广东省广州市重点中学2024届中考数学模拟试题含解析

广东省广州市重点中学2024学年中考数学模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，已知DEVAC,垂足为E,NA=120。，则NO的度数为（）

A.30°B.60°C.50°D.40°

2.如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“爱”字一面相对面上的字是（）

A.美B.丽C.泗D.阳

3.PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）

A.0.25x105B.0.25x106C.2.5x105D.2.5x106

4.对于下列调查：①对从某国进口的香蕉进行检验检疫；②审查某教科书稿；③中央电视台“鸡年春晚”收视率.其中

适合抽样调查的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

5.如下图所示，该几何体的俯视图是（）

A.।-----------।B.C.|D.

6.要使分式有意义，则x的取值应满足（）

x+2

A.x=-2B.x#2C.x>-2D.x#-2

7.如图，△ABC中，AB=4,BC=6,ZB=60°,将AABC沿射线BC的方向平移，得到△ABC,再将△ABO绕点

A，逆时针旋转一定角度后，点B"恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）

C.1,30°D.3,60°

8.如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE〃BC,与边AC交于点E,连结BE,记△ADE,△BCE的面积分别为

Si,S2,()

A.若2AD>AB,贝113sl>2S2B.若2AD>AB,贝!13sl<2S2

C.若2ADVAB,贝113sl>2S2D.若2ADVAB,贝！］3sl<2S2

9.如图，AB//CD,/l=30,则/2的大小是（

A.30B.120C.130D.150

10.如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）

A.圆锥B.四棱锥C.圆柱D.四棱柱

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是

12.如图，在△ABC中，AB=AC=273，ZBAC=120°,点D、E都在边BC上，ZDAE=60°.若BD=2CE,则DE

的长为.

13.如图，矩形ABCD中，AD=5,NCAB=30。，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，贝！JAQ+QP

的最小值是.

14.如图，RtAABC中，NACB=90°,AC=CB=40，ZBAD=ZADE=60°,AD=5,CE平分NACB,DE与

CE相交于点E,则DE的长等于.

D

7\木

/Z/AN

/-----\--------

15.分解因式：x2y-xy2=.

16.股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的

10%后，便不能再跌，叫做跌停.若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增

长率为X,则x满足的方程是.

17.如图，已知。Oi与。02相交于A、B两点，延长连心线OiCh交。€>2于点P,联结PA、PB,若NAPB=6（P,AP=6,

那么的半径等于.

三、解答题（共7小题，满分69分）

4x+6>x

18.（10分）解不等式组Jx+2并写出它的所有整数解.

--->x

L3

19.（5分）计算：sin30°-J4+（兀-4）°+|-—|.

2

20.（8分）如图1,已知NDAC=90。，AABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连

结CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60。得到线段CQ,连结QB并延长交直线AD于点E.

（1）如图1,猜想NQEP=°；

（2）如图2,3,若当NDAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想NQEP的度数，选取一种情况加以证明；

（3）如图3,若NDAC=135。，NACP=15。，且AC=4,求BQ的长.

21.（10分）如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形.

（1）求证：四边形ABCD是菱形.

（2）若AC=8,AB=5,求ED的长.

22.（10分）如图，在三角形ABC中，AB=6,AC=BC=5,以BC为直径作。O交AB于点D,交AC于点G,直线

DF是。。的切线，D为切点，交CB的延长线于点E.

（1）求证：DF±AC；

(2)求tan/E的值.

23.（12分）求抛物线y=x?+x-2与x轴的交点坐标.

1广__

24.(14分)先化简，再求值：(1+--)V—1--------其中X=，5+L

x2-lX2+2X+1

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解题分析】

分析：根据平行线的性质求出NC,求出/OEC的度数，根据三角形内角和定理求出NO的度数即可.

详解：'：AB//CD,.,.ZA+ZC=180°.

VZA=120°,.*.NC=60°.

'：DEVAC,：.ZDEC=9Q°,，NO=180°-NC-NZ>EC=30°.

故选A.

点睛：本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，能根据平行线的性质求出NC的度数是解答此题的关键.

2、D

【解题分析】

正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.

