2024年中考数学突破 费马点与加权费马点详细总结（解析版）

费马点与加权费马点详细总结

信也题型•解读/

知识点梳理

【常规费马点】

【加权费马点】

题回O普通费马点最值问题

题电加权费马点•单系数型

■始加权费马点•多系数型

满分•技巧/

知识点梳理

【常规费马点】

【问题提出】如图AABC所有的内角都小于120度，在AABC内部有一点P,连接PA、PB、PC,

当PAYPB+PC的值最小时，求此时NAPB与ZAPC的度数.

【问题处理】如图1,将AACP绕着点C顺时针旋转60度得到△4C产，则AACPgA4c产，CP=CP,42=4/,

文•：NPCP'=60。，.•.△PCP是等边三角形，:.PP，=PC,：.PA+PB+PC^P,A,+PB+PP,,

如图2,当且仅当点8、尸、P\4共线时，P4+PB+PC最小，最小值为48,此时/BPC=/APC=NAP3

=120°

【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费马点结论：

①对于一个各角不超过120。的三角形，费马点是对各边的张角都是120。的点，所以三角形的费马点也叫三

角形的等角中心；

②对于有一个角超过120。的三角形，费马点就是这个内角的顶点.

【如何作费马点】如图3,连接AT,我们发现△AC4为等边三角形，点P在A，B上，同理，我们可以得到等

边点尸也在CQ上，因此，我们可以以AABC三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线的

交点即为费马点。（最大角小于120°时）

【例1】如图，在△ABC中，ZACB=90°,AB=AC=1,尸是△ABC内一点，求出+PB+PC的最小值.

A

Pa

BC

V6+V2

【答案】

2

【分析】如图，以AC为边构造等边△ACD,连接BD,BD的长即为PA+PB+PC的最小值.至于点P的位

置？这不重要！

如何求BD?考虑到4ABC和4ACD都是特殊的三角形，过点D作DH_LBA交BA的延长线于H点，根

据勾股定理，BO?=3/产即可得出结果.

【练习1】如图，已知矩形A8CD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点,点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME

的最小值为.

【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段.

分别以AO、AM为边构造等边AADF、等边△AMG,连接尸G,

易证△AM。出△AGF,.\MD=GF

：.ME+MA+MD=ME+EG+GF

过尸作FH±BC交BC于H点，线段小的长即为所求的最小值.

【加权费马点】

如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，也

是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。

【类型一单系数类】

当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，

一种是旋转特殊角度：、历对应旋转90°,百对应旋转120°

另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比

【例3】在等边三角形ABC中，边长为4,尸为三角形ABC内部一点，求AP+BP+JiPC的最小值

【简析】本题有2种解题策略，旋转特殊角和旋转放缩

【策略一：旋转特殊角】如图1,zVlPC绕点C逆时针旋转90。，易知尸'尸=&PC,42即为所求

图1

方法一：如图2,B,P,产,A'共线时取最小，此时NBPC=NAPC=135°,易知BP=A'P'=20,

PC=CH-PH=2&-2,:.PP'=2娓-2近,PB+PP+A，P'=2疾+2应

图2

方法二：作A8J_3c于易知NA'C8=30°,：.AH=2,CH=2石n3”=4+20,由勾股可得A'B=

2A/6+2A/2

A

【策略二：旋转放缩】可按如下方法去旋转放缩（方法不唯一）

如图4,将三角形BPC绕点8旋转45°,再扩大为原来的也倍，得到△BP'C'

则AP+BP+4IPC=AP+PP'+P'C>AC'

补充：也可以按图5方式旋转

【练习2】在RtAABC中，AC=3,BC=2^,P为三角形ABC内部一点，求AP+BP+gPC的最小值

A

［策略一：旋转特殊角】如图1,&APC绕点C逆时针旋转120°,则有尸产'=/PC,

AP+BP+PC=AP'+BP+PP'<A'B^2A/7

图1

【策略二：旋转放缩】如图2,母4尸（7绕点A逆时针旋转30。，再扩大为原来的出倍,

则AP+BP+43PC=PP'+BP+P'C'>BC',计算略

图2

【类型二多系数类】

其实当三条线段的三■个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。

以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转

中心呢？我们总结了以下方法：

1.将最小系数提到括号外；

2.中间大小的系数确定放缩比例;

3.最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所

在的三角形。

【例3】如图，在AABC中，NACB=60。，BC=3,AC=4,在^ABC内部有一点P,连接B4,PB,PC,

则（1）工巳4+且「8+「。的最小值为;（2）走24+!必+「。的最小值为

2222

【简答】（1）将最小系数;提到括号外，得到%（R4+6P3+2PC）

P'

图1

中间大小系数为6，故放大倍数为百倍，最大系数在PC前面，故以点C为旋转中心，旋转△PBC.

