2024年高考数学一轮复习（新高考版） 常用逻辑用语

§1.2常用逻辑用语

【考试要求】i.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质

定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对

两种命题进行否定.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=q,则一是〃的充分条件,q是P的必要条件

p是q的充分不必要条件p=q且q/p

p是q的必要不充分条件p#q且

p是q的充要条件p3q

p是q的既不充分也不必要条件p今q且q/p

2.全称量词与存在量词

⑴全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“R”表

示.

⑵存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号

“3”表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中任意一个x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

简记Vx£。鱼)

否定3x^M,女弟p(x)

【常用结论】

1.充分、必要条件与对应集合之间的关系

设4={x|p(x)},B={x\q{x)}.

(1)若p是q的充分条件，则AQ8;

(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；

(3)若p是q的必要不充分条件，则2A；

(4)若p是q的充要条件，则A=A

2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.

3.命题p与p的否定的真假性相反.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（l）p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件.（J）

（2）“三角形的内角和为180。”是全称量词命题.（V）

（3）已知集合A,B,的充要条件是A=8（V）

（4）命题“mxGR,sin^+cos5V”是真命题.（X）

【教材改编题】

1.命题“VxdR,eX-l,x”的否定是（）

A.三尤GR,e*—INxB.\/xGR,e*—IWx

C.3x^R,e^-l<xD.V尤GR,e*—l<x

答案C

解析由题意得命题“VxGR,e，一INX”的否定是“mxGR,.

2.（多选）下列命题中为真命题的是（）

A.X/xGR,x2>。B.VA-^R,—KsinxWl

C.Bx£R,2*<0D.tanx=2

答案BD

解析当x=0时，记=0,所以A选项错误；

当尤GR时，一IWsin尤W1,所以B选项正确；

因为2》>0,所以C选项错误；

因为函数y=tanxeR,所以D选项正确.

3.若“尤>3”是“龙〉机”的必要不充分条件，则机的取值范围是.

答案（3,+°°）

解析因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，

所以（租，+8）是（3,+8）的真子集，

由图可知m>3.

3mx

■探究核心题型

题型一充分、必要条件的判定

例1（1）（2023•淮北模拟）"a>b>0”是“齐1”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由a>b>0,得齐1,反之不成立，

如a=-2,b=—l,满足方>1,但是不满足。>fc>0,

故是隹1”的充分不必要条件.

⑵(2021.全国甲卷)等比数列｛斯｝的公比为q,前〃项和为斗.设甲:q>0,乙:｛SJ是递增数列,

则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案B

解析当ai<0,q>l时，斯=硒"工0,此时数列⑹｝单调递减，所以甲不是乙的充分条件.当

数列｛S“｝单调递增时,有S“+i—5“=斯+1=削">0,若*0,则g">0(〃CN*),即g>0；若s<0,

则q〃<0(〃GN*),不存在.所以甲是乙的必要条件.

思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法

(1)定义法：根据〃今4,q今,进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法：根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围

的推断问题.

跟踪训练1(1)(2022・长春模拟)=忸|"是％与力共线”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析因为仙|cos解b)=\a\\b\,

所以cos(a,b)=1,

因为〈a,b)£[0,兀],

所以〈a,b)=0,

所以〃与力共线，

当Q与万共线时，〈a,b〉=0或〈。，b〉=兀，

所以a•5=|。||例cos〈a,b)=|。||例或〃仍=|a||5|cos〈a,b}=—\a\\b\,

所以aa-b^\a\\b\"是“a与》共线”的充分不必要条件.

⑵(多选)已知幕函数段)=(4〃z—l)严，则下列选项中，能使得加)》S)成立的一个充分不必要

条件是()

11,,

-cr>b2

A.0<a<TbB.

C.Ina>lnbD.2a>2b

答案AC

解析由题设知4机一1=1,可得〃7=/，故於)=5，

所以，要使//b),则,即a>b》O.

0<-<^<=>47>Z»0,A符合题意；

Ina>lnb^a>b>0,C符合题意；

B,D选项中a,b均有可能为负数，B,D不符合题意.

题型二充分、必要条件的应用

例2在①AU8=8；②“xGA”是“xGB”的充分条件；③“XG[RA”是“尤6}2”的必

要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题.

问题：已知集合4={也・工W。+2},8={x|(x+l)(x—3)<0}.

(1)当a=2时，求AC8；

(2)若,求实数a的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解(1)由(x+l)(x—3)<0,

解得一l<x<3,

所以B—{x|(x+l)(x—3)<0}={x|—l<x<3},

当a=2时，A={x|2W尤W4},

所以ACB={x[2Wx<3}.

