2023年高考数学一轮复习：基本不等式新高考地区专用

2.2基本不等式-2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）

一、单选题（共13题；共65分）

1.（5分）若a>0,b>0,则“a+b=1”是‘&+124''的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（5分）已知直线ax+by-1=0（ab>0）过圆-1）2+（y-2）2=2022的圆心，则1+/的最小

值为（）

A.3+20B.3-2A/2C.6D.9

3.（5分）已知正实数a、b满足a+b=2,则>，的最小值是（）

A.；B.3C.5D.9

4.（5分）已知?n>0,n>0,命题p：2m+n=mn,命题q：m+n>3+2V2,则p是q的

（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（5分）小李从甲地到乙地的平均速度为a,从乙地到甲地的平均速度为b（a>b>0）,他往

返甲乙两地的平均速度为V,则（）

A.v=B.v—VabC.yfaB<v<D.b<v<4ab

6.（5分）设a〉0,b〉0,则“a+bW4”是“[+1之1”的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

7.（5分）已知点E是aABC的中线BD上的一点（不包括端点）.若荏=丽+y/则称+5的最

xy

小值为（）

A.4B.6C.8D.9

8.（5分）已知二次函数八%）=a、2+2%+c（%G/?）的值域为[0,+oo）,贝特+3的最小值为

（）

A.-4B.4C.8D.-8

1/17

9.(5分)已知直线aK+by+c—l=0(b,c>0)经过圆光2+(y-1)2=6的圆心，则|+］的最小值

是()

A.2B.8C.4D.9

10.（5分）已知△48。的三个内角分别为2、B、C.若sin2。=2sin2/—3sin2B,则tanB的最大值为

A.走B.走C.11乃D.萃

32205

11.（5分）在△ABC中，角4、B、C的对边分别为a、b、c,若tanZ=—&,△ABC的面积为户小

则be的最小值为（）

A.16B.1673C.48D.2473

12.（5分）若a>0,b>0,且ln（2a）+\nb>—1,则a+b=（）

A.避B.FC.岁D.竽

13.（5分）已知正实数a,1?满足。2+2帅+4炉=6,则a+2b的最大值为（）

A.B.272C.百D.2

二、多选题（共5题；共25分）

14.（5分）已知a,bER,Q>0,b>0,且。+6=2,则下列说法正确的为（）

A.ab的最小值为1B.log2a+log2&<0

D

C.2a+2力24-扛号2+巡

15.(5分)已知a,bER,则使“a+b>l”成立的一个必要不充分条件是)

A.Q2+板>1B.\a\+网>1C.2a+2匕>1D.打号>10

16.(5分)若一lVa<b<0,贝!J()

1

A.B.q2+板>2abC.a+b>2yjabD.

aba+-a>b+

17.（5分）已知2a=3b=6，则a,b满足（)

A.a<bB.3+卜1C.ab>4D.a+b>4

18.（5分）已知正数a,b满足a2+b2=i,则)

A.a+b的最大值是避B.比的最大值是।

C.a-b的最小值是一1D.得的最小值为—亭

三、填空题（共5题；共30分）

2/17

19.（10分）如图，在△力BC中，Z-BAC=,而乌荏，点P在线段CD上（P不与C,D

点重合），若/XaBC的面积为4A/3，Ap=mAC+^AB，则实数m=,\AP\的最小

.

20.（5分）在ZX/IBC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+c=4,且sin4,

sinB,sinC成等差数列，则△ABC的面积的最大值为.

21.（5分）如图所示，在平面四边形ABCD中，若4。=&，CD=2,ZD=幼，cosB=

4

|，则△ABC的面积的最大值为

4

22.（5分）已知a,b为正实数，且a+b=6+l+l,则a+b的最小值为---------

23.（5分）△ABC中，ABAC=120°,4。为BC边上的中线，AO=巡,则4B—22C的取值范围

是.

四,解答题（共3题；共30分）

24.（10分）AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若已知asin与£=bsinZ.

（1）（5分）求角B的大小；

（2）（5分）若b=，求AABC的面积的最大值.

25.（10分）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足（tanZ-sinC）（tanB-sinC）=

sin2C.

（1）（5分）求证：c2=ab；

（2）（5分）若a+b=3,求g?•而的最小值.

3/17

26.（10分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为4c的中点，若2bcosC=2a+

c.

（1）（5分）求NB；

（2）（5分）若a+c=6,求的最小值.