如图1,将APBC绕点C逆时针旋转90°,并放大为出倍，B'P'=6BP,PP'=2PC.

-^PA+y/3PB+2PC^=-(PA+PP'+P'B')>-AB'=^-.

2222

(2)将最小系数!提到括号外，得到!(GPA+PB+2PC),

22

图2

如图2,将4APB绕点C逆时针旋转90°,并放大为百倍，A'P，=6AP,PP'=2PC.

111_____

^(y/3PA+PB+2PC)=-(A'P'+BP+PP')>-A'B=s/93

【练习3］如图，在AABC中，ACB=6Q°，BC=36，AC=6,在443。内部有一点P,连接

PA,PB,PC,则2PA+PB+石PC的最小值为.

【简答】将APAC绕点C顺时针旋转90°并放大2倍，得至APAC,P'A=2PA,PP=非PC

2PA+PB+y[5PC^AP'+P'P+PB>AB,AC=2AC^12,ZA'CB=90°+60°=150°,

AHAC^6,CH=—AC=673,BH=96，由勾股定理可得AB=3731,

22

2P4+尸5+&PC的最小值为3庖.

核心.题型/

题四O普通费马点最值问题

1.（2021滨州）如图，在AABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,AB=2,点尸是△ABC内一点，则

PB+pc的最小值为•

【答案】"

【解析】将4ABP绕点A顺时针旋转60。到△ABP,连接P'P,B'C.

则AB'=AB=2,PB=P'B',NBAB'=60°,PA=P'A,NPAP'=60°,

.•.△PPA是等边三角形，.-.PA=P'P.

VZBAC=30°,・・・NB'AC=90。，

VZACB=90°,:.AC=同AB=6

2

BC=7AC2+B'A2=手■

•.,PA+PB+PC=PP+P'B'+PC》B'C,

APA+PB+PC的最小值为J7.

2.问题背景：如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△相＞£DE与BC交于点P,可推出结论：PA

+PC=PE.

问题解决：如图2,在△MNG中，MN=6,ZM=75°,MG=4应，点。是△MNG内一点，则点。到△

MNG三个顶点的距离和的最小值是.

【解析】过点H作“。交M0延长线于。点，根据NNMG=75。，ZGMH=6Q°,可得NH0Q=45。,

•••△加。是等腰直角三角形，.-.MQ=HQ=4,，NH=屉时遥=回十二？回

4.如图，在△ABC中，ZCAB=90°,AB=AC=2,尸是△ABC内一点，求以+P8+PC的最小值.

【解析】如图1,以A。为边构造等边A4CD,连接8£),8。的长即为B4+PB+PC的最小值.

考虑到4ABC和AACO都是特殊的三角形，所以构造特殊直角三角形

如图2,过点。作。54交BA的延长线于H点，根据勾股定理，BD?=BH?+DH?=遥+6

D

5.已知，在AABC中，NAC8=30。，AC=4,AB=J7(CB>CA)点P是/VlBC内一动点，则出+PB+PC

的最小值为

原图

【解析】如图1,将AAPC逆时针旋转30°,得BC'即PA+PB+PC最小值，考虑到

ZBCA=30°,:.NBCC'=90°,作AH_LBC,可得BC=3退，：.BC=4^>

6.如图，已知矩形ABC。，AB=4,8c=6,点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则M4+MD

+ME的最小值为.