[a>—1,

(2)若选①AU2=3,则AGB,所以，解得一即a《(一1,1)；

[a+2<3,

若选②"xGA”是“xGB”的充分条件，则所以":1'解得一1<加1,

[。+2<3,

即aG(—1,1)；

(a>—1,

若选③是的必要条件，则A匚B,所以,.解得一ka<l,即

[a+2<3,

ae（-l,l）.

思维升华求参数问题的解题策略

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出

关于参数的不等式（或不等式组）求解.

（2）要注意区间端点值的检验.

跟踪训练2（2023•宜昌模拟）已知集合4=a一2<xW3},8={x|f—2m;+疗一1<0}.

（1）若加=2,求集合ACB；

（2）已知p：x^A,q：x©B,是否存在实数使p是q的必要不充分条件，若存在实数

求出机的取值范围；若不存在，请说明理由.

解（1）由机=2及％2—2〃a+苏—1<0,

得x2—4x+3<0,解得

所以8={x[l<x<3},

又4={尤-|2<xW3},

所以AnB={x[l<x<3}.

（2）由x2—1<0,

得[x—（m-1）][x~（m+1）]<0,

所以m—1,

所以B={x\m—\<x<m~\~1}.

由p是q的必要不充分条件，

得集合3是集合A的真子集，

-1》一2,

所以'一lWmW2（两端等号不会同时取得），

十1W3

所以机的取值范围为[—1,2].

题型三全称量词与存在量词

命题点1含量词命题的否定

例3（2022•漳州模拟）命题“VaGR,%2—办+1=0有实数解”的否定是（）

A.VaER,一"+1=0无实数解

B.m（zGR,A2—or+l=0无实数解

C.VaER,%2—中+1W0有实数解

D.f—办+lWO有实数解

答案B

解析因为全称量词命题的否定是存在量词命题，

所以“VaGR,x2—以+1=0有实数解”的否定是“m.GR,x2—ox+l=0无实数解”.

命题点2含量词命题真假的判断

例4（多选X2023•沈阳模拟）下列命题中为真命题的是（）

A.3%ER,'

B.对于VxdR,“GN*且w>l,都有炉i=x

C.X/xCR,ln(x—1)22。

D.Inx^x~1

答案AD

解析当时，0<^<l,故A项是真命题；

当〃为偶数，且x<0时，—x,故B项是假命题；

当x=l时，ln(x—Ip无意义，故C项是假命题；

当％=1时，ln%2x—l,故D项是真命题.

命题点3含量词命题的应用

jrTT

例5若Txe［一去卦sin”是假命题，则实数机的最大值为()

B.一］C•坐D.一半

答案D

jrjr

解析因为'Txe［一升sin尤</'是假命题，

TT7T

所以—Q,2，机Wsinx”是真命题，

兀兀_

即mWsin%对于一?g恒成立，所以加W(sin%)min,

TTJT

因为y=sinx在一］,Q上单调递增，

所以x=一1时，尸sinx最小，其最小值为尸sin(一§=—sin畀一坐，

所以mW—半，所以实数机的最大值为一半.

思维升华含量词命题的解题策略

(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一

个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.

(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求

参数的范围.

跟踪训练3(1)已知命题p：3neN,/22及+5,则㈱〃为()

A.层22〃+5

B.层W2〃+5

C.VneN,rr<2n+5

D.*=2"+5

答案C

解析由存在量词命题的否定可知，㈱p为VwCN,层<2w+5.所以C正确，A,B,D错误.

(2)(多选)下列命题是真命题的是()

A.V尤GR,-x2—1<0

B.X/〃ez,Sm£Z,nm—m

C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径

13

D.存在实数无，使得/_；*+3=宁

答案ABC

解析V尤GR,一fwo,所以一X2—1<0,故A项是真命题；

当7〃=0时，=恒成立,故B项是真命题；

任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题；

因为x2—2x+3=(x—1A+2N2,

113

所以._h+3号号故D项是假命题.

(3)若命题“mxGR,^2+(a-l)x+l<0,,的否定是假命题，则实数CZ的取值范围是.

答案(一8,—1)U(3,+°°)

解析命题"ElxGR,x2+(a—l)x+l<0"的否定是假命题，

则命题“mxGR,d+m—Dx+lcO”是真命题，

即zf=(a-l)2-4>0,

解得a>3或a<-l,

故实数a的取值范围是(一8,-1)U(3,+8).

课时精练

应基础保分练

1.(2023•上饶模拟)”/>2021”是“0>2022”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析若0>2022,因为2022>2021,故炉>2021,

故”/>2022”可以推出“/>2021”，

取/=2021.5,则满足炉>2021,但f>2022不成立，

所以“r>2021”不能推出“/>2022”,

所以“P>2021”是“P>2022”的必要不充分条件.