4/17

答案解析部分

L【答案】A

【解析】【解答】解：当a+b=l时，

J+M4+》(a+b)=2+，+牌2+2鼾=4,

当且仅当2=%，即a=b=J时，取等号，

ab2

所以2+屋4,

ab

当a=b=J时，—+i=6>4,此时a+b=^Wl,

3ab3

所以、+b=1”是S+1>4”的充分不必要条件.

CLb

故答案为：A.

【分析】由a>0,b>0,。+5=1可得工+42+2+1，根据基本不等式得工+其“,反之代

ababab

入特殊值即可得到答案.

2.【答案】A

【解析】【解答】由圆的方程知：圆心(1,2);

:直线ax+by—1=O(ab>0)过圆的圆心，a+2b—l(ab>0)；

4+卜(。+2b)4+F)=3+?+^-3+2J卜=3+2J2(当且仅黑=,即。=0时

取等号)，

-+1的最小值为3+2区

ab7

故答案为：A.

【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得.•"+2b=l(ab>0),由。+卜(。+26)。+

》，利用基本不等式可求得结果.

3.【答案】B

41

+抬+永。+匕)弓甯+"5)%(4+5)4，当且仅当竽日时等号成

【解析】【解答】Fa-

立.

故答案为：B.

5/17

【分析】根据题意可得,+.=魁+}(a+b)=g(半+,+5),再利用基本不等式求出打揄最

小值。

4.【答案】A

【解析】【解答】解：因为小〉0,n>0,

由2m+n=mn，得工+-=1,则7n+n=(m+n)d+2)=3+^+—>3+2d2，

mn、'ymnmn

n_2m

m~~，即771=6"+1,71=2+迎时取等号，因此p=>q；

{2m+n=mn

因为TH>0,n>0,由TH+n>3+2V2,可取m=1,n=10,

则2zn+?i=12,mn=10,此时2m+几Wnm,因此q分p,

所以p是q的充分不必要条件.

故答案为：A.

【分析】首先整理化简原式，再由基本不等式计算出最值，结合充分和必要条件的定义即可得出答

案。

5.【答案】D

【解析】【解答】设从甲地到乙地的的路程为s,从甲地到乙地的时间为①从乙地到甲地的时间为

t2,则

_S._SU=2s_2s_2

9E+E-TTT

i-a，12aba+b

2、2〃22ab/2abr-r-

v=-~-="rr<-==7ab

力=用》短51+1a+b2Jab

abbbab

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合平均速度的求解方法，再结合均值不等式求最值的方法，进而得出b<

v<Vab。

6.【答案】A

【解析】【解答】先证充分性成立，

a>0,b>0,a+b<4,2^ab<a+b<4，得二之:，贝Ui+i>2V-^>

ccb4ab~ab~

-

V1

2X--，当且仅当a=b=2时等号成立，所以“a+bW4”是“工+：21”的充分条件;

4ab

6/17

再证必要性不成立，

由Q>0,b>0,-+i>1,即令q=b=4,得工+3=早>1成立，但a+b=

ab4ab4

17

#>4,

所以“a+b44”是“工+1”的不必要条件；

ab

综上，“a+b44”是“工+：21”的充分不必要条件.

ab

故答案为：A.

【分析】利用基本不等式，再结合充分条件、必要条件的定义进行判断，可得答案。

7.【答案】C

【解析】【解答】因B0是aZBC的中线，则前=而一荏=；前一通，依题意，BE=ABD(0<

A<1),

则有荏=用+屁=说+吗就一用)=(1-4)—+4近，又屈=丽+丫而，且福而不共

线，

因止匕，x=1—A,y=即久+2y=l,%>0,y>0>

所以1+、=(久+2y)(:+/)=4+与+注24+2J与•]=8,当且仅当?=,即久=2y=*取

一，

所以枭驰最小值为8.

Ky

故答案为：C

【分析】因为点E在线段BD上，则由向量共线定理可设：诙=碗(0<4<1),然后根据平

面向量基本定理表示出向量屈，由此求出x,y,然后根据基本不等式即可求解出答案.