【解析】如图1,依然构造60。旋转，将三条折线段转化为一条直线段.分别以A。、AM为边构造等边AA。尸、

等边AAMG,连接FG,易证：.MD=GF：.ME+MA+MD=ME+EG+GF

如图2,过F作FHLBC交BC于H点、,线段网的长即为所求的最小值.FG=4+2拒

7.A、B、C、。四个城市恰好为一个边长为2a正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之

间都有公路相通，并使整个公路系统的总长度(AP+BP+PQ+OQ+CQ)最小，则应当如何修建？最

小长度是多少？

【解析】如图1,AAB尸绕点8逆时针旋转60。，得到及4,尸8；同样，将ADC。绕点C顺时针旋转60。，得

到AD'C。'，连结A'A、D'D,则AABA'、△OC。'均为等边三角形，连结PP'、QQ\则△BPP',

△QC。'均为等边三角形，AP+BP+PQ+DQ+CQ=A,P,+PP,+PQ+QQ,+DQ,

如图2,当点A',P',P,Q,Q',。'共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段4'少的长，此时点

P,。在4'。'上，最小值为

图2

2023•随州中考真题

8.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求平

面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，

该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角

形的某个顶点)

当，ABC的三个内角均小于120。时，

如图1,将△APC绕，点C顺时针旋转60。得到“APC,连接PP,

由尸C=PC,ZPCP'=60°,可知△尸CP为①三角形,故PP=PC,又PA'=R4,故

PA+PB+PC=PA+PB+Pf>,

由②可知,当B,P,P',A在同一条直线上时，B4+P3+PC取最小值，如图2,最小值为A'B,此时

的尸点为该三角形的“费马点”，WZAPC=ZBPC=ZAPB=®；

已知当有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若/B4CN120。，

则该三角形的“费马点”为④点.

(2)如图4,在二ABC中，三个内角均小于120。，且AC=3,BC=4,/ACB=30。，已知点尸为.ABC的“费

马点”，求上4+PB+PC的值；

图4图5

(3)如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km,8c=2限m,乙4c3=60。.现欲

建一中转站P沿直线向A，B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P至肺寸庄A,B,C的铺设成本分别为a

元/km,。元/km,后a元/km,选取合适的尸的位置，可以使总的铺设成本最低为__________元.(结果

用含a的式子表示)

【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③120。；④A.

(2)5

(3)2万a

【解题思路】(1)根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；

(2)根据(1)的方法将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到」APC,即可得出可知当B,P,P',A在

同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A'B,在根据ZACB=30°可证明

NAG4'=NA'CP'+Z.BCP+NPCP=90°,由勾股定理求AB即可,

(3)由总的铺设成本=a(PA+PB+虚PC),通过将绕，点C顺时针旋转90。得到，APC,得到等

腰直角一PPC,得到aPC=PP,即可得出当B,P,P',4在同一条直线上时，PA+NB+PP取最小值,

即PA+PB+&PC取最小值为A'B,然后根据已知和旋转性质求出即可.

【详解】（1）解：：PC=PC,ZPCP'^60°,

：.△尸CP为等边三角形；

PP=PC,ZP'PC=ZPP'C=60°,

又PA'=R4,ikPA+PB+PC=PA'+PB+PP>AB,

由两点之间线段最短可知，当B,P,P',A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，

最小值为A2,此时的尸点为该三角形的“费马点”，

?.NBPC+NPPC=180°,ZA'PC+ZPP'C=180°,

NBPC=120°,ZA'PC=120°,

又：APCmA'PC,

：.ZAPC^ZAP1C=120°,

：.ZAPB=360°-ZAPC-ZBPC=120°,

ZAPC=NBPC=ZAPB=120°;

ZBAC>120°,

：.BC>AC,BC>AB,

BC+AZ?>AC+AB,BC+AC>AB+AC,

二三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小.

又；已知当ABC有一个内角大于或等于120。时，"费马点''为该三角形的某个顶点.

二该三角形的“费马点”为点A,

故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120。；@A.