2.已知命题p：mxGQ,使得超N,则女弟0为（）

A.VKQ,都有点NB.3^Q,使得x^N

C.VxEQ,都有尤GND.SxeQ,使得x^N

答案C

解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题，

所以由p：E3x£Q,使得XEN,

得女弟p：VxeQ,都有xGN.

3.已知命题：“VxGR,方程/+4x+a=0有解”是真命题，则实数。的取值范围是（）

A.。<4B.

C.a>4D.a24

答案B

解析“VxGR,方程f+4x+a=0有解”是真命题，

故/=16—4420,解得aW4.

4.（2023•武汉模拟）已知a,b是两条不重合的直线，a为一个平面，且a_La,则"6_La"是

aa//b"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析当b_La时，结合a_La,可得a〃6,充分性满足；

当a〃6时，结合a_La,可得6_l_a,必要性满足.

故"La”是“a〃b”的充要条件.

5.命题“\/1WXW2,f—aWO”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.aN4B.a25

C.aW4D.aW5

答案B

解析因为命题“VlWxW2,x2—。《0”是真命题，

所以a2%2恒成立，

所以a》4,

结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a\5.

6.（多选）下列命题是真命题的是（）

A.所有的素数都是奇数

B.有一个实数x,使V+2无+3=0

C."a=『是"sina=sinP”成立的充分不必要条件

D.命题“三尤GR,x+2W0”的否定是x+2>0”

答案CD

解析2是一个素数，但2是偶数，所以A是假命题；

对于方程d+2x+3=0,其中1=22—4X3=—8<0,

所以不存在实数，使得/+2x+3=0成立，所以B是假命题；

由a=£0sina=sin/?,但由sina=sin£不能得到a=§,故"a=g'是"sina=sin0”成立

的充分不必要条件，所以C是真命题；

根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“mxGR,x+2W0”的否定是“V

尤GR,尤+2>0”,所以D是真命题.

7.（多选）若“mxd（0,2）,使得2x2—&+1<0成立”是假命题，则实数％可能的值是（）

A.1B.2^/2C.3D.3噌

答案AB

解析由题意可知，命题“VxG（0,2）,2f—lx+1'O成立"是真命题，

所以入W2/+1,可得入W2x+%

当xe（0,2）时，由基本不等式可得

2xJ=2A/2,

当且仅当工=坐时，等号成立，

所以2W2P.

8.南北朝时期的伟大科学家祖晒在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖晒原理：“幕

势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个

平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相

等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为力,正，被平行于这两个平面

的任意平面截得的两个截面面积分别为Sl，S2,则“S1，必不总相等”是“口，匕不相等”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析命题：如果“Si,S2不总相等”，那么“％,验不相等”的等价命题是：如果“力,

V相等"，那么US1,S2总相等”.

根据祖晅原理，当两个截面的面积Si,S2总相等时，这两个几何体的体积V1,匕相等，所以

逆命题为真，故是必要条件；

当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，

故是不充分条件，所以“Si,S2不总相等”是“Vl,L不相等”的必要不充分条件.

9.命题"Vxe（o,：）,sinxccosx"的否定是.

答案三尤6（0,DsinxNcosx

解析因为"sinx<cosx"的否定是"sin尤2cos尤"，

所以“Vxd（。,习，sinv<cos尤”的否定是"三七已（0,孑），sinxNcosx",

10.使得“2*>4”成立的一个充分条件是.

答案x<一1（答案不唯一）

解析由于4工=2巴故2*>21V等价于x>2x,

解得x<0,

使得“2£>4，”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可.

11.已知命题"mxG{x|-2<r<3},使得等式2元一%=0成立”是假命题，则实数机的取值范

围是.

答案（一8,-4]U[6,+°°）

解析若原命题为真命题，则mxG{x[-2<尤<3},

使得m=2x成立，则一4<MZ<6；

故若原命题为假命题，

则实数机的取值范围为（-8,-4]U[6,+8）.

12.已知a：1或无>一切，八x<2或x》4,若a是£的必要条件，则实数机的取值范

围是•

答案出+8）

解析设A=[x\x<2m~1或x>—m],B={x\x<2或124},

若。是£的必要条件，则

当2/"—1>一机，即〃>孑时，此时A=R,BCA成立；

1[2m—122,

当2m—1W—m,即m时，若3CA,此时彳无解.

J[―m<4,

综上，m>y

R综合提升练

13.（多选）若“VxGM,|x|>x"为真命题，“Bx^M,x>3”为假命题，则集合M可以是（）

A.（-8,-5）B.（-3,-1]

C.（3,+8）D.[0,3]

答案AB

解析V3x^M,尤>3为假命题，

尤W3为真命题，

可得MC（—8,3],

又VxGM,|x|>x为真命题，

可得