浙江省宁波市2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题含解析

PAGE15-宁波市2024学年其次学期期末考试高一数学试卷一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列中，，则公差（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】利用通项得到关于公差d的方程，解方程即得解.【详解】由题得.故选：C【点睛】本题主要考查数列的通项的基本量的计算，意在考查学生对该学问的理解驾驭水平和分析推理实力.2.不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题得-1＜x-1＜1，解不等式即得解.【详解】由题得-1＜x-1＜1，即0＜x＜2.故选：B【点睛】本题主要考查肯定值不等式的解法，意在考查学生对该学问的理解驾驭水平和分析推理实力.3.在中，内角所对的边分别为.若，则的值为（）A. B. C. D.0【答案】D【解析】【分析】设利用余弦定理求cosC的值.【详解】设所以.故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该学问的理解驾驭水平和分析推理实力.4.设等比数列的前项和为，若，公比，则的值为（）A.15 B.16 C.30 D.31【答案】A【解析】【分析】干脆利用等比数列前n项和公式求.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查等比数列求和，意在考查学生对该学问的理解驾驭水平和分析推理实力.5.若非零实数满意，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对每一个不等式逐一分析推断得解.【详解】A,不肯定小于0，所以该选项不肯定成立；B,假如a＜0，b＜0时，不成立，所以该选项不肯定成立；C,，所以，所以该不等式成立；D,不肯定小于0，所以该选项不肯定成立.故选：C【点睛】本题主要考查不等式性质和比较法比较实数的大小，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.6.设为等比数列，给出四个数列：①，②，③，④.其中肯定为等比数列的是（）A.①③ B.②④ C.②③ D.①②【答案】D【解析】【分析】设，再利用等比数列的定义和性质逐一分析推断每一个选项得解.【详解】设，①,,所以数列是等比数列；②，，所以数列是等比数列；③，不是一个常数，所以数列不是等比数列；④，不是一个常数，所以数列不是等比数列.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该学问的理解驾驭水平和分析推理实力.7.若不等式对实数恒成立，则实数的取值范围（）A.或 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】对m分m≠0和m=0两种状况探讨分析得解.【详解】由题得时，x＜0，与已知不符，所以m≠0.当m≠0时，，所以.综合得m的取值范围为.故选：C【点睛】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对该学问的理解驾驭水平和分析推理实力.8.已知各个顶点都在同一球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出外接球的半径，再求球的表面积得解.【详解】由题得正方体的对角线长为，所以.故选：A【点睛】本题主要考查多面体的外接球问题和球的表面积的计算，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.9.已知是等差数列的前项和，.若对恒成立，则正整数构成的集合是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先分析出，即得k的值.【详解】因为因为所以.所以,所以正整数构成的集合是.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列前n项和的最小值的求法，意在考查学生对该学问的理解驾驭水平和分析推理实力.10.记为实数中的最大数.若实数满意则的最大值为（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用判别式法求出|x|,|y|,|z|的取值范围，再推断得解.【详解】因为，所以，整理得：，解得，所以，同理，.故选：B【点睛】本题主要考查新定义和判别式法求范围，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.若关于的不等式的解集是，则________，_______.【答案】(1).1(2).-2【解析】【分析】由题得，解方程即得解.【详解】由题得，所以a=1,b=-2.故答案：(1).1(2).-2【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对该学问的理解驾驭水平和分析推理实力.12.已知数列的前项和，则首项_____，通项式______.【答案】(1).2(2).【解析】【分析】当n=1时，即可求出，再利用项和公式求.【详解】当n=1时，,当时，，适合n=1.所以.故答案为：(1).2(2).【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，意在考查学生对该学问的理解驾驭水平和分析推理实力.13.中，角的对边分别为，已知，则___，的面积____.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由正弦定理求出B，再利用三角形的面积公式求三角形的面积.【详解】由正弦定理得.所以C=，所以三角形的面积为.故答案为：(1).(2).【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.14.如图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为_____，体积为______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体原图，再求最长的棱长和体积.【详解】由三视图得几何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD,底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD,PA=2,所以最长的棱为PC=,几何体体积.故答案为：(1).(2).【点睛】本题主要考查三视图还原几何体和几何体体积是计算，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.15.已知正实数满意，则的最小值为__________．【答案】6【解析】【分析】由题得，解不等式即得x+y的最小值.【详解】由题得,所以，所以，所以x+y≥6或x+y≤-2(舍去)，所以x+y的最小值为6.当且仅当x=y=3时取等.故答案为：6【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该学问的理解驾驭水平和分析推理实力.16.记，则函数的最小值为__________．【答案】4【解析】【分析】利用求解.【详解】，当时，等号成立故答案为：4【点睛】本题主要考查肯定值不等式求最值，意在考查学生对该学问的理解驾驭水平和分析推理实力.17.在中，角为直角，线段上的点满意，若对于给定的是唯一确定的，则_______．【答案】【解析】分析】设，依据已知先求出x的值，再求的值.【详解】设，则.依题意，若对于给定的是唯一的确定的，函数在（1，）是增函数，在（，+）是减函数，所以，此时，.故答案为：【点睛】本题主要考查对勾函数的图像和性质，考查差角的正切的计算和同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.设等差数列的前项和为，且.（I）求数列的通项公式；（II）设为数列前项和，求.【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（I）依据已知的两个条件求出公差d,即得数列的通项公式；（II）先求出，再利用裂项相消法求和得解.【详解】（I）由题得，所以等差数列的通项为；（II）因为，所以.【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法，考查等差数列前n项和基本量的计算，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.19.中，角的对边分别为，且.（I）求角的大小；（II）若，求的最小值.【答案】（I）；（II）最小值为2.【解析】【分析】（I）,化简即得C的值；（II）【详解】（I）因为，所以；（II）由余弦定理可得，，因为，所以，当且仅当的最小值为2.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形和基本不等式，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.20.已知函数.（I）当时，求不等式的解集；（II）若关于的不等式有且仅有一个整数解，求正实数的取值范围.【答案】（I）；（II），或【解析】【分析】（I）干脆解不等式得解集；（II）对a分类探讨解不等式分析找到a满意的不等式，解不等式即得解.【详解】（I）当时，不等式为，不等式的解集为，所以不等式的解集为；（II）原不等式可化为，①当，即时，原不等式的解集为，不满意题意；②当，即时，，此时，所以；③当，即时，，所以只需，解得；综上所述，，或.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和解集，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.21.中，角的对边分别为，且.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（1）；（2）5【解析】试题分析：（1）依题意，利用正弦定理及二倍角的正弦即可求得cosA的值；（2）易求sinA=，sinB=，从而利用两角和的正弦可求得sin（A+B）=，在△ABC中，此即sinC的值，利用正弦定理可求得c的值．试题解析：(1）由正弦定理可得，即：，∴，∴.（2由（1），且，∴，∴，∴==.由正弦定理可得：，∴。22.正项数列的前项和满意.（I）求的值；（II）证明：当，且时，；（III）若对于随意的正整数，都有成立，求实数的最大值.【答案】（I）；（II）见解析；（III）的最大值为1【解析】【分