（2）将绕，点C顺时针旋转60。得到WPC,连接PP,

由（1）可知当B,P,P,,A在同一条直线上时，24+尸8+尸。取最小值，最小值为A'B,

A'

/力

,/ZACP=ZA'CP,

：.ZACP+ZBCP=ZACP'+ZBCP=ZACB=30°,

又；ZPCP'=60°

：.NBCA'=ZA'CP+ZBCP+NPCP=90°,

由旋转性质可知：AC=A'C=3,

AB=ylB^+AC2=A/42+32=5,

R4+P5+PC1最小值为5,

(3):总的铺设成本=PA.a+PB.a+PC.近a=a{PA+PB+也PC)

：.当PA+P8+行PC最小时，总的铺设成本最低，

将△APC绕，点C顺时针旋转90。得到..AP'C,连接PP,A'B

由旋转性质可知：P'C=PC,NPCP=NAC4'=90°,PA=PA,AC=AC=4km,

，PP'=拒PC,

/•PA+PB+yJlPC=P'A!+PB+PP',

当B,P,P',A在同一条直线上时，尸女+尸3+尸产取最小值，即PA+PB+后PC取最小值为A'B,

过点4作4”，8。，垂足为H,

VZACB=60°,NAC4'=90。，

NA'CH=30。，

A'H=-A'C=2km,

2

•*-HC=^AC2-AH2=收-*=2向km),

：.BH=BC+CH=26+2若=4®km),

/.A'B=^AH2+BH2=7(473)2+22=2而(km)

PA+PB+拒PC的最小值为2&?km

总的铺设成本=PA.a+PB.a+PC.y[2a=a(PA+PB+也PC)=2屈a(元)

广东省江门市一模

9.如图，在，ABC中，ABAC=90°,AB=5,AC=2y/3,点尸为ABC内部一点，则点P至U,ABC三个顶点

之和的最小值是

A

【答案】国

【分析】将ABP绕着点4顺时针旋转60°,得到△AE",连接EP,CH,过点C作CN，AH,交HA的

延长线于N,由旋转的性质可得NBAP=N/Z4E,AE=AP,AH=AB=5,ZBAH=60°,BP=HE,易得

△AEP是等边三角形，可得A£=AP=EP,进而得到AP+BP+PC=EP+E"+PC,当点H、E、尸、C共

线时，AP+3P+PC有最小值HC,再求出CN和HN的长度，由勾股定理可求解.

【详解】解：将，,ABP绕着点A顺时针旋转60。，得到△AEX,连接EP,CH,过点C作OVLA”,交HA

的延长线于N,

?.ZBAP=ZHAE,AE=AP,AH=AB=5,NBAH=60°,BP=HE,

：.ZHAB=ZEAP=60°,

：.是等边三角形，

AE=AP=EP,

：.AP+BP+PC^EP+EH+PC,

，当点、H、E、尸、C共线时，"+3尸+尸。有最小值”(7.

ZNAC=180°-ZBAH-ZBAC=180°-60°-90°=30°,AC=2后，

/.AN=VAC2-CN2='(26『_(商=3,

Z.HN=AH+AN=5+3=8.

在RtAGVW中，CH=^JHN2+CN2=〃+（国=屈,

即点P到ABC三个顶点之和的最小值是标

武汉中考

10.问题背景：如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点P,可推出结论：

PA+PC=PE.

问题解决：如图2,在△MNG中，MN=6,NM=75°,MG=4&,点。是△MNG内一点，则点。到△A/NG

三个顶点的距离和的最小值是.

图1图2

【答案】2晒

【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，

直接来解决就好了！

如图，以MG为边作等边△MGH,连接NH,则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最

小值.（此处不再证明）

过点H作HQ_LNM交NM延长线于Q点，

根据NNMG=75°,ZGMH=60°,可得NHMQ=45

Z.AMHQ是等腰直角三角形，

.\MQ=HQ=4,

/.NH=jNgHQ?=V100+16=2729.

2023•四川宜宾•中考真题

11.如图，抛物线>=办2+扇+。经过点4（-3,0）,顶点为“（-1,机），且抛物线与y轴的交点3在（0,-2）和

（0,-3）之间（不含端点），则下列结论:

①当一3WxWl时，J<0；

②当ABM的面积为地时，a=—-

22

③当ABM为直角三角形时，在，A08内存在唯一点P,使得R4+PO+P3的值最小，最小值的平方为

18+973.

