高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）函数的定义域和值域

E第一--------RH-函数的定义域和值域

1基础知堀要打牢强双基I固本源I得基础分I掌握程度

[知识能否忆起]

1.常见基本初等函数的定义域

⑴分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)y=a,y-sinx,y=cosx,定义域均为R.

(5)y=tanx的定义域为]xx/A”+y,AEz].

(6)函数f{x)=x的定义域为{x|x#0}.

(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制

约.

2.基本初等函数的值域

(1)y=kx+6("W0)的值域是R.

„f4ac-1)}\4ac-Z>21

(2)y=ax+b.x+c(aWO)的值域是：当a〉0时,.值域为[勿24aj；当a<0时，值域为上工4a;

(3)y=1(A#0)的值域是{y|yW0}.

(4)y=a'(a>0且aW1)的值域是{y|y>0}.

(5)y=logajr(a>0且aWl)的值域是R.

(6)y=sinx,y=cosx的值域是[T,1].

(7)y=tanx的值域是R.

[小题能否全取]

1.(教材习题改编)若/U)=9-2工xE[-2,4],则/U)的值域为()

A.[-1,8]B.[-1,16]

C.[-2,8]D,[-2,4]

答案：A

2.函数y二占的值域为（）

A.RB.

c.D.

解析：选D•.-Y+2^2,

3.（-山东高考）函数Hx）%Li+花子的定义域为（）

A.[-2,0)U(0,2]B.(-1,0)U(0,2]

C.[-2,2]D.(-1,2]

Cx+l>0,p-1,

解析：选Bx满足｛x+lNl,艮M向,

14-六20,1-2W启2.

解得一1〈水0或0〈W2.

4.（教材习题改编）函数f（x）=乎=|的定义域为

x-420,

解析：由得*24且xW5.

小5W0,

答案：答1x24,且#5}

5.（教材习题改编）若处有意义，则函数y=f+3x-5的值域是

解析：•.•爪有意义，，x20.

3\9

2

又v

y-X+3X5-+--5

--2z-4-

当o0

X-%--

in5.

答

案,5+8

函数的最值与值域的关系

函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了

函数的最大（小）值，未必能求出函数的值域.

［注意］求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意函数定义域.

高频考点要通关抓考点I学技法I得拔高分|掌握程度

GAOPINKAODIANYAOTONGGUAN____________________}_____________________J_____________________］

求函数的定义域

典题导入

lg/-2x

［例1］(1)(•大连模拟)求函数f(x)=一瓜~,的定义域；

⑵已知函数H2)的定义域是［-1,1］,求f(x)的定义域.

［x-2x>0,1x<0或x>2,

［自主解答］(1)要使该函数有意义，需要c2“则有。//。

解得-3〈水0或2〈x<3,

所以所求函数的定义域为(-3,0)U(2,3).

(2)I>(2］的定义域为［-1,1］,

即-W，.-.-^2^2,

1

-2

故f(x)的定义域为2

>>>一题多变

若本例(2)条件变为：函数Ax)的定义域是［-1,1］,求『(log/)的定义域.

解:・函数f(力的定义域是［-1,1］,

，-IWxWl,-l^loga^r^l,「.■|wxW2.

&

2

故f(10g2X)的定义域为

由题悟法

简单函数定义域的类型及求法

(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.

(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.

(3)对抽象函数：

①若已知函数f(x)的定义域为［a,b］,则函数f(g(x))的定义域由不等式aWg(x)W6求出；

②若已知函数f(g(x))的定义域为［a,b\,则Ax)的定义域为g(x)在xC%,目时的值域.

以题试法

1⑴函数片U2一的定义域是-

(2)(•沈阳质检)若函数厂/U)的定义域为[-3,5],则函数g(x)=f(x+D+Hx-2)的定义域是

)

A.[-2,3]B.[-1,3]

C.[-1,4]D.[-3,5]

「OW后2,

(2x-x^O,

解析：(1)由《In2x-1WO,xWl,

得彳

【2x-l〉0,1

x〉g.

所以函数的定义域为4，

-3Wx+1W5,

(2)由题意可得

-3Wx-2W5,

解不等式组可得-1WXW4.

所以函数g(x)的定义域为[-1,4].

