2024年中考数学复习：锐角三角函数（含答案）

2024年中考数学复习专题讲义：锐角三角函数

考点1锐角三角函数的概念

1.如图，在Rt^ABC中，NC=90°,NA的三个三角函数的定义如下表所示:

函数名称定义式自变量的取值范围函数值的取值范围

.A对。

正弦sinA=¥=70°<ZA<90°0<sinA<1

.邻b

余弦c°sA离二0°<ZA<90°0<cosA<1

对a

正切tanA=-r-=—0°<ZA<90°tanA>0

邻b

2.锐角A的统称为锐角A的三角函数.

3.同角三角函数之间的关系

4.同角三角函数关系：sin2A+cos2A=____；tanA=

cosA

考点2特殊角的三角函数值

1.30°、45°、60°角的三角函数值

ZA30°45°60°

j_

sinA变昱

~222

V3j_

cosA旦

222-

县

tanA1出

3

2.特殊三角形三边的比

(1)30°直角三角形三边的比(由小到大)是1：血：2

(2)45°直角三角形三边的比(由小到大)是1：1：血

考点3解直角三角形

1.解直角三角形的含义

2.在直角三角形中，由已知元素求出的过程，叫做解直角三角形.

3.直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：

(1)角角关系：两锐角互余，即;

(2)边边关系：勾股定理，即；

(3)边角关系：锐角三角函数，即sinA=q、cosA=->tanA=—,sinB=-cosB=—>tanB=—.

ccbcca

4.解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：

(1)己知两条边：一边和一；两；

(2)已知一条边和一个锐角：一和一；和一.

这两种情形的共同之处：有一条边.因此，直角三角形可解的条件是：至少己知一条边.

考点4解直角三角形的实际应用

L仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为;当从高处观测低处的

目标时，视线与水平线所成的锐角称为.

2.坡角与坡度：坡面与水平面所成的角称为；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为；坡角

与坡度的关系为：坡角的就是坡度，坡角越—，坡度越大.

h

坡度：i=l:〃?=7=tana；坡角：a.

3.方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90。的角叫做

1.已知4(1为锐角，且cosa=—，贝!JNCX=()

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.在Rt^ABC中，Z.C=90°,zB=a,AB=m,那么边AC的长为()

A.m•sinaB.m•cosaC.m•tanaD.m-cota

3.如图，点A,B,C在正方形网格的格点处，sin4ABe等于()

A-1B-fc-¥

4.某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯AC的顶端A恰好放在书架的第七层的顶端，已知

登高梯的长度AC为3米,登高梯与地面的夹角/ACB为72°,则书架第七层顶端离地面的高度八8为（）

CB

3

A.3sin72°米BB.=米

sin72

3

C.3cos72°米D.益法-米

5.如图，在△ABC中，AC=5,cosB=—,sinC=则△ABC的面积是()

25

A

BC

A.14B.12D.21

6.如图，商用手扶梯AB的坡比为1：V3，已知扶梯的长AB为12米，则小明乘坐扶梯从B处到A

处上升的高度AC为（）

A.6米B.6V3米C.12米D.12V3米

7.如图所示，将矩形ABCD纸对折，设折痕为MN,再把B点叠在折痕线MN上，（如图点B'），若AB=旧，

则折痕AE的长为（）

A.|V3B.-V3C.2D.2百

24

8.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30/km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C

港，C港在A港北偏东20°方向，则A,C两港之间的距离为（）km.

A.30+30百B.30+10V3C.10+30A/3D.30V3

二、填空题

9.(1)-2-tan60°=.

10.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,边AB的垂直平分线分别交边BC,AB于点D,E.如果BC=18,tanA=

|,那么CD=.

11.如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60。方向行驶4千米至B

地，再沿北偏东45。方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B,C两地

的距离千米.

12.如图，将一副三角板按如图方式叠放，已知AB=2W+2,则sin/BEC的值为

13.如图，在AABC中，AB=10,AC=6,BC=8,为△ABC的内切圆，点D是斜边AB

14.计算：

(1)sin45°cos45°+4tan30°sin60°；

(2)cos60°-2sin245°+-tan260°-sin30°.

3

15.如图，山顶上有一信号塔,4。，山坡/“’的倾角为引「，为了测量塔高,4",测量人员选择山脚（’处

为一测量点，测得塔顶.1的仰角为45”，然后顺山坡向上行走100m到达£处，再测得塔顶」的仰角为60°,

求塔高〃L（结果精确到。母1,参考数据：、5=1.41，、弓=1.73）

A

16.如图，在AABC中，ZB=90°,cosA=,,D是AB上的一点，连结DC,若NBDC=60°,BD=.试

求AC的长.

17.如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD,小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为

53°,沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的坡度i=l:百,AB=10米，

AE=21米.

□

□

□

□

□

□

(1)求点B距水平地面AE的高度；

(2)若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由.(测角器的

高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：V2‘1.41,V3‘1.73,sin53°‘£cos53°~|,tan53°

3

18.如图，AB是的直径，点C,D在。0上，AC=CD,AD与BC相交于点E,点F在BC的延长线上，

且AF=AE.

(1)求证：AF是。0的切线；

•2

(2)若EF=12,coszBAC=求。0的半径.

参考答案

1.A

2.A

3.B

4.A

5.C

6.A

7.C

8.B

9.4-V3

10.5

11.2V6

12逐+企

.4

13.2

14.解：(1)原式=返义返+4X返X返

2232

=1+2

2

=§.

~2,

(2)原式=Z-2X(空)2+ZX(«)2--1

2232

=』-2XL2X3-A

2232

=」-1+2-—

22

=1.

15.解：根据题意可得：

IAFE=£ADC-90°.ZfiCD=30°,ZACD=45°,&EF=60。

:.〃CE=\5a.^BAE=ZAEB=30"

ME-.EtC.HR;W

A£ACE«ACAE15

•••"=(£HMI/H

IF=50叫/尸=SO^3m

在ABEF中，.RII"I

：・SF=EFtan3O°=5Ox—=把亘制

33

t-

/.AH-AiZJA^5OV35O-^V3-吟5.

3

答：塔高大约58米.

16.解：在AABC中，ZB=90°,cosA=|,

.AB_5

''AC7

设：AB=5x,AC=7x,

由勾股定理得BC=2&xFF0C

在RtZkDBC中，ZBDC=60°,BD=2V3，

.*.BC=BDtan60°=2V3X旧=6,

••2x=6,

解得X=手，

・・,AC=7x=7A/6

2

17.(1)解：如图，过点B作BM1AE,BN1CE,垂足分别为M、N,

由题意可知，ZCBN=45°,ZDAE=53°,i=1：V3,AB=10米，AE=21米.

i.=41:V7377=—BM=t」anzBAARM«,

・•.ZBAM=30°,

BM=|AB=5(米)，

即点B距水平地面AE的高度为5米；

(2)在RtAABM中，NBAM=30。，

ABM=|AB=5(米)=NE,AM=亨AB=5V3(米),

•••ME=AM+AE=(5V3+21)米=BN,

•••ZCBN=45°,

CN=BN=ME=(5V3+21)米，

CE=CN+NE=(5V3+26)米，

在Rt^BCN中，ZDAE=53°,AE=21米，

DE=AE-tan53°=21x：=28(米)，

CD=CE-DE=5V3+26-28=5百一2~6.7