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

【答案】①②

【解题思路】根据条件可求抛物线与x轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为

y=a（x-l）（x+3）,即可求出点M的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点。为

旋转中心，将AOB顺时针旋转60°至二AOA',连接A4',PP,AB，得到PA+PO+PB=PA+PP+PB>AB,

判断③.

【详解】解：：抛物线y=ad+6x+c经过点4（-3,0）,顶点为

对称轴％=—1,

・・・抛物线与％轴的另一交点坐标为（1,0）,

由图象可得：当一34x41时，y<0；

・••①正确，符合题意；

・・•抛物线与％轴的另一交点坐标为（1,0）,

设抛物线为y=.（%-1）（%+3）,

当了=—1时，y=-4a,当x=0时，>=一3々，

M（―1,-4a）,B（0,-3a）,

如图所示，过点M作平行于y轴的直线/,过点A作过点、B作BN±l,

3百

~2~

设直线A5的解析式为y=kx+b,

-3《+加=0

把3（0,—3a）,A（—3,0）代入得:

b'=—3a，

k——ci

解得:

b'=—3a'

・•・直线A5的解析式为>=-依-3a,

当了=-1是，y=~2a,

/1,—2o),

MF=2a,

.一x2ax3=^

22

解得：a=—,故②正确;

2

•.•点3是抛物线与y轴的交点,

.•.当x=0时,y=-3a,

B(0,—3a),

ABM为直角三角形，

当ZAMB=90°^,

AM2+BM2=AB2,

'：AM=,J(-2)2+(-4a)2=《4+166,BM=^(-l)2+(-a)2=Jl+a，,AB=^(-3)2+(-3a)2=49+9人,

/.4+16<72+l+tz2=9+9a2,整理得：8«2=4,

解得：”=正或一变(舍)

22

当ZABM=90°at,

AB2+BM2^AM2,

4+16a2=9+9a2+1+1?2,整理得：6a2=6

解得：a=1或-1(舍)

.•.8(0,-3),

当ZM45=90°时，

**-AB2+AM2=BM2,

：.4+16a2+l+a2=9+9a2,无解；

以点。为旋转中心，将AOB顺时针旋转60°至AOA,连接44',PP,AB,如图所示,

则二AOA',.尸QP’为等边三角形，

/.OP=PP,AP=AP\

：.PA+PO+PB=PA'+PP+PB>AB,

*.*AOA为等边三角形，A(—3,0)

当B0,-半时,

;恪还、出+趣

薄2242

当3(0,—3)时,

2+鹳+3=18+9百，此时不符合题意，故③错误;

AB2=

故答案为：①②.

一题四问，从特殊到一般

12.背景资料：在已知ABC所在平面上求一点尸，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是

法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点如图

1,当，ABC三个内角均小于120。时，费马点尸在，ABC内部，当乙4/>3=//4?。=/。>3=120。时，则

E4+PB+PC取得最小值.

AAA

图2

(1)如图2,等边，ABC内有一点尸，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求NAP8的度数，为了

解决本题，我们可以将一,绕顶点A旋转到△ACP处，此时ACP'段ABP这样就可以利用旋转变换，

将三条线段R4、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出N4PB=；

知识生成：怎样找三个内角均小于120。的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三

角形并连接等边三角形的顶点与1ABe的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点.请同学们探索以下问

题.

⑵如图3,ABC三个内角均小于120。，在，ABC外侧作等边三角形A连接C3',求证：C3'过ABC

的费马点.

(3)如图4,在RTABC中，ZC=90°,AC=1,NABC=30。，点尸为ABC的费马点，连接AP、BP、CP,

求B4+P3+PC的值.

(4)如图5,在正方形ABCD中，点E为内部任意一点，连接AE、BE、CE,且边长AB=2；求AE+BE+CE

的最小值.

【答案】(1)150。；(2)见详解；(3)近；(4)76+72.