答案：⑴，，(1,2](2)C

3求已知函数的值域

典题导入

[例2]求下列函数的值域.

⑴y=V+2x(xE[0,3])；

1-/

⑵尸

1+/

4

⑶y=x+-(K0)；

X

(4)f{x}=x-d1-2x.

[自主解答](1)(配方法)

y=x+2x=(x+l)2-l,

y=(x+1)2-1在[0,3]上为增函数,

即函数3+2x(x£[0,3])的值域为[0,15].

\-x9

⑵厂

2,

-1<]+、一KL即(-1,1].

.•・函数的值域为.

(3),/T<0,.t.x+^=一(-x-号<-4,

当且仅当x二-2时等号成立.

8,-4].

•••函数的值域为(-8,-4].

,-----1

(4)法一：(换元法)令瞬-2*=t,贝IJ220且x=一

1一/12

于是y二一方二一5(1+1)+1,

-

1

由于t力0,所以工/故函数的值域是[-

,82

-

法二：(单调性法)/"(X)的定义域为1-8,1容易判断/"(X)为增函数，所以“X)W/Q)=a

即函数的值域是1-8,1.

由题悟法

求函数值域常用的方法

(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数(例(1)).

(2)换元法(例(4)).

(3)基本不等式法(例(3)).

⑷单调性法(例(4)).

⑸分离常数法(例(2)).

[注意]求值域时一定要注意定义域的使用，同时求值域的方法多种多样，要适当选择..

以题试法

x-3

2.(1)函数了二=7的值域为-

X十1.

(2)(•海口模拟)在实数的原有运算中，我们定义新运算“㊉”如下：当a^b时，a®b=a；当a<b

时，乃㊉6二••设函数Hx)=(1㊉x)x-(2㊉x),xE[-2,2],则函数F(x)的值域为.

x-3x+1-44

解析：(i)y=7TI=1

x+1x+1'

44

因为丁所以1一二7*1，

即函数的值域是bdyeR,肌1}.

fx-2,xE[-2,1],

⑵由题意知"X)=3=।

〔x-29,xd1,2J,

当xG[-2,1]时,/U)E[-4,-1]；

当xG(1,2]时，f{x)E(-1,6],

即当xE[-2,2]时，f{x)G[-4,6].

答案：⑴{)yGR,月1}(2)[-4,6]

与函数定义域、值域有关的参数问题

典题导入

［例3］(•合肥模拟)若函数f(x)=g2x?+2ax-a-l的定义域为R,则a的取值范围为.

［自主解答］函数F(x)的定义域为R,所以2/+2@矛-@-1》0对王£口恒成立，即2f+2ax-a》l,

Y+2ax-a20恒成立，

因此有/=(Za)?+4aW0,解得-IWaWO.

［答案］t-i,o］

由题悟法

求解定义域为R或值域为R的函数问题时，都是依据题意，对问题进行转化，转化为不等式恒成立问

题进行解决，而

解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法.

以题试法

4

3.(•烟台模拟)已知函数f(x)=瓦工的定义域是［a,6］(a,6EZ),值域是［0,1］,则满足条

件的整数数对(a,6)共有个.

44

解析：由0WEO-1W1,即得0W|X|W2,满足整数数对的有(-2,0),(-2,1),

(-2.2),(0,2),(-1,2)共5个.

答案：5

高分障碍要破除攻重点补短板得满分掌握程度

3GAOFENZHANGAIYAIII

"热点难点突破——不拉分”系列之(二)

多法并举，求函数值域不犯难

函数的值域由函数的定义域和对应关系完全

确定，但因函数千变万化，形式各异，值域的求

法也各式各样，因此求函数的值域就存在一定的

困难，解题时，若方法适当，能起到事半功倍的

作用.求函数值域的常用方法有配方法、换元法、

分离常数法、基本不等式法、单调性法(以上例2

都已讲解)、判别式法、数形结合法等.

1.数形结合法

利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定

函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键.

fa,

［典例1］对&bER,记max|a,b\八函数/1(x)=max||x+11,|x-2||(xER)的值

［仇；a<b.

域是.

由图象知函数的值域为|,+8

［答案］I，+g)

［题后悟道］利用函数所表示的几何意义求值域(最值)，通常转化为以下两种类型：

yy-b

(1)直线的斜率：?可看作点(X,力与(0.0)连线的斜率；「可看作点(X,力与点(a,垃连线的斜率.

