高中数学复习：统计之列联表与独立性检验

第九章统计

专题9.4列联表与独立性检验

1.通过实例，理解2X2列联表的统计意义.2通过实例，了解独立性检验及其应用.

考点一列联表与花的计算

考点二列联表与独立性检验

考点三独立性检验的综合应用

列联表与独立性检验

（1）2X2列联表：如果随机事件A与B的样本数据如下表格形式：

A总计

Baba+b

Tcdc+d

总计a+cb+da+b+c+d

在这个表格中，核心的数据是中间的4个格子，所以这样的表格通常称为2X2列联表.

（2施2X2列联表中，定义随机变量

nad—h「o

X=-上「上丁上不7,任意给定a瘠为显著性水平），可以找到满足条件p（，》k）=a的数k携为显著性

a十bc十da十cb十d

水平a对应的分位数），

①若x》k成立，就称在犯错误的概率不超过a的前提下,可以认为A与B不独立（也称A与B有关），或说有1

—a的把握认为A与B有关；

②若求k成立，就称不能得到前述结论.

这一过程通常称为独立性检验.

题型一列联表与弦的计算

1.下面是一个22列联表，其中a、b处填的值分别为（）

yy总计

i2

Xa2173

i

X22527

2

总计b46100

A.52、54

B.54、52

C.94、146

D.146、94

2.某超市对一种商品受顾客的喜爱程度进行100份问卷调查，得到了如下的22列联表，从100人中随

2

机抽取1人，抽到喜爱该商品的男顾客的概率为三.

5

喜爱该商品不喜爱该商品合计

男顾客10

女顾客35

合计100

则有超过（）的把握认为喜爱该商品与性别有关.

下面的临界值表供参考：

3.为考查某种营养品对儿童身高增长的影响，用一部分儿童进行试验，根据100个有放回简单随机样本

的数据，得到如下列联表：由表可知下列说法正确的是（）

身高

合计

有明显增长无明显增长

食用该营养品a1050

未食用该营养品b3050

合计6040100

参考公式：2-------------------------------------_—,其中nabed,

abedaebd

参考数据:

A.ab30

B.212.667

C.从样本中随机抽取1名儿童，抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率是：

D.根据小概率值0.001的独立性检验，可以认为该营养品对儿童身高增长有影响

4.在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优

秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下2X笏IJ联表:

优秀非优秀合计

甲班人数50

乙班人数20

合计30110

附：2------------------------------------------------------------,其中nabed,

abedacbd

a0.050.010.0050.001

X3.8416.6357.87910.828

a

根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（）

A.95%B.99.5%C.99.9%D.99%

5.在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男、女乘客晕机的情况，调查结果如下表所示（单位：人）:

晕机情况

晕机不晕机合计

性别

男n15n

1113

女6nn

2223

合计n2846

31

则K2约为（）

题型二列联表与独立性检验

6.为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的

2210.921.参照附表，下列结论正确的是（）

A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为药物有效”

B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为药物无效”

C.根据小概率值a=0.0001的独立性检验，认为药物有效”

D.对分类变量X与Y,统计量2的值越大，则判断X与Y有关系”的把握程度越大

7.下列关于独立性检验的说法正确的是（）

A.独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验

B.独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系

C.利用2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，根据小概率值0.01的独立性检验，认为吸烟与

患肺病有关系时，则我们可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病

D.对于独立性检验，随机变量2的值越小，判定两变量有关系”犯错误的概率越大

8.千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰

富的看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如无上钩钩云，地上雨淋淋”目落云里走，雨在半夜

后”…••小波同学为了验证旧落云里走，雨在半夜后”，观察了地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下

2义班U联表（单位：天），并计算得到219.05,下列小波对地区A天气的判断不正确的是（)

日落云里走

下雨未下雨

夜晚天气

出现255

未出现2545

-以八少n（adbc）2

乡考'式：2（ab）6d）Qc）6d）

临界值参照表：

A.夜晚下雨的概率约为工

2

5

B.未出现归落云里走”，夜晚下雨的概率约为

714T

C.据小概率值0.01的独立性检验，认为归落云里走”是否出现与夜晚天气有关

D.出现日落云里走”，据小概率值0.01的独立性检验，可以认为夜晚会下雨

9.足球是一项大众喜爱的运动，为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数

是男性的2倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的3K女性喜爱足球的人数占女性人数的I:，若本次调查得出

63

在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（）人

10.在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是（）

（参考数据:P国26.635）0.01）

①若K2的观测值满足K26.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；

①若K2的观测值满足Kz6.635,那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病；

①从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有

99%的可能性会患肺病；

①从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有设的可能性使推断出现错误.

A.①B.①①C.①①D.①①①①

题型三独立性检验的综合应用

11.2022年，举世瞩目的冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物冰墩墩”和雪容融'宥着可爱的外表和丰富的

寓意，自亮相以来就好评不断，深受各国人民的喜爱.某市一媒体就本市小学生是否喜爱这两种吉祥物对

他们进行了一次抽样调查，列联表如下（单位：人）：

是否喜爱

性别合计

喜爱不喜爱

男生302050

女生401050

合计7030100

（1＞艮据小概率值0.01的独立性检验，能否推断是否喜爱吉祥物与性别有关？

（2现从样本的男生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取

的3人中有X人喜爱吉祥物，求X的分布列和均值.