8.【答案】B

【解析】【解答】由于二次函数/(%)=aX2+2久+c(%£/?)的值域为[0,+8),

所叱=4°X=0所以QC=1,C>0,

所以工+±>2@4

一=4,

ca~\ca

当且仅当：=?即a=2,c=劣时等号成立。

7/17

故答案为：B

【分析】由于二次函数/(久)=a%2+2K+C(%ER)的值域为［0,+oo),再结合二次函数的图象

的开口方向和判别式法，进而得出ac=l,c〉0,再利用均值不等式求最值的方法，进而得出工+

C

士的最小值。

a

9.【答案】D

【解析】【解答】圆％2+⑶一1)2=6的圆心为(0,1)，

二•直线ax+by+c—1=0(b,c>0)经过圆式2+(y—l)2=6的圆心，

>b+c=1

U=(b+c)(V=5+g+与25+2序=9,

7

(b+c=1(b=5

当且仅当2，即；时取“等号”，

(E一万3=g

二2+」的最小值是9,

DC

故答案为：D

【分析】由直线经过圆心，可得b+c=i,再由之+工=(b+c)e+3,结合基本不等式即可求

be'八bc，

解。

10.【答案】B

【解析】【解答】依题意sin2c=2sin2a—3sin2fi,

由余弦定理得C2=2覆—3/72,&2=^a2—iC2,

所以cosB=a2+c2—*=a2+c2一匏2+*2_京2+*2=1a2+4c2

2ac2ac2ac6ac

12、依.4°2_2,当且仅当。=2c时等号成立.

NN>、'“-----=o

241Q

即B为锐角,3-<cosB<1,Q<cos2B<1,1<——<

ycos2BT4

tan2fi=1-cosB=」——1e(o,视

cos2Bcos25cos254

所以tanB的最大值为

故答案为：B

8/17

【分析】利用余弦定理化简已知条件，再用余弦定理表示cosB,结合基本不等式求得cosB的取值范

围，从而求得tanB的取值范围，也即求得tanB的最大值.

11.【答案】C

【解析】【解答】因为0<4<兀且tanA=—8，则A=竽，

因为="csinZ=申be=Wa,所以，a=字

△力以z4k

2

由余弦定理可得=碇=炉+c2—2bccosA=b2+c2+be>3bcJ所以，be248,

当且仅当b=c=4V8时，等号成立，故be的最小值为48.

故答案为：C.

【分析】直接利用三角形的面积公式求出a进一步利用余弦定理和基本不等式求出答案.

4

12.【答案】A

【解析】【解答】令9(%)=工一InK—1,g\x)=1-故g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+oo)±

单调递增，g(%)〉g(l)=0,故g(%)=汽一In%-1>0,即％当且仅当％=1,等号成

立.所以2ab—1〉ln(2ab)=ln(2a)+Inb,当且仅当2ab=1时，等号成立，又ln(2a)+Inb)

砂+人2-1,所以2ab—1》。2+1)2—1,即-6)240,所以a—b,又因为2ab=1,所以a=

?，b=芋，故a+b=伍

故答案为：A.

【分析】令g(%)=%-1。久-1,再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，则

%-1>In%,再结合对数的运算法则，所以2ab-1>In(2a)+\nb,再利用ln(2a)+\nb>a2+

b2-1,所以a=b,再结合2ab=1,进而得出a,b的值，从而得出a+b的值。

13.【答案】B

【解析】【解答】因为(竽)2—2ab=(?T>0>

所以2abW芦罗)2,当且仅当a=2b时等号成立，因为a2+2ab+4b2=6,

所以(a+2b/—2ab=6，即(a+2b)2-6=2ab,所以(a+2b)2_6W2b

即(a+26)238，因为a,b为正实数，所以a+2b>0,因此0<a+2b<243a+2b的最大值为

9/17

(a=V2

2V2,此叫，e

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出a+2b的最大值。

14.【答案】B,C

【解析】【解答】因为a〉0,b>0,由基本不等式可得a+bN2属，当且仅当a=b时等号

成立，

又a+b=2,所以abW1,当且仅当a=b=1时等号成立，Ab的最大值为1,A不符合题

悬9

log2a+log2b=log2ab<0,当且仅当a=b=1时等号成立，B对，

2a+2b>b，当且仅当时等号成立，对，

-2V2a2_=2V2a+~b=4a=b=lC

l+|=1(a+b)(l+1)=1(3+^+1)>|(3+2VT),当且仅当a=2^j2-2，b=4-2y/2

时等号成立，D不符合题意，

故答案为：BC.

