2023-2024学年人教版数学八年级下册 二次根式 知识点分类练习

2024年人教版八年级下册数学第16章二次根式知识点分类练习附解析

一.二次根式的定义（共2小题）

1.下列式子一定是二次根式的是（）

A.V-x_2B.VxC-VX2+2D-VX2-2

2.已知倔是整数，非负整数w的最小值是（）

A.4B.3C.2D.0

二.二次根式有意义的条件（共2小题）

3.若1运有意义，则x可以是下面的哪个值（）

x-1

A.0B.1C.2D.3

4.要使丁：有意义，则尤的值可以是（)

A.0B.1C.2D.3

三.二次根式的性质与化简（共2小题）

5.下列各式中正确的是（）

A.V36=±6B.d（-3）2=-3C.V§=4D.（）3=-8

6.已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简|好1|H（a-2）2的结果是（）

IIqI

012

A.2a-3B.-1C.1D.3-2a

四.最简二次根式（共2小题）

7.下列各式中属于最简二次根式的是（)

A.V12B.普

C.VO75D.V6

8.下列二次根式：昆、栏、-27a2b、'Jx2+y2中，是最简二次根式的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

五.二次根式的乘除法（共4小题）

9.下列计算正确的是（）

B

A.V(-4)X(-9)=VZ4XV^9-J(-2)2=-2

c.停、D.\[7-«=

1°.若居者成立'则,的值可以是（）

A.-2B.0C.2D.3

H.已知〃用含〃，b的代数式表示亚，这个代数式是（）

A.a+bB.abC.2aD.2b

12.化简：匡=

V3

六.分母有理化（共2小题）

13.J/的有理化因式是________

14.计算：

3-1;(2)3-1+(TT-3)0-|-A|

3

七.同类二次根式（共2小题）

15.若J诵与最简二次根式而I能合并，则机的值为（）

A.0B.1C.2D.3

16.若最简二次根式芥2x-l与丁嬴能合并,则/3x+6

A.二次根式的加减法（共2小题）

17.下列运算正确的是（）

A.〃6+〃2=〃3B.-(-2a-b)—2a-b

C.V2+V3=V5D.(a-b)2=)-2ab+伊

18.规定用符号[时表示一个实数m的整数部分，例如：[2]=0,[3.14]=3,按此规定[7-J币的值

3

为.

九.二次根式的混合运算（共2小题）

19.计算：

(1)2V8+-1V18--1V32-(2)(-1)-1-/12+(1-V2)°-lV3-2|；

2

(3)V48^V3-V12+V24；(4)(3+75)(3-V5)-(V3-1)2

20.观察下列运算:

由(如+1)(a-1)=1，得

V2+1

由西用）（如$）=1，得1

77W2V3-V2-

由（寸1皿）（/1代）=1,得1;

TIWsV4-V3

（1）诵时如察得I=_______________________;

Vn+1+vn

（2）利用（1）中你发现的规律计算：」+」厂+..5_____.I-,_____

V2+1V3+V2V2023+V2022

一十.二次根式的化简求值（共2小题）

21.已知a=2+我，b=2-V§，则代数式_a/的值等于.

22.我们知道灰是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此泥的小数部分我们不可能全部写出来，

而2V遥＜3,所以近的整数部分是2,将我减去其整数部分2,所得的差述-2就是灰的小数部

分.根据以上信息回答下列问题：

（1）J万的整数部分是，小数部分是；

（2）如果3+J7的小数部分为a,5-遥的整数部分为6,求a+每的值.

一十一.二次根式的应用(共3小题)

23.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦

提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a,b,c,记口上*,则其面积

P2

S=Vp(D-a)(p-b)(p-c)＞这个公式也被称为海伦一秦九韶公式.若p=5,c=2,则此三角形面

积的最大值为()

A.V3B.C.D.5

2

24.阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记口工世也，那么这个三角形的面积为

P2

S=Vp(p-a)(p-b)(p-c).这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三

角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦-秦

九韶公式”.解答下列问题：如图，在△ABC中，a=7,b=5,c=6.

(1)ZXABC的面积；

(2)过点A作A£»_L3C,垂足为求线段AD的长.