【分析】(1)根据旋转性质得出ABP出八43,得出NBAP=NCAP，,NAPB=N/PC,AP=4P'=3,BP=CP'=4,

根据△ABC为等边三角形，得出NR4C=60。，可证A/PP为等边三角形，PP'=AP=3,ZAP'P=60°,根据勾股

定理逆定理尸尸"+尸(2=3?+不=25=「。2,得出APPC是直角三角形，ZPP'C=90°,可求N/P'C=NAPP+

ZPPC=600+90°=150°即可；

(2)将ZkAPB逆时针旋转60°,得到毋4BP,连结尸P,根据AAPB四△/8'P,AP=AP',PB=PB',AB=AB',

根据NPAP'=ZBAB'=60°,"PP'和AABB'均为等边三角形，得出PP'=AP,根据PA+PB+PC=PP'+PB'+PC,

根据两点之间线段最短得出点C,点尸，点尸'，点夕四点共线时，R4+P8+PC粘产C8',点尸在C3'上即可；

(3)将44尸8逆时针旋转60°,得到A/P3',连结BB',PP',得出AAPB会△NP5',可证和均

为等边三角形，得出尸尸'=AP,BB'=AB,ZABB'=60°,根据R4+P3+PC=PP+P'B'+PC,可得点C,点尸，

点尸'，点8'四点共线时，PA+PB+PC^,.=CB',利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2,根据勾股定理

BC=7AB2-AC2=V22-l2=,可求B3'=A2=2,根据NC23'=NA2C+NABB'=30°+60°=90°,在RtAC班'

中，B，C=JBC2+BB'2=J(6/+22=近即可;

(4)将ABCE逆时针旋转60。得到ACE声，连结EE'BB，,过点皮作8户，AB,交AB延长线于歹，得出ABCE

qACEE,BE=B'E',CE=CE',CB=CB',可证AECE'与ABC3'均为等边三角形，得出EE'=EC,BB'=BC,N

B'BC=6Q°,AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',得出点C,点、E,点E',点3'四点共线时，

AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'^=AB',根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2,ZABC=90°,可求N

尸38'=180°-NABC-NC88'=180°-90°-60°=30°,根据30°直角三角形性质得出BF=；BB，=gx2=l,勾股定理

BF=ylBB'2-B'F2=722-12=y[3,可求AF^AB+BF=2+g,再根据勾股定理AB,=

yjAF2+B'F2=.+可+心="+0即可.

【详解】(1)解：连结PP',

；.NBAP=NCAP',NAPB=ZAP'C,AP=AP'=3,BP=CP'=4,

△ABC为等边三角形，

ZBAC=60°

ZPAP'=ZPAC+NCAP'=NE4C+NBAP=60°,

：.ZX/PP为等边三角形，

,：.PP'=AP=3,N4Pp=60°,

在APPC中，PC=5,

PP'2+P'C2=3?+4?=25=PC2,

...△PPC是直角三角形，NPPC=90°,

NAP'C=ZAPP+ZPPC=60o+90°=150°,

/.ZAPB=ZAP'C=150°,

故答案为150°；

(2)证明：将AAPB逆时针旋转60。，得到畦4BP,连结尸P,

•：/XAPB^^AB'P',

：.AP=AP',PB=PB',AB=AB',

•：ZPAP'=ZBAB'=60°,

：.LAPP'和4ABB'均为等边三角形，

：.PP'=AP,

,：PA+PB+PC=PP+P'B'+PC,

...点C,点尸，点尸'，点"四点共线时，PA+PB+PC^CB',

：.点尸在C5'上,

二。'过：ABC的费马点.

(3)解：将AAPB逆时针旋转60。，得到A/PW,连结BB',PP',

:.△APB/4APB,

：.AP'=AP,AB'=AB,

'：ZPAP'=ZBAB'=60°,

：.LAPP'和畦4BB'均为等边三角形，

:.PP'=AP,BB'=AB,NABB，=60°,

,/PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC

.•.点C,点尸，点P,点夕四点共线时，PA+PB+PC^-CB',

•：ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,

/.AB=2AC=2,根据勾股定理BC=^AEP-AC2=『=百

:.BB，=AB=2,

•：NCBB'=NABC+NABB'=30°+60°=90°,

/.在R3C5皮中，B'C=yjBC2+BB'-=J+2?=S

：.PA+PB+PC^-CB'=yfi；

(4)解：将ABCE逆时针旋转60。得到ACE®,连结EE，,BB',过点皮作5户，43,交延长线于尸,

/./XBCE^/XCE'B',

:.BE=BE,CE=CE,CB=CB',

,/NECE'=NBCB'=60°,

：.AECE'与&BCB'均为等边三角形,

：.EE'=EC,BB'=BC,N35c=60。，

VAE+BE+CE=AE+EE'+E'B',

...点C,点E,点点8'四点共线时，AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'&,.=AB',