【题目详解】

解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“爱”字一面相对面上的字是“阳”；

故本题答案为：D.

【题目点拨】

本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形是解题的关键.

3、D

【解题分析】

根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为axion,其中lW|a|V10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值

以及n的值.在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；

当该数小于1时，一n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）.

【题目详解】

解：0.0000025第一个有效数字前有6个0（含小数点前的1个0）,从而0.0000025=2.5xlO-6.

故选D.

4、B

【解题分析】

根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答.

【题目详解】

①对从某国进口的香蕉进行检验检疫适合抽样调查；

②审查某教科书稿适合全面调查；

③中央电视台“鸡年春晚”收视率适合抽样调查.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，

对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关

重大的调查往往选用普查.

5^B

【解题分析】

根据俯视图是从上面看到的图形解答即可.

【题目详解】

从上面看是三个长方形，故B是该几何体的俯视图.

故选B.

【题目点拨】

本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的

图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.

6、D

【解题分析】

试题分析：•••分式有意义，••.x+lrO,二*#-：1,即x的取值应满足：洋-1.故选D.

考点：分式有意义的条件.

7、B

【解题分析】

试题分析：•••NB=60。，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'O,再将△绕点A，逆时针旋转一定角度

后，点B，恰好与点C重合，

AZA,B,C=60°,AB=AB,=A,C=4,

是等边三角形，

.*.B'C=4,NB'A'C=60°,

/.BBr=6-4=2,

.•.平移的距离和旋转角的度数分别为：2,60°

故选B.

考点：1、平移的性质；2、旋转的性质；3、等边三角形的判定

8、D

【解题分析】

根据题意判定△ADE-AABC,由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答.

【题目详解】

•.•如图，在△ABC中，DE〃BC,

/.△ADE^AABC,

St+S2+sBDE

,,AD1.

•■•若1AD>AB,即>一时,>-

AB2S]+s2+sBDE4

此时3S1>S1+SABDE,而S1+SABDE<lSl,但是不能确定3sl与1S1的大小,

故选项A不符合题意，选项B不符合题意.

,,AD-14

若1ADVAB,即an——时,<-

AB2S]+S2+SBDE4

此时3SI<SI+SABDE<1SI,

故选项C不符合题意，选项D符合题意.

故选D.

【题目点拨】

考查了相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意

利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平

行线构造相似三角形.

9、D

【解题分析】

依据AB//CD,即可得到N1=/CEF=3O，再根据N2+NCEF=180，即可得至!1/2=180-30=150.

【题目详解】

解：如图，AB//CD,

.../l=/CEF=30，

又N2+/CEF=180,

.,./2=180-30=150>

故选：D.

【题目点拨】

本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等.

10、B

【解题分析】

由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状

【题目详解】

解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是长方形可判断出这个几何体应该是四棱柱.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了由三视图找到几何体图形，属于简单题，熟悉三视图概念是解题关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、I

【解题分析】

试题分析：根据题意和图示，可知所有的等可能性为18种，然后可知落在黑色区域的可能有4种，因此可求得小球停

留在黑色区域的概率为：

12、173-1.

【解题分析】

将AABD绕点A逆时针旋转120。得到AACF,取CF的中点G,连接EF、EG,由AB=AC=26、ZBAC=120°,可

得出NACB=NB=10。，根据旋转的性质可得出NECG=60。，结合CF=BD=2CE可得出△CEG为等边三角形，进而得

出ACEF为直角三角形，通过解直角三角形求出BC的长度以及证明全等找出DE=FE,设EC=x,则BD=CF=2x,

DE=FE=6-lx,在RtACEF中利用勾股定理可得出FE=^x,利用FE=6-lx=gx可求出x以及FE的值，此题得解.

【题目详解】

将△ABD绕点A逆时针旋转120。得到AACF,取CF的中点G,连接EF、EG,如图所示.

ZACB=ZB=ZACF=10°,

.,.ZECG=60°.

VCF=BD=2CE,

/.CG=CE,

/.△CEG为等边三角形，

/.EG=CG=FG,

:.ZEFG=ZFEG=-ZCGE=10°,

2

/.△CEF为直角三角形.