BaC

25.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题:

OAi=l；

0A2=yjF+]2=&；Si=AxiXl=A；

%3=12+12=娟;S2=gx&Xl=等；

0A4={3+F=F;S3=4-XV3X

(1)推算出Q4o=.

(2)若一个三角形的面积是遍.则它是第个三角形.

(3)用含“(”是正整数)的等式表示上述面积变化规律；

(4)求出s2+s22+s23+・・・+s2]00的值.

2024年人教版八年级下册数学第16章二次根式知识点分类练习附解析

参考答案与试题解析

一.二次根式的定义（共2小题）

1.下列式子一定是二次根式的是（）

A.V-x-2B.Vxc.X2+2D.《乂2-2

【答案】c

【分析】直接利用二次根式的定义，一般地，形如«（a）0）的代数式叫做二次根式进行判断即可.

【解答】解：•••/》（），

；.9+222,

1x2+2一定是二次根式，

而正X-2、4和dx2-2中的被开方数均不能保证大于等于°，故不一定是二次根式，

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键.

2.已知倔是整数，非负整数n的最小值是（）

A.4B.3C.2D.0

【答案】D

【分析】根据倔=K属是整数，得到2n是完全平方数，再利用二次根式有意义的条件即可得到答

案.

【解答】解：•••亚=上属，且倔是整数，

是整数，即2"是完全平方数，

；.2心0,

的最小非负整数值为0,

故选：D.

【点评】本题考查了二次根式的定义，解题关键是掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数.

二.二次根式有意义的条件（共2小题）

3.若1五有意义，则x可以是下面的哪个值（）

X-1

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】根据被开方数不小于零且分母不为零的条件进行解题即可.

【解答】解：由题可知，

p-2x>0

Ix-17^0

解得尤《微■且xWL

则只有0符合.

故选：A.

【点评】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握被开方数不小于零且分母不为零的

条件是解题的关键.

4.要使有意义，则工的值可以是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于。列式求解即可.

【解答】解：由题意得,

x-2>0,

**.x>2.

故选：D.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式有意义的条

件是解答本题的关键.

三.二次根式的性质与化简（共2小题）

5.下列各式中正确的是（）

A.V36=±6B.,（-3）2=-3C.我=4D.（）3=-8

【答案】D

【分析】根据二次根式的性质：疗=间进行化简即可.

【解答】解：A、V36=6,故原题计算错误;

B、J（⑶2=3,故原题计算错误；

C、我=2如，故原题计算错误;

。、（V豆）3=-8,故原题计算正确；

故选：D.

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握二次根式的性质.

6.已知实数。在数轴上的对应点位置如图，则化简|H（a-2）2的结果是（）

A.2a-3B.-1C.1D.3-2a

【答案】A

【分析】根据数轴上。点的位置，判断出（«-1）和Q-2）的符号，再根据非负数的性质进行化简.

【解答】解:由图知：

a-1>0,a-2V0,

原式=〃-1-[-（〃-2）]=a-1+（a-2）=2a-3.

故选：A.

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出。-2V0是解题关键.

四.最简二次根式（共2小题）

7.下列各式中属于最简二次根式的是（）

A.V12B.馄C.VO75D.V6

【答案】D

【分析】根据最简二次根式的概念判断即可.

【解答】解：4而=2«,被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符

合题意；

B、照=唔，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；

C、疝后=患=隼，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；

D、&是最简二次根式，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或

因式的二次根式，叫做最简二次根式.

8.下列二次根式：后、p、-27A'式2+了2中,是最简二次根式的有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据最简二次根式的定义分别判断解答即可.

【解答】解：炳,一J五，+y2中是最简二次根式的有遥,收+丫2,共2个.

故选：B.

【点评】本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件:

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

五.二次根式的乘除法(共4小题)

9.下列计算正确的是()

A.7(-4)X(-9)=V-4xB.y(-2)2=-2

c,4^)2=义D-祈-y=4

【答案】C

【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而得出答案.

【解答】解：A.V(-4)X(-9)=V4XV9>故此选项不合题意；

区/(-2)2=2,故此选项不合题意；

C.(栏)2=1,故此选项符合题意；

D4-71=77-2,故此选项不合题意.

