点尸是“蛋圆”外一点，满足乙APC=60°,当8P最大时，直接写出点尸的坐标.

18.（2021•雨花区二模）如图1,已知圆。的圆心为原点，半径为2,与坐标轴交于N,C,D,E四点，B

为OD中点.

（1）求过4B,C三点的抛物线解析式；

（2）如图2,连接BC,NC点P在第一象限且为圆。上一动点，连接AP,交NC于点交OC于点

N,当苗。2=〃乂.四2时，求河点的坐标；

（3）如图3,若抛物线与圆。的另外两个交点分别为H,F,请判断四边形CFE〃的形状，并说明理由.

图1图2图3

19.(2020•东海县二模)如图，△力。5的三个顶点4。、8分别落在抛物线G：>=12+马上，点/的

33

坐标为(-4,m),点B的坐标为(«,-2).(点4在点B的左侧)

(])贝Um=,n=.

(2)将△/O8绕点。逆时针旋转90°得到△HOB；抛物线C2：>="2+/+4经过4、9两点，延长

。月交抛物线C2于点C,连接4c设△O4C的外接圆为。M

①求圆心M的坐标;

②试直接写出△O/'C的外接圆。M与抛物线C2的交点坐标(4、C除外).

20.(2022•绿园区二模)在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点/(0,3)、8(2加，3)、

C(m,m+3).其中，m^O.

(1)当加=1时.

①该二次函数的图象的对称轴是直线.

②求该二次函数的表达式.

(2)当年刑WxW,刑时，若该二次函数的最大值为4,求加的值.

(3)若同时经过点/、5,。的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标.

21.(2022啖陵县一模)抛物线：y=-与>轴的交点。(o,3),与x轴的交点分别为E、G两点,

对称轴方程为x=