附：2——：--------------：—―,其中nabed,

abedaebd

12.新高考，取消文理科，实行*3"，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高

中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年

龄在［15,45麻为中青年，年龄在［45,75麻为中老年），并把调查结果制成下表：

年龄（岁）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)

频数515101055

了解4126521

④b)6d)6c)6d)

PK2k

k

（1份别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；

（2精根据上表完成22列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关?

了解新高考不了解新高考总计

中青年

中老年

总计

13.某医疗机构研发处治疗同一种疾病的A,B两种药剂，为了解它们的临床效果，从已患该疾病的病例中

随机抽取200例，随机平均分成两组，一组使用A药剂治疗，另一组使用B药剂治疗，经过一个疗程的治

疗，得到如下数据（单位：例）

痊愈未痊愈

A药剂7525

B药剂8515

（1冲艮据上表，分别估计使用A,B药剂经过一个疗程的治疗后被治愈的概率;

（2泪旨否有90%的把握认为A.B药剂的治疗效果有差异？

附：K2-----------------------,其中nabed,

abedaebd

PK2k

0

k

o

一、单选题

1.某课外兴趣小组通过随机调查，利用2X次U联表和K2K26.748,经查阅临界值表知

PKz6.6350.010,则下列判断正确的是（）

A.每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生

C.有99%的把握认为数学成绩优秀与性别无关”

D.在犯错误的概率不超过1%的前提下认为数学成绩优秀与性别有关”

2.为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的

2210.921.参照附表，下列结论正确的是（）

P2

0

A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为药物有效”

B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为药物无效”

C.有99.99%以上的把握认为药物有效”

D.有99.99%以上的把握认为药物无效”

3.若由一个22列联表中的数据计算得K27.213,则有（）把握认为两个变量有关系.

PKzk

0

k

0

A.95%B.97.5%C.99%D.99.9%

4.为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据:

项目患流感未患流感

服用药218

未服用药812

下表是龙独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值:

根据表中数据，计算2，、,若由此认为该药物有效”，则该结论出错的概率不超

（a，b）Cc）bd）

过（）

5.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某网络直播平台调研大学生是否喜欢

观看体育比赛直播与性别有关”，从某高校男、女生中各随机抽取100人进行问卷调查，得到如下数据

5m15,mN.

喜欢观看不喜欢观看

男生80m20m

女生50m50m

通过计算，有95%以上的把握认为大学生喜欢观看直播体育比赛与性别有关，则在被调查的100名女生中

喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为（）

nadbe2

附：K2,其中nabcd.

4Q

5mmN*人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的《，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的）零假

55

设为H°H。不成立，此推断犯错误的概率不超过5%,则m的最小值为（）

nadbe2

附：2-----------------------,

abedacbd

7.为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行

调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的22列联表：

锻炼情况

性别合计

不经常经常

女生火14721

男生火81119

合计伏221840

.n（adbc）2

汪：2独乂性检验中，2…d）…d），

常用的小概率值和相应的临界值如下表：

根据这些数据，给出下列四个结论：

①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响；

①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响;

①根据小概率值0.05的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概

率不超过0.05

①根据小概率值0.05的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认

为性别对体育锻炼的经常性没有影响.

其中，正确结论的序号是（）

A.①①B.①①C.①①D.①①

8.某中学共有1000人，其中男生700人，女生300人，为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及

经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间不少于4小时），

现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时），其频率分布

直方图如图.已知在样本数据中，有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理

附：K2-----------------------，其中nabed,

aebdadbe

PK2k

有95%的把握认为该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”

有90%的把握认为核校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”

有90%的把握认为修校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”

D.有95%的把握认为该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”

二、多选题

9.（多选）对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到如下列联表:

优秀不优秀总计

甲班10b10b

乙班C3030c

总计10c30b40bc

已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为2,则下列说法不正确的是（）.

7

A.列联表中c的值为30,b的值是35

B.列联表中c的值为15,b的值为50

C.根据小概率值0.05的独立性检验，认为成绩优秀与班级有关系

D.不能根据小概率值0.05的独立性检验，认为成绩优秀与班级有关系

10.（多选）（粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒

掉的食物相当于2亿多人一年的口粮.为营造节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了光盘行动”.某

机构为调研民众对光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如下所

示的列联表，通过计算得到K2的观测值为9

认可不认可

40岁以下2020

40岁以上（含40岁）4010

已知P2）6.6350.010,P2：＜10,8280.001,则下列判断正确的是（）

A.在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可光盘行动”

B.在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可光盘行动”

C.根据小概率值a=0.01的独立性检验，认为光盘行动”的认可情况与年龄有关

D.根据小概率值a=0.001的独立性检验，认为光盘行动”的认可情况与年龄有关

三、填空题

11.已知P（龙26.635=0.01,P（龙》10.82B=0.001在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程

中，某研究员搜集数据并计算得到x=7.235则根据小概率值a=的x独立性检验，分析喜欢该项

体育运动与性别有关.

12.为了调查高中学生参加课外兴趣活动选篮球和舞蹈是否与性别有关，现随机调查了30名学生，得到

如下图22列联表：

篮球舞蹈合计

男13720

女2810

合计151530

根据表中的数据，及观测值K2慎中K2-------------------1）的参考数据:

abcdacbd

P(K2k)

0

k

0

则在犯错误的概率不超过前提下，认为选择舞蹈与性别有关.

四、解答题

13.某高中有50名学生参加数学竞赛，得分（满分：150分）如下：

90,100100,110110,120120J30130J40140,150

女生145532

男生024129