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确掌握二次根式的性质是解题关键.

10.若、叵成立，则X的值可以是()

V2-x区

A.-2B.0C.2D.3

【答案】B

【分析】直接利用二次根式的性质得出尤的取值范围进而得出答案.

【解答】解：

V2-x反

.(x+l>0

[2-x>0'

解得：-1W%V2,

故X的值可以是0.

故选：B.

【点评】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确掌握二次根式的定义是解题关键.

H.己知。=&，》=，记，用含。，。的代数式表示我5，这个代数式是（）

A.a+bB.abC.2aD.lb

【答案】B

【分析】通过观察发现技正好是让和的积，因此倔=7丐4

【解答】解：6=415；

•,•倔=&><10=料><行=必

故选：B.

【点评】主要考查了二次根式的乘法运算.乘法法则4•五=后.

12.化简：匹=.

V3-3-

【答案】见试题解答内容

【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案.

【解答】解：渔=率2率=叵.

V3V3XV33

故答案为：运.

3

【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握运算法则是解题关键.

六.分母有理化（共2小题）

13.J启的有理化因式是J7与（答案不唯一）.

【答案】《互（答案不唯一）.

【分析】找出已知二次根式的有理化因式即可.

【解答】解：J启的有理化因式是々互（答案不唯一）.

故答案为：丁启（答案不唯一）.

【点评】此题考查了分母有理化，弄清有理化因式的找法是解本题的关键.

14.计算：

3-1

⑴V4-（^-）°+（-2）4-3；

（2）3-1+（TT-3）°-|-A|.

3

【答案】（1）-23；

(2)1.

【分析】（1）先算乘方，零指数嘉，再算除法，后算加减，即可解答;

（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答.

【解答】解:

=2-1+(-8)4-A

3

=1+(-8)X3

=1+(-24)

=-23；

(2)3-1+(n-3)0-|-A|

3

=1+1-1

33

=1.

【点评】本题考查了实数的运算，分母有理化，零指数嘉,负整数指数累，准确熟练地进行计算是解题

的关键.

七.同类二次根式（共2小题）

15.若皿与最简二次根式而I能合并，则机的值为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】丁1§=3泥,布工能与3我合并，则加+1=2,进而可求出机的值.

【解答】解：我=36，

'五与最简二次根式日万能合并，

m+1=2,

・・机=1.

故选：B.

【点评】本题考查了同类二次根式，熟练掌握最简二次根式的特点是解本题的关键，难度不大，仔细审

题即可.

16.若最简二次根式〃2x-l与心证能合并,则依x+6=二料_.

【答案】372.

【分析】根据题意可得亚£?与是同类二次根式，并且被开方数相同，进而可得方程，再解即

可.

【解答】解：由题意得：2x-l=x+3,

解得：％=4,

••.73X4^6^^18=372.

故答案为：3M.

【点评】此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的

被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式.

八.二次根式的加减法(共2小题)

17.下列运算正确的是()

A.B.-(-2a-b)=2a-b

C.V2+V3=V5D.(a-Z?)2=cr-2ab+b2

【答案】D

【分析】直接利用完全平方公式以及二次根式的加减运算法则、去括号法则、同底数哥的除法运算法则

分别判断得出答案.

【解答】解：A.故此选项不合题意；

B.-(-2a-Z?)=2a+b,故此选项不合题意；

C.a+我无法合并，故此选项不合题意；

D.-4xy-2xy=-6xy,故此选项符合题意.

故选：D.

【点评】此题主要考查了完全平方公式以及二次根式的加减运算、去括号法则、同底数幕的除法运算，

正确掌握相关运算法则是解题关键.

18.规定用符号［词表示一个实数根的整数部分，例如：［2］=0,［3.14］=3,按此规定［7-述］的值为

3

4.

【答案】见试题解答内容

【分析】直接估算述的取值范围，进而结合符号［〃，］表示一个实数相的整数部分，进而得出答案.

【解答】解：V2<V5<3,

*'-［7-V5］=4.

故答案为：4.

【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确估算无理数的大小是解题关键.