XX-a

⑵两点间的距离：7~x-xi~~y-yi—'可看作点(x,力与点(不，跖)之间的距离.

针对训练

1.函数~x+3~2+16+y/~x-5~晨时的值域为.

解析：函数y=f(x)的几何意义为：平面内一点尸(x,o)到两点/(-A13,4)和8(5,2)

距离之和.由平面几何知识，找出6关于x轴的对称点夕⑸-2).连-f接西交x轴

于一点户即为所求的点，最小值y=M夕|=^/82+62=10.13

即函数的值域为［10,+8).

答案：［10,+8)

2.判别式法

aix+bix+Ci

对于形如=/：⑸&不同时为零)的函数求值域，通常把其转化成关于x的一元二次方程,

&x+8x+C2

由判别式/2o,求得y的取值范围，即为原函数的值域.

V-x

［典例2］函数y=-~77的值域为________.

X—X-rL

［解析］法一：(配方法)

]

141

•••。〈—？1丐，.一产y〈l.

函数的值域为1)

法二：(判别式法)

X2-X_

由尸7^771，XCR,

得(尸l)f+(1-y)x+y=Q.

,.,y=1时，xE。,.,.月1.

又•.•xGR,zl=(l-y)2-4y(y-l)^0,

1

.•・函数的值域为

［答案］-1,1］

［题后悟道］本题解法二利用了判别式法，利用判别式法首先把函数转化为一个系数含有y的二次方

程以了)*、灰力x+c(y)=0,则在a(y)W0时，若xER,则/20,从而确定函数的最值；再检验a(y)

=0时对应的x的值是否在函数定义域内，以决定a(y)=0时y的值的取舍.

针对训练

mx+4\［3x+n__

2.已知函数y=---西而----的最大值为7,最小值为-1,则/+〃的值为()

A.-1B.4

C.6D.7

解析：，选C函数式可变形为（y-4/一4（才+（y一〃）=o,xER,由已知得y-/70,所以4二（一

4（I_4（y_4.（y-n）20,即/一n）y+{mn-12）WO,①

由题意，知不等式①的解集为则-1、7是方程/-（勿+〃）p+（而7-12）=0的两根，

1+m+n+mn-12=0,{m-5,{m-1,

代入得49-7m+n+mn-12=0'解得，〃=1或，〃二5.

所以/n+n=6.

求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰当的方法，准确记忆常见函数的值域，熟练掌握各种

类型函数值域的求法，除前面介绍的几种方法外，还有单调性法、导数法(以后还要讲解).

用|解题RI隼要高整CAOXIAO抓速度|抓规范|拒绝眼高手低|掌握程度

A级全员必做题

1.函数y=-/白lg(2x-1)的定义域是()

A.[|,+8)B£,+8)

。・修,+8)D.&I)

j3x-2>0,9

解析：选C由L…得

1>0。

-x~+\lx-1

2.(-汕头一测)已知集合4是函数f(x)='----金——的定义域，集合6是其值域，则/U6的子

集的个数为()

A.4B.6

C.8D.16

Cl-x^Q,

解析：选C要使函数f(x)的解析式有意义，则需|*-1>0,

解得x=l或x=-l,所以函数

If

的定义域上{—1,1}.而f⑴=『(-1)=0,故函数的值域8={0},所以如8={1,-1,0},其子集的

个数为2,=8.

3.下列图形中可以表示以〃={xIOWxWl}为定义域，以"={y|OWj<l}为值域的函数的图象是(.

ABCD

解析：选c由题意知，自变量的取值范围是[0,1],函数值的取值范围也是[0,1],故可排除A、B；

再结合函数的定义，可知对于集合〃中的任意x,"中都有唯一的元素与之对应，故排除D.

4.(•长沙模拟)下列函数中，值域是(0,+8)的是()

A.y=y/x-2x+1B.y=二y(xE(0,+8))

11

c--―2入+153)D■片以可

解析：选D选项A中y可等于零；选项B中y显然大于1；选项C中xEN,值域不是(0,+8)；选

项D中|x+l|〉0,故y>0.