【分析】利用对数的性质、基本不等式逐项进行分析判断，可得答案。

15.【答案】B,C

【解析】【解答】对于A,当a=b=-1时，满足a2+浜>1,不满足a+b>1,即a2+

b2>1推不出a+b>1,不充分；

当a=i时，满足。+b>1,不满足a2+b2>1>即a+b>1推不出a2+b2>

1,不必要；A不符合题意；

对于B,当a=b=-1时，满足|可+网>1,不满足a+b>1,即\a\+|fe|>1推不出

a+b>1,不充分；

当a+b>l时，平方得a2+2ab+b2>1，又(|a|+|b|)2=\a\2+2\ab\+\b\2>a2+2ab+

b2>i,又⑷+依>0,故|a|+固>1,

即a+b>l能推出|a|+网>1,必要；B符合题意；

对于C,当a=b=0时，满足2。+2b>1，不满足a+b>1,即2a+2匕>1推不出a+

b>1,不充分；

10/17

当a+b〉l时，由2a>0,2b>0，2a+2&22J2a.2b=2，2a+b>2避>1，SPa+b>1

能推出2a+2。>1，必要；c符合题思；

对于D,当a=b=J时，满足*+组>10,不满足a+b>l,即红+里>10推不出

2abab

a+b>1,不充分；

当a=2,b=l时，满足a+b>l,不满足±+”1>10,即a+b>l推不出±+弟〉

abab

10,不必要；D不符合题意.

故答案为：BC.

【分析】根据绝对值不等式的性质，结合充分条件、必要条件的定义判断可得答案。

16.【答案】A,B,D

11

故

贝

H正

u>

【解析】【解答】A.因为一1<a<b<0,所以1>—a>—b>0,所以—工<-1-万

aba

确；

2

B.a2+b>lab,而a。b,取不到等号，故正确；

C.因为一l<a<b<0,所以a+b<2麻，故错误；

D.因为一1<a<b<0,所以a+工一b=（a-b）>0，所以a+工〉b+g故正确；

ab''abab

故答案为：ABD

【分析】A.利用不等式的基本性质判断；B.利用重要不等式判断；C利用基本不等式的条件判断；D.

利用作差法判断.

17.【答案】C,D

【解析】【解答】由2a=3匕=6,Hila=log26,b=log36,则a>0,b>0,

所以a_b=log?6—logj=鬻—鬻=36，胃二肾）〉0,则a>b，所以A不符合题意.

"+%=log^Z+log6S=1,所以B不正确.

由1=4+3>24±，（因为aWb,故等号不成立），贝！Jab>4,C符合题意.

abab

〃+/?=缶+/?）4+表=2+,+铝2+2,羽=4（因为。工力，故等号不成立），D符合题意.

故答案为：CD

11/17

【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式、作差比较大小的方法结合换底公式、对数的运

算法则、均值不等式求最值的方法，进而找出正确的选项。

18.【答案】A,B,D

【解析】【解答】由(皑2〈史士尤得&+6〈金，当且仅当a=b=挈时取等，A符合题意；

ZL,乙

由好三吆好得或4]当且仅当a=b=挈时取等，B符合题意；

212

由正数a,b及Q2+板=1知0<a<l,0<b<可得—1<—b<0,故—1<a—b<1,C不符

合题意；

令战=k,则a=k(b-2),两边同时平方得k2(b—2)2=a2=1-〃，整理得(心+1)h2-

4k2b+4H_1=0,又存在a,b使得=k,故/=(一4匕)2-4(H+1)(4H-1)=T2k2+4>

0,解得—孚W孚，D符合题意.

故答案为：ABD.

【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值测方法、不等式的基本性质、平方法和判别式法，进

而找出正确的选项。

19.【答案】V6

【解析】【解答】因为AD=^AB，所以CD=AD-AC=^AB-AC,

而PD=AD-AP=lAB-mAC-lAB=lAB-mAC.

3z6

因为峦与而为非零共线向量，故存在实数A使得lAB-AC=A^AB-niAC),

故4=4,zn=],所以而=4而+；荏，

_1_1_1__1

|/1P|2=-j-g-XC2+4>1B2+2x«-x\AC\x\AB\x?,

△ABC的面积为4V3，；义|福义国X亭=4V3,\AC\X\AB\=16,

以|AP[2=AC2+iAB^+222xx1x16+2=6,

164742

当且仅当|而|=4V2,\AB\=2V2时等号成立，故|族|的最小值为V6;

故答案为：i;V6.

12/17

【分析】用油，左表示出,与PD，利用两个向量共线可求出m；求出।力|2后利用基本不等式

可求出\AP\的最小值。

20.【答案】V3

【解析】【解答】解：因为sinZ,sinB,sinf成等差数列，

所以2sinB=sinA+sinC,

由正弦定理可得2b=a+c,又a+c=4,所以2b=4,即b=2,

所以由余弦定理可得22=a2+c2—2accosB=(a+c)2—2ac—2accosB，即ac(l+cosB)=

6,

又22=a2+c2—2accosB>2ac—2accosB，即23ac(l—cosB),当且仅当a=c时等号成

立，

所以2x6之ac(l—cosB)xac(l+cosS),即2x6>(acsinB)2,

因为sinB>0,所以acsinB<2/，

所以SA21RR=JacsinB<V3"，

所以△4BC的面积的最大值为V3.