,/ZBAC=120°,ZDAE=60°,

.\ZBAD+ZCAE=60°,

.•.ZFAE=ZFAC+ZCAE=ZBAD+ZCAE=60°.

在4ADE和小AFE中，

AD=AF

<ZDAE=ZFAE=60°,

AE=AE

/.△ADE^AAFE(SAS),

,\DE=FE.

设EC=x,贝!]BD=CF=2x,DE=FE=6-lx,

在RtACEF中，ZCEF=90°,CF=2x,EC=x,

22

EF=A/CF-EC=V3X,

：.6-lx=gx,

X=1-A/3,

.,.DE=73X=1V3-1.

故答案为：1君-L

【题目点拨】

本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质，通过勾股定理找出方程是解题的关键.

13、573

【解题分析】

作点A关于直线CD的对称点E,作EPLAC于P,交CD于点Q,此时QA+QP最短，由QA+QP=QE+PQ=PE可

知，求出PE即可解决问题.

【题目详解】

解：作点A关于直线CD的对称点E,作EPLAC于P,交CD于点Q.

V四边形ABCD是矩形，

.,.ZADC=90°,

；.DQ_LAE,VDE=AD,

；.QE=QA,

:.QA+QP=QE+QP=EP,

,此时QA+QP最短（垂线段最短），

VZCAB=30°,

...NDAC=60。，

在RtAAPE中，VZAPE=90°,AE=2AD=10,

:.EP=AE*sin60°=l0x

2

故答案为5班.

【题目点拨】

本题考查矩形的性质、最短问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是利用对称以及垂线段最短找到点P、Q的位置,

属于中考常考题型.

14、3

【解题分析】

如图，延长CE、DE,分别交AB于G、H,由NBAD=NADE=60。可得三角形ADH是等边三角形，根据等腰直角三

角形的性质可知CGLAB,可求出AG的长，进而可得GH的长，根据含30。角的直角三角形的性质可求出EH的长,

根据DE=DH-EH即可得答案.

【题目详解】

如图，延长CE、DE,分别交AB于G、H,

VZBAD=ZADE=60°,

/.△ADH是等边三角形，

；.DH=AD=AH=5,ZDHA=60°,

VAC=BC,CE平分NACB,ZACB=90°,

/.AB=7AC2+CB2=8'AG=；AB=4,CG±AB,

/.GH=AH=AG=5-4=1,

VZDHA=60°,

.\ZGEH=30°,

.\EH=2GH=2

/.DE=DH-EH=5=2=3.

故答案为：3

【题目点拨】

本题考查等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质及含30。角的直角三角形的性质，熟记30。角所对的直角边

等于斜边的一半的性质并正确作出辅助线是解题关键.

15、xy(x-y)

【解题分析】

原式=孙(X-J).

故答案为孙(X-J).

16、(1—10%)(l+x)2=1.

【解题分析】

股票一次跌停就跌到原来价格的90%,再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能W10%,设这两天此股票股价

的平均增长率为x,每天相对于前一天就上涨到1+x,由此列出方程解答即可.

【题目详解】

设这两天此股票股价的平均增长率为x,由题意得

(1-10%)(1+x)2=1.

故答案为：(1-10%)(1+x)2=1.

【题目点拨】

本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为。，变化后的量

为b,平均变化率为X,则经过两次变化后的数量关系为a(l±x)2=。

17.273

【解题分析】

AC

由题意得出AABP为等边三角形，在RtAACCh中，ACh=----------即可.

sin60°

【题目详解】

由题意易知：POi±AB,•.•/APB=6()o...Z\ABP为等边三角形，AC=BC=3

AC

/.圆心角ZAOOI=60°在RtAACO2中，AO=-----------=2.

22sin60°

故答案为2G.

【题目点拨】

本题考查的知识点是圆的性质，解题的关键是熟练的掌握圆的性质.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、不等式组的整数解有-1、0、1.

【解题分析】

先解不等式组，求得不等式组的解集，再确定不等式组的整数解即可.

【题目详解】

4x+6>x®

<—>X(2)'

I3

解不等式①可得，x>-2；

解不等式②可得，xSl；

二不等式组的解集为：-2VX4,

...不等式组的整数解有-1、0、1.