•..四边形ABC。为正方形，

：.AB=BC=2,ZABC=90°,

/.ZFBB'=180°-ZABC-ZCBB'=180。-90。-60。=30。，

•：B'F±AF,

BF=|BB,=1X2=1,BF=^BB'2-B'F2=^22-l2=73,

：.AF=AB+BF=2+y/3,

：.AB'=1AF。+B'F。=J(2+⑹=V6+V2,

/.AE+BE+CE最」、=AB-娓+y/2.

AD

题园自加权费马点•单系数型

2023•武汉・慧泉中学校月考

3

13.如图，Rt^ABC中，ZCAB=30°,BC=-,点尸为ABC内一点，连接PA,P3,尸C,则PC+BB+山尸A

的最小值为.

【答案】|V13

【分析】作辅助线如详解图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求得。尸=7^42,于是所求

PC+PB+&PA的最小值转化为求DE+PD+PB的最小值，根据两点之间线段最短可得DE+PD+PB的最

小值即为线段£B的长，然后求出EB的长即可解决问题.

【详解】解：将aAC尸绕点A逆时针旋转120。，得到△AED,连接DP,EB,过点£作交54的延

长线于点尸，过点A作AM_L£>P于点/，如图，

则AD=AP,DE=CP,NDAP=120°,ZEAC=120°,

9：AM.LDP,

：.DM=PM,ZADM=ZAPM=30°,

：.AM=-AP,

2

/.PM=ylAP2-AM2=—AP,

2

DP=2PM=下1Ap,

/.PC+PB+y/3PA=DE+PD+PB>EB,即打7+尸8+6尸4的最小值为座的长（当点E、D、P、8四点

共线时取最小值），

3

•「RtZXABC中，NC4B=30。，BC=~,

・•・AB=2BC=3,AC=

・•・AE=AC=­

2f

・.・ZCAB=30°,ZEAC=120°,

・・・ZEAF=30°,

则在直角三角形AE/中，EF=-AE=—,AF=V3EF=-,

244

921/--------------

•**BF=3+—=—,BE=VBF2+EF2=

西安市铁一中二模

14.已知，如图在ABC中，ZACB=30°,BC=5,AC=6,在°ABC内部有一点。，连接。A、DB、OC.则

DA+DB+J2DC的最小值是.

【分析】把ACDB顺时针旋转90。到AC。"，过"作"E_LAC,交AC延长于E,则CD=C。，BD=B'D',Z

5I7vn

CDD'=ZCD'D=45°,可求在CD,在R3CEB，中,可求CE=],AE=—,BE=罟，当点A、D、

D\8'四点在一直线时，AB'最短，可求AB'=BD+0cz)+4D=回.

【详解】解：把AC/汨顺时针旋转90。到△CD戌，itB'^B'E±AC,交AC延长于E,

则CD=CD',BD=B'D',NCDD'=NCDD=45°,

DD-C£)^cos45°=s/2CD,

VZACB=30°,NB'CB=90。,

：.ZBfCE=1800-ZACB-ZBCBf=180°-30°-90°=60°,

在Rt^CEB'中，

CE=B'Ccos60°=5x—=—

22

517

AE=AC-^CE=6~\—=—,

22

：.BE=HC.sin6(T=5x3=也，

22

当点A、D、D\"四点在一直线时，AB'最短，

22

AB't»=y/AE+B'E==回，

AB'=B'D'+D'D+AD=BD+^CD+AD=®.

故答案为：回.

2023•成都市郸都区中考二模

15.如图，矩形A5CD中，AB=2,3c=3,点E是AB的中点，点尸是BC边上一动点.将ABEF沿着EF

翻折，使得点B落在点尸处，若点尸是矩形内一动点，连接尸8、PC、PD,则P*+及尸C+PO的最

小值为•

AD

B'

B'------------->------------------

【答案】V26-1

【分析】将△CD尸绕点C顺时针旋转90°得到COP,连接PP,连接即，，由等腰三角形CPP得出

PP'=yf2PC,再由折叠得出点的轨迹在点E为圆心，EB为半径的圆周上，所以EB'+BB'+PP'+P'D'的

最小值为ED',即尸夕+&PC+P。的最小值为ED'-£»，，经计算答出答案即可.