故答案为：W.

【分析】由sin4sinB,sinC成等差数列，结合正弦定理可得2b=a+c,进而可得b=2,由余弦

定理结合基本不等式可得ac(l+cosB)=6,2>ac(l-cosB),从而根据△ABC的面积公式即可求

解.

21.【答案】挈

【解析】【解答】在XACD中，AC2=AD2+CD2-2AD-CDcos^=2+4+2xV2x2x^|=

42

10,

在AABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosB,

QQ1

即10=AB2+BC2--BC>2AB-BC--BC=^AB-BC，

当且仅当AB=BC时，等号成立，所以AB-BC<20,

又由cosB=1，可得sinB=V1—coszB=乎>

所以△ABC面积的最大值为s=^AB-BCsinB==1x20x，=挈-

Z242

故答案为：号.

13/17

【分析】在△AC。中，由余弦定理求得4c2=10,再在△ABC中，由余弦定理和基本不等式，求得

AB-BC<20,结合面积公式，即可求解.

22.【答案】8

【解析】【解答】解：因为a>0、b>0且a+b=6+1+”，

ab

所以(a+b)2=(6+工+凯a+h)=6(a+h)+10+-+^

CLD。

>6(a+b)+10+2JIl=6(a+6)+16当仅当，=当时取等号，

即(a+b)2-6(a+6)-16>0解得a+b>8或a+b<-2(舍去)，当且仅当a=2、b=

6时取等号；

故答案为：8

【分析】依题意可得(a+b)2=(6+J+$(a+b),再将右边利用基本不等式计算得到缶+与2-

6(a+b)-16>0,最后解一元二次不等式即可得解.

23.【答案】(—4下,2

【解析】【解答】设ZB=c,AC=b,BC=a,a,b,c为正数，

依题意：△ABC中，ABAC=120°,4。为BC边上的中线，40=

2AO=AB+AC,两边平方得4而2=丽2+喇万•前+前2,

12=b2+C2-be,尻+c2=12+尻①，

设z=AB-2AC=c-2b,c=z+2b,代入①得12=球+(z+2b)2-b(z+2b),

整理得3b2+3zb+z2-12=0②，此方程至少有1个正根，

首先21=9z2-12(Z2-12)>0,解得—4^3<z<4/③，

在三角形ABC中，由余弦定理得a2=炉+c2-2bccosl20°=b2+c2+be=12+2bc>0恒成立，

即12+2b(z+2b)>0恒成立，整理得z>-2b-3亘成立，

由于_26_3=_(2b+1)W一2J2bq=-4j，当且仅当2b=,,b=j时等号成立，

所以z>-40结合③可得-4j<zW4》

对于方程②：

若对称轴—半=—z=0,z=0,方程②变为3b2—12=0,b=2,符合题意.

14/17

若对称轴一半=—z>0,z<0,则方程②至少有一个正根，符合题意，

若对称轴一当=—z<0,z>0,要使方程②至少有一个正根，则需z2—12<0,解得0<Z<2VT

综上所述，z也即AB-2AC的取值范围是(-4遮，2V3).

故答案为：(一48，2V3)

【分析】设4B=c,AC=b,BC=a,a,b,c为正数，由2而=而+而平方可得浜+c2=12+

be①，设z=4B—24C=c—2b,c=z+2b,代入①，化简可得3b2+3zb+z2-12=0②，由

题意此方程至少有1个正根，由判别式可得-4g<z<4次③，再由余弦定理得a2=核+c2+

加=12+2%>0恒成立，得到z>-2b-R恒成立，由基本不等式得到

b

z>-4V3,结合③可得一48<244次.再通过讨论一孝=一2=0,z=0;-z>0,z<

0；—寺=—z<0,z>0;即可解决问题。

24.【答案】(1)解：由asin"°=bsin/及正弦定理，得

sinAsin71=sinBsinA,

B.rjx.4B.BBB1Bdc、

今cos2=sinB(sinZWO)今cos?=2nsin?cos工=>sin2=]z(cos3W0)

B7171

n—=—nB=—;

263

(2)解：由余弦定理有cosB=i=a2+f2-12