5.已知等腰△/比周长为10,则底边长F关于腰长x的函数关系为尸10-24则函数的定义域为()

A.RB.{x|x>0}

C.{x|0〈x〈5}D.；"3〈水51

po,

解析：选c由题意知即0<K5.

[10-2Qx〉Xn0,

9

6.函数y=-的定义域是(-8,i)u[2,5),则其值域是()

X—1

A.(-8,o)ug,2B.(-8,2]

C.1-8,Ju[2,+8)D.(0,+8)

解析：选A•「xe(-8,l)u[2,5),.

故X-1E(-8,0)U[l,4),

2.。、)叱，2J一

,____x-10

7.(•安阳4月模拟)函数/=产1+丁=一的定义域是..

(x+120,

产-1,

x-1W0,得「*1,

解析：由5

2-x>0,1x2,

12—xWl

则IslWx<2,所以定义域是｛小仁皿，或小⑵.

答案：｛x|或KX2)

8.函数y=F-x(x20)的最大值为

解析

1

艮[1JPinax=7

答案

9.(•太原模考)已知函数『5)的定义域为[0,1],值域为口,2],则函数£(x+2)的定义域为

值域为.

解析：由已知可得x+2C[0,1],故xG[-2,-1],所以函数/U+2)的定义域为[-2,-1].函数

Hx)的图象向左平移2个单位得到函数/U+2)的图象，所以值域不发生变化，所以函，数F(x+2)的值域

仍为[1,2].

答案：[-2,-1][1,2]

10.求下列函数的值域.

1-X------

d)y=,n；(2)y=2x-1-A/13-4x

L9iXi0v

17

+

l-x~22牙+52

解：⑴J'=2x+5=2x+5

7

15

+

--2-

2x+5'

7

21

因为二7i^0,所以1-,

所以函数尸分2的值域为卜冲-/

(2)法一：(换元法)设#13-4x=t,

13-5

则力>0,x=4，

13-t*12*5713

于是y=g⑺=2•----1-t

1111、2

=-产2-力+可=-W+D+6,

显然函数g(8在［0,+8)上是单调递减函数,

所以g(6Wg(0)=y,

因此函数的值域是1-8,y.

法二：(单调性法)函数定义域是［以号1,

当自变量X增大时，2公1增大，713-4升减小,

所以2x-1-勺13-4觉曾大,

因此函数F(x)=2x-1-713-4x在其定义域上是单调递增函数,

所以当x=子时，函数取得最大值(竽)=y,

故函数的值域是1-8,y.

11.若函数f(x)x+a的定义域和值域均为［1,b\(A>1),求a、6的值.

1

+a-

-2,其对称轴为X=L

即［1,切为f(x)的单调递增区间.

1

\

-1!-a--

/■(72

f(X)睁=r(Z))=-b+a=喀

3

a=0

由①②解得

b=3.

12.(•宝鸡模拟)已知函数g(x)=5+1,力(x)=~xE(-3,a\,其中乃为常数且a>0,令函数

x十J

f(x)=g(x)•力(x).

(i)求函数r(x)的表达式，并求其定义域；

⑵当a二;时，求函数F(x)的值域.

y]x+1

解:⑴f(x)=——r,xE[0,a](a>0).

1-

O--

(2)函数fU的定义域为'4

_

3

令5+1=力，则x=(力-1)2,tE1,-,

/\/\21

方+：-2

当力♦时，t=±241,|,又大e1,/时，力+：单调递减，尸㈤单调递增，尸㈤E

-1

-

即函数/的值域为3

-

B级重点选做题

1,函数旷=2-2--+4x的值域是()

A.[-2,2]B.[1,2]

C.[0,2]D.[-72,R

解析：选C-x+4x=-(^-2)2+4^4,

0^-/+4^2,

0^2-^/-/+4^2,所以0Wj<2.

2.定义区间[不，为](x《X2)的长度为刘-xi,已知函数f(x)=1lojxl的定义域为[a,6],值域为[0,2],

则区间［a,6］的长度的最大值与最小值的差为—一.

-1

解析：由函数F(x)=|log|x|的图象和值域为［0,2］知，当a=：时，正［1,4］；当6=4时，aE4-

-

所以区间［a,6］的长度的最大值为4-3=午，最小值为1-：=|.

153

所以区间长度的最大值与最小值的差为7-I=3.

答案：3

3.运货卡车以每小时x