【详解】解：将尸绕点C顺时针旋转90。得到CDP,,

连接尸P,连接石），

则2,C,£>'共线，PD=P'D',

：.CD'=CD=AB=2,

：.PP'=y/2PC,

点、E是AB的中点，

EB=—AB=—x2=1,

22

BD'=BC+CD'=3+2=5,

:.ED'=y]BE2+D'B2

=7I2+52

=726,

由△班尸折叠成

：.EB=EB'=EA,

...点8在以点E为圆心，为半径的圆上，

-两点间线段最短，

:.ED'<EB'+PB'+PP'+P'D',

即'4EB'+PB'+V2PC+PD

:.y/26<l+PB'+V2PC+PD,

:.PB'+sf2PC+PD>y/26-l,

则+的最小值为每一1.

故答案为：V26-1.

题旦旦加权费马点•多系数型

16.在边长为4的正△A3C中有一点尸，连接尸A、PB、PC,求（一AP+3P+"PC）?的最小值

22

【解析】如图1,AAPC绕点C逆时针旋转90。，取PC,AC的中点M,N

易知PM=—PC,MN=-P,A,=-PA,

222

图1

则-AP+BP+*PC=MN+BP+PMWBN,BM=20+80即为所求

17.在等边三角形ABC中，边长为4,P为三角形ABC内部一点，求3AP+4BP+5PC的最小值

A

33

,

【解析】如图1,AAPC绕点C逆时针旋转90。，在PC,4c上取M,N,使CM=—CP',CN=-CA,

44

533

易知PM=—PC,MN=—P'A'=_PA,3AP+4BP+5PC=4(MN+BP+PM)WBN

444

图1

18.在二ABC中，AB=3,AC=4,/BAC的角平分线交BC于E,过C作射线AE的垂线，垂足为D,连

3PC+4PD+5PA

接8D,当S^CE-SABED取大值时，在ACD内部取点P,则的最小值是

4

【答案】V29

【分析】延长8交A3于点尸，过点A作3C边上的鬲AH,得出，ATR咨rADC,则石尸=1,根据AQ是

BE3

NBAC的角平分线，得出工=:，设S血=3S,则S=4S,过点D分别作AF,AC的垂线，垂足为M,N,

EC4EDC

得出S=至"SABC,SAACE-SABED=21S,则当SABC最大时，S△ACE—SABED取得最大值，进而可得当

3

NC4B=90。时，SMC取得最大值，则NCW=45。，延长B4至C,使得AC'=[AC=3,作PA_LB4,

33PC+4PD+5PA

APr=-AP连接PRC'P,构造.C4Pse4P,可得----------------=P'C'+PP'+PDNC'D,进而勾

4f4

股定理，即可求解.

【详解】解：如图所示，延长。。交A5于点尸，过点A作3C边上的高A”，

A

,5\E

，

，

，

，

，

・

尸

/BAC的角平分线交3C于E,AD1CF

ZFAD=ZCAD,ZADC=ZADF

又=

A_ADF^ADC,

AAF=AC=4,DC=DF

则BF=1

・.,AD是/B4C的角平分线，设E到A5的距离为d,则E到AC的距离也为d,

c-BExAH-ABxd

・3ABE__2__________2______

-ECXAH-ACxd

22

・BE_3

••耘

设SBDE=3S,则SEDC=AS

•：DC=DF

SBDF=SBDC=7s,

过点。分别作AfAC的垂线，垂足为M,N

A

2x7S

：.DM=DN=--------=145,

1

S3=1x3xl4S=21S,S^=1x4x145=285

SAEC=SADC-SAEC=28S-4S=24S,SABC=2SADC-5rac=2x28S-2x7S=42s

•••S“E-SABED=24S-3S=21S

s=瓦s诋

・••当SABC最大时，SxACE—k8ED取得最大值，

设AB边上的高为CG

:.CG=ACxsinZCAB

SABC=gA3