【题目点拨】

本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找;

大大小小找不到'’的原则求不等式组的解集是解答本题的关键.

19、1.

【解题分析】

分析：原式利用特殊角角的三角函数值，平方根定义，零指数塞法则，以及绝对值的代数意义化简，计算即可求出值.

详解：原式-2+1+-M.

22

点睛：本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

20、(1)ZQEP=60°；(2)ZQEP=60°,证明详见解析；(3)BQ=2娓-2近

【解题分析】

(1)如图1,先根据旋转的性质和等边三角形的性质得出进而可利用SAS证明ACQ3也△C"L,进

而得再在APEM和△CQM中利用三角形的内角和定理即可求得NQEP=NQCP,从而完成猜想；

(2)以NOAC是锐角为例，如图2,仿(1)的证明思路利用SAS证明△ACP之△3C。，可得NAPC=NQ,进一步即

可证得结论；

(3)仿(2)可证明△ACPg△BC。，于是AP=3Q,再求出AP的长即可，作SLAO于〃，如图3,易证NAPC=30。,

△AC”为等腰直角三角形，由AC=4可求得CH、PH的长，于是AP可得，问题即得解决.

【题目详解】

解：(l)N?EP=60°；

证明：连接PQ,如图1,由题意得：PC=CQ,且NPCQ=60。，

•..△ABC是等边三角形，/.ZACB=60°,：,ZPCA=ZQCB,

则在△CR4和ACQB中，

PC=QC

<ZPCA=ZQCB,

AC=BC

：.ACQB^^CPA(SAS),

：.ZCQB=ZCPA,

又因为APEM和ACQM中,NEMP=NCMQ,

：.N0EP=NQCP=6O。.

故答案为60；

(2)N0E尸=60。.以NZMC是锐角为例.

证明：如图2,「△A3c是等边三角形，

：.AC=BC,ZACB=60°,

•.•线段CP绕点C顺时针旋转60。得到线段CQ,

：.CP=CQ,ZPCQ=60°,

:.ZACB+ZBCP=ZBCP+ZPCQ,

即NACP=NBCQ,

在△ACP和ABCQ中，

CA=CB

<ZACP=ZBCQ,

CP=CQ

：.AACP^ABCQ(SAS),

:.AAPC=AQ,

,.,Z1=Z2,

(3)连结C0,作CHLAO于H,如图3,

与⑵一样可证明△ACP丝△5C0,：.AP=BQ9

VZDAC=135°,ZACP=15°,

AZAPC=30°,ZCAH=45°9

・・・AACH为等腰直角三角形，

：.AH=CH="AC=^x4=2&，

22

在RfAPHC中，PH=6CH=2a,

:.PA=PH-AH=2^6一272，

**,BQ=2^/6-2-^2•

【题目点拨】

本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和有关计算、30。角的

直角三角形的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，灵活应用全等三角形的判定和性质、熟练掌握旋转的性质和

相关图形的性质是解题的关键.

21、(1)证明见解析(2)473-3

【解题分析】

试题分析：(1)根据等边三角形的性质，可得EOLAC,即根据平行四边形的对角线互相垂直可证菱形,(2)根据平

行四边形的对角线互相平分可得AO=C。,30=0。,再根据△EAC是等边三角形可以判定E0LAC,并求出EA的长度，然

后在RtAABO中，利用勾股定理列式求出B0的长度，即D0的长度，在RtAAOE中，根据勾股定理列式求出E0的长度,

再根据ED^EO-DO计算即可得解.

试题解析:⑴；四边形ABCD是平行四边形,.“矢。。。。­。，

,/ABAC是等边三角形,E0是AC边上中线，

；.EO_LAC,即BDLAC,

平行四边形ABCD是是菱形.

⑵•.•平行四边形ABC。是是菱形，

1

：.A0=C0=-AC=4,00=50,

AEAC是等边三角形,...EA=AC=8,E0_LAC,

在RtAABO中，由勾股定理可得:3。=3,

：.DO=BO=3,

在RtAEA0中，由勾股定理可得:万0=46

：.ED=EO-DO=4y/j-3.