九.二次根式的混合运算(共2小题)

19.计算：

⑴278+^/18-jV32;

(2)(-1)1-V12+(1-72)°-1V3-21；

2

(3)V48^/3-V12+V24；

(4)(3+灰)(3-赤)-(V3-1)2.

【答案】(1)2加；

(2)-3-北；

(3)4+V6；

(4)2A/3.

【分析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；

(2)先根据负整数指数幕、零指数幕和绝对值的意义计算，然后合并即可；

(3)先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后合并同类二次根式即可；

(4)先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可.

【解答】解：(1)原式=4我+&-372

=2®

(2)原式=-2-273+1+73-2

=-3-北;

(3)原式="48+3-假x12+2遥

=4-76+276

=4+泥；

(4)原式=9-5-(3-273+1)

=9-5-4+2我

=2a.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零

指数幕和负整数指数暴是解决问题的关键.

20.观察下列运算：

由(我+1)(&-1)=1，得

V2+1

由（如侦）（点3）=1，得1

77+72V3-V2=

由（V蓊）（也-正）=1,得1；

V4+V3V4-Vs

（1）诵时观家得1=_\.姮1-\Q_.

Vn+1+Vn

（2）利用（1）中你发现的规律计算：」+」L+…1____I-

V2+1V3+V242023W2022

【答案】（1）Vn+1-Vn；

（2）-1+V2023.

【分析】（1）从数字找规律，即可解答；

（2）利用（1）的规律，然后进行计算即可解答.

【解答】解：（1）/1——=--Vn+1-Vn»

Vn+1+Vn

故答案为：Vn+1-Vn；

（2）-+1+…+1______

V2+1V3W2V2023+V2022

=我-1+V3-V2+-+V2023-V2022

=-l+V2023.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键.

一十.二次根式的化简求值（共2小题）

21.已矢口2=2+%，b=2-V§，贝I代数式。序的值等于」

【答案】2M.

【分析】根据已知得ab=4-3=1,a-b=2+-2+因式分解得/人-/=出,（“-。），

即可求出答案.

【解答】解::a=2+V§，b=2-炳，

."6=4-3=1,a-b=2+43-2+V3=2A/3-

：・2b-ab2=ab（a-b）

=1X2«

=2«.

故答案为：2M.

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，注意整体思想的应用.

22.我们知道泥是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此泥的小数部分我们不可能全部写出来,

而2<述<3,所以述的整数部分是2,将近减去其整数部分2,所得的差返-2就是灰的小数部

分.根据以上信息回答下列问题：

(1)/万的整数部分是4,小数部分是历-4；

(2)如果3+小的小数部分为①5-遥的整数部分为6,求五的值.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据4</万<5求出/万的整数部分和小数部分；

(2)先求出a、b,再根据算术平方根计算，得到答案.

【解答】解：(1)V4<V17<5,

•..JF的整数部分是4,小数部分是-4,

故答案为：4,-717-4；

(2)V2<V7<3,

...2+3<3+J7<3+3,即5<3+V7<6,

；.3+J7的整数部分是5,小数部分a=47-2,

■-<1<V3<2,

-2<-T,

；.5-2<5-愿<5-1,即3<5-弧(4,

：.5-遥的整数部分6=3,

屈=V7-2+V3X3=V7+l.

【点评】本题考查的是二次根式的化简求值、估算无理数的大小，根据算术平方根的定义进行无理数的

估算是解题的关键.

一十一.二次根式的应用(共3小题)

23.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦

提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a,b,c,记p=a+b+c,则其面积

P2

SM(p-a)(p-b)(p-c)，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式.若p=5,c=2,则此三角形面

积的最大值为()

A.VsB.2/ILC.V15D.5

2

【答案】C

【分析】根据公式算出的值，代入公式即可求出解.

【解答】解：・.・p=当生，〃=5,c=2,

2

・《—a+b+2

2

。+/?=8,

・・a~~81b,

S=Vp(p-a)(p-b)(D-C)

=V5(5-a)(5-b)(5-2)

=715(5-a)(5-b)

="15(ab-15)

=V15(8-b)b-225

=V-15b2+120b-225

=V-15(b-4)2+15

当匕=4时，S有最大值为